Lösungsvorschläge Klausur Nr.3 K

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1 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Pflichttil (twa 0 min) Ohn Taschnrchnr und ohn Formlsammlung (Disr Til muss mit dn Lösungn abggbn sin, h dr GTR und di Formalsammlung vrwndt wrdn dürfn.) Aufgab : [P] Litn Si ab: f ( ) Lösungsvorschlag : Bacht, dass man di Produktrgl bnötigt und dann bim Ablitn dr -Funktion noch di Kttnrgl. f '( ) ' ' ( ) 6 Aufgab : [P] Bstimmn Si di Intgral a) d b) d 5 Lösungsvorschlag : a) Vor dm Intgrirn müssn wir Potnzn in di Standardform bringn. d d b) b) Hir müssn wir auf unsr Erfahrung zurückgrifn und wissn, dass di Stammfunktion von / dr Logarithmus ist di Ablitung von / ist dr Logarithmus! (Bitt unbdingt fürs Abi lrnn und nicht widr vrgssn) d d ln( ) ln( ln() Wr will kann natürlich auch wi folgt vorghn (bacht, di Kttnrgl bim Ablitn dr Stammfunktion) d ln(5 ) ln(5 ) ln(5 ln(5) ln(5) ln( ln(5) ln( ) Mrk: Wgn ln(5 ) ln(5) ln( ) sind ln(5 ) und ln( ) zwi vrschidn Stammfunktionn, di sich um di Konstant ln(5) untrschidn.

2 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Aufgab : [P] Di Funktion f rotirt zwischn 0 und um di - Achs. Wlchr Körpr bildt sich bi dr Rotation? Bstimmn Si das Volumn. Lösungsvorschlag : Hir wird folgnds Wissn abgfragt: Rotirt in Funktion f() um di -Achs, so rhaltn wir inn Rotationskörpr, dssn Volumn V infach brchnt wrdn kann: b V f ( ) d. Also a V d Dis ist in Kglstumpf (in obn abgschnittnr Kgl) 0. Aufgab : [P] Bstimmn Si di Lösungn dr Glichung Lösungsvorschlag : Das villicht Wichtigst bim Bstimmn von Nullstlln ist: Wnn in Produkt Null ist, so ist mindstns inr dr bidn Faktorn Null. (Mrk: Das gilt nur, wnn das Produkt Null ist, nicht wnn s twa ist!). Möglichkit:. Möglichkit: 0 / 0 ln() ln() ln ln( ) ln() Aufgab 5: [P] Bstimmn Si di Lösungsmng dr folgndn Glichungssystm a) 7y z 5 y z 5 y z

3 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 b) y z y z y 6z Lösungsvorschlag 5: Zu a) Wir schribn di Glichung in Matriform und bringn si auf obr Dricksgstalt 7 5 *g+g 5 5*g+g : 0 : *g-*g ntwdr Rückwärts instzn rgibt: G rgibt z G rgibt y 7 y 7 y G rgibt odr bi dr ltztn Umformung di. Spalt ntfrnn, d.h g-g 0 Rückwärts instzn rgibt: G rgibt y G rgibt z 7 z G rgibt Di Lösung ist in jdm Fall: 0; y ; z odr 0 y z

4 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Zu b) Wir schribn di Glichung widr in Matriform und bringn si auf obr Dricksgstalt 6 / * g* g Di ltzt Glichung ist immr richtig, also kann z.b. z blibig gwählt wrdn, twa z r Di zwit Zil rgibt damit y r y r y r 0,5 Und di rst Zil: y z r r 5r Di Lösung ist also 5r ; y r 0,5; z r odr 5r y r0,5 z r

5 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Wahltil (twa 0 min) Mit GTR und Formlsammlung nach Abgab ds Pflichttils kann dr GTR und di Formlsammlung vrwndt wrdn. Aufgab 6: [5P] Ein Bhältr hat in Fassungsvrmögn von 50 Litr. Di nthaltn Flüssigkitsmng zum Zitpunkt t wird bschribn durch di Funktion B mit B: Zit in min Flüssigkit in l t 0-00 p(-0,0 t) Wi vil Flüssigkit ist zu Bginn im Bhältr? Skizzirn Si dn zitlichn Vrlauf dr Flüssigkitsmng im Bhältr währnd dr rstn dri Stundn. (GTR, Skizz) Zu wlchm Zitpunkt ist dr Flüssigkitsbhältr zur Hälft gfüllt. Zign Si, dass di Flüssigkit im Bhältr stts zunimmt. Aus Sichrhitsgründn darf dr Bhältr höchstns zu 0% gfüllt wrdn. Zign Si, dass dr Bhältr sogar stts wnigr als dis maimal zulässig Mng nthält. Lösungsvorschlag 6: (Vrglich Abi 008 Aufgab I.., dort nur Tilaufgab a) 0,0 0 Di Flüssigkit zu Bginn ist B(0) Dr zitlich Vrlauf von t = 0 bis t = 80 dr Flüssigkit im Bhältr ist (Anmrkung: Man muss natürlich dn Zichnbrich vrnünftig wähln: Etwa =0 00, y=0 50) Si t so, dass B(t)=50/ dann gilt 0,0t ,0t ,0t 0,5 0,0t ln 0,5 ln(0,5) t,56 0,0 Wr will kann das auch mit dm GTR übrprüfn, twa indm bi gzichntr Funktion shift/g-solv >F6 >-Calc und y=5 wählt. Dr GTR lifrt: t=,56 Dr Flüssigkitsspigl wächst, twa: 0,0 Wnn größr wird, wird klinr. Damit wird von 50 immr wnigr abgzogn.

6 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 (Ein Hilfsmittl, das man sich zusätzlich mrkn sollt ist: Wnn B (t) >0 ist, 0,0t 0,0t B'( t) 00 0,00 0, 0, da dann wächst B(t). Hir gilt di -Funktion stts größr als Null ist. Hir ist diss Vorghn allrdings zu komplizirt.) Wir müssn zign, dass für all t gilt: Bt ( ) 0,*50 5. Das ist abr sichr dr Fall, da ja sogar 0 obr Schrank ist. Aufgab 7: [5P] Bi inm biologischn Eprimnt wird in Baktrinstamm in in Ptrischal dr Größ 50 cm gstzt. Zu Bginn ist di von dn Baktrin bwachsn Fläch cm. Nach Tagn bträgt di Fläch 7 cm. Di Zunahm dr bwachsnn Fläch ist (nährungswis) proportional zur noch frin Fläch. Bstimmn Si di Funktion, di dn Bstand in Abhängigkit dr Zit angibt. Wi lang muss man voraussichtlich wartn, bis di bwachsn Fläch 0 cm bträgt? Lösungsvorschlag 7: Di Funktion, mit dr diss Vrhaltn simulirt wird ist in Funktion von bschränktm Wachstum. Di Grnz ist dabi S = 50. B: Zit in Tagn Fläch in cm t 50 cp( k t) Um di Größn c und k zu bstimmn, bnötign wir zwi Glichungn. 0 B 7 rgbn di bidn Glichungn: B und 50 cp( k 0) odr c 50 cp( k ) 7 cp( k ) Stzn wir c in di zwit Glichung in, rhaltn wir p( k ) 0, 675 Damit ist k ln(0,675) Dr GTR lifrt: k=0,8 (Odr ausführlichr grchnt: ln() ln() ln() ln() ln(0, 675) k 0,8 ) Di Funktion ist damit B: Zit in Tagn Fläch in cm t 50 p 0,8 t Bstimmn ds Zitpunkts, an dm di Fläch 0 cm bträgt: Si t so, dass di bwachsn Fläch B(t)=0 ist, so gilt

7 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K p 0,8t 0 p 0,8 t 0 0,8t ln(0) ln() ln() ln(0) ln(,) t, 0,8 0,8 Nach knapp Tagn ist di bwachsn Fläch also 0 cm (Wr will kann infach auch di rst Glichung in dn GTR ingbn und dann di Lösung als t=, angbn.) Aufgab 8: [5P] Dr Graph inr ganzrationaln Funktion drittn Grads ght durch dn Ur- P / sprung und schnidt di -Achs an dr Stll. Di Stigung im Punkt 7 bträgt. Skizzirn Si di Funktion und bstimmn Si di Fläch, di di Kurv mit dr -Achs inschlißt. Lösungsvorschlag 8: (Dis ist in Aufgab, di dn GTR wirklich bnötigt, allrdings muss dabi in korrktr mathmatischr Schribwis notirt wrdn, was zu brchnn ist.) Ein ganzrational Funktion drittn Grads ist durch vir Paramtr bstimmt: Es gilt p( ) a b c d. Wir bnötign also vir Glichungn. ) p() ght durch dn Ursprung, d.h. p0 0 ) p() ght durch P(/), d.h. p ) p() hat in P(/) di Stigung ' 7 p p ) p() schnidt bi = di -Achs, d.h. 0 Da p'( ) a b c rhaltn wir damit folgnd vir Glichungn: ) p(0) d 0 ) p() a b c d ) 7 p '() a b c p 6a 6b d 0 ) Stzn wir ) in di übrign Glichungn in, ist folgnds LGS zu lösn

8 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K Erst Variant (shr mpfhlnswrt): Dr GTR wandlt (mit rrf) das LGS in das infach zu lösnd LGS um: (twa indm wir di Matri mit Mat (F) ingbn, dim m =, n = und danach mit optn>mat>f>rrf >OPTN>Mat>Mat>A> di RREF-Form brchnn. sih auch ) In disr Matri könnn wir di Variabln a bis dirkt ablsn: 6 68 a / b / c (Dis Matri könnn wir übrigns auch dirkt im Mnü Equa mit F lösn.) Damit ist das gsucht Polynom 6 68 p( ) Dis Funktion könnn wir mit dm GTR z.b. zwischn =-0,5 und,5 zichnn: Um di Fläch zu brchnn, bnötign wir di Nullstlln von p(). Dr GTR lifrt uns (z.b. im Grafik-Modus) di Nullstlln =0, = (di wir brits knnn) und =,55., Das rst Intgral ist i, 7 (laut GTR) Das zwit Intgral ,5 i (laut GTR),55 Damit ist di gsucht Fläch A i i,7 8,5 0,780

9 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Zwit Variant: Wr will kann natürlich di Sach auch dirkt ohn GTR brchnn (auch wnn dis Aufgab zigt, dass das zumindst in dr Klassnarbit nicht sinnvoll ist): odr 7 /* gg /6* g g /8* g g Rückwärts instzn rgibt z Gl: y 68 6 Gl: 6 68 Damit ist das Polynom p( ) Dritt Variant: Zurst di Brüch bsitign und kürzn, d.h. gl*, gl/ Und jtzt bringn wir zurst di Zil auf Null untrhalb dr. Zil Zil : Sp 6 7 /* gg 6 0 / g g Zil : Sp / g g Zil : Sp / g g

10 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Rückwärts instzn rgibt Gl: y also Gl: z 6 y Bstimmn dr Fläch, di di Kurv mit dr -Achs inschlißt: Bvor wir di Fläch brchnn, müssn wir di Nullstlln bstimmn: Si Nullstll, so gilt Damit ist ntwdr 0 odr Di MNF lifrt / /,55 Di bidn Intgral sind dann i d , i d A i i, 7 8,5 0,780 8,5

11 Lösungsvorschläg Klausur Nr. K..6 Mrk: ) Korrkturzichn: D: Dnkfhlr, R: Rchnfhlr, S: Schribfhlr Lück (hir fhlt twas, das kann vil odr wnig sin! ) Produktrgl: Bi dr Ablitung rschint in PLUS, wnn bi f zwi Trm mit multiplizirt wrdn. uv' u ' v uv ' ) Kttnrgl, z.b. ' 6 odr ln(5 ) ' 5 5 ln(5 ) ' 5 5 klar, da ln(5 ) ln(5) ln( ), also ist ln(5 ) ' ln( ) ' ln( ) ' und noch wichtigr: d ln( ) ) Ablitung von ln(): 5) Vor dm Intgrirn di Konstantn nach vorn: d d 5 5 Odr Kttnrgl bachtn sih obn Aufgab b 6) Nach dm Intgrirn immr dn Intgrandn ablitn!!! Das lohnt sich vor allm, wnn man übt!!! 0 7) ln() = und ln() = 0 dnk an: und ln p p ln (Spigln an dr Winklhalbirndn) 8) und ) Bi Nullstlln ni ausmultiplizirn abr ausklammrn, wnn immr das ght in Produkt ist gnau dann Null, wnn inr dr Faktorn Null ist (das gilt abr nicht, wnn das Produkt in von Null vrschidn Zahl ist. 0) Bi Brüchn: Vor dm Ausmultiplizirn kürzn! ) da und 0 0 ) Di quadratisch Glichung hat zwi Lösungn: / ) Bacht di Binomialglichungn, z.b. ) Bi LGS stht dr Ausdruck, dr di Umformung bschribt, hintr dr Zil, di rstzt wird umsichtig vorghn!!! Langsam rchnn, Schmirpapir bnutzn! 5) Bi inm LGS kann man sich oft vil Rchnn rsparn, wnn man umsichtig vorght, kürzt, Brüch bsitigt. Abr s ist im Abi mist sinnvoll, infach das Standardvrfahrn zu vrwndn di Aufgabn sind ntsprchnd gstllt.