2. Diskutiere die Funktion und zeichne den Graphen: (b) f(x) = 2xe x2

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Kevin Ritter
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1 . Diskutir di Funktion f(x) = x x und zichn ihrn Graphn. Gib di Glichung dr Wndtangnt an. Brchn das Volumn, das ntstht, wnn di Fläch zwischn dr Kurv und dr x-achs im. Quadrantn um di x-achs rotirt!. Diskutir di Funktion und zichn dn Graphn: (a) f(x) = (x ) x (b) f(x) = x x 3. Ggbn ist di Funktion f(x) = (4 x) x. Untrsuch das Grnzvrhaltn. Ermittl Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt und zichn dn Graphn in [ 8; 5 ]. Brchn dn Inhalt ds Flächnstücks, das vom Graphn, dr x-achs und dr Wndtangnt bgrnzt wird! 4. Für wlchn Wrt von k ligt P( ) auf dr Kurv y = kx? Di ggbn Kurv ist in [ 3, 3] untr Brchnung vntull vorhandnr Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt graphisch darzustlln! (Einhit: cm). Di zwischn dn Wndpunktn gzogn Shn schlißt mit dm übr ihr vrlaufndn Til ds Graphn in Fläch in. Brchn dn Rauminhalt, dr durch Rotation diss Flächnstücks um di y-achs ntstht! 5. Di Funktion f(x) = (a + bx) x hat dn Hochpunkt H( ). Bstimm a und b, untrsuch ob Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt vorlign und zichn dn Graphn! Brchn di Fläch, wlch di Kurv mit dr x-achs im. Quadrantn inschlißt. Wlchm Wrt strtbt 0 f für m zu? m 6. Ggbn ist di Funktion f(x) = ln x. Diskutir f(x) und zichn ihrn Graphn. x Zichn in di glich Skizz auch das Bild dr Funktion g(x) = ln x, und bwis rchnrisch, daß di Fläch zwischn dr Kurv g(x), dr x-achs und dr Gradn x = durch di Kurv f(x) halbirt wird. 7. Ggbn ist di Funktion f(x) = x + x ln x. Diskutir und zichn di Funktion! Brchn dn Inhalt dr Fläch, di von dr Kurv und von dn Gradn y = 0, x = und x = 3 bgrnzt wird. Bstimm di Schnittpunkt dr Tangnt in P( y) mit dn Koordinatnachsn. 8. Untrsuch f(x) = (ln x) ln x. Bstimm Dfinitionsmng, das Grnzvrhaltn dr Funktion und sofrn vorhandn, Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt. Zichn dn Graphn (E ˆ= cm). Brchn dn Inhalt ds im 4. Quadrantn ligndn Flächnstücks, das vom Graphn und dr x-achs ingschlossn wird! 9. Diskutir di Funktion f(x) = x x und brchn di von dr Kurv und dr x-achs ingschlossn Fläch von 5 bis Dr Graph f(x) = ln(c x + d ) schnidt di y-achs in P(0 ) und hat in Q( y) di Stigung m = 4. Brchn c und d! Diskutir f(x) und zichn dn + Graphn in [ 6, 6]. EXPundLOG0

2 LÖSUNGEN:. N(0 0), H( ), W( ), y = x + 4, V = π 4 E3. (a) N( 0) =T, H(5 6 ), W ( ), y = 0.559x 0.75, W ( ), y = 0.93x (b) N(0 0) =W, y = x, T( ), H( ), W,3 ( 3 3 ), y = 4 x lim x f(x) =, lim x f(x) = 0, N( 0), H(0 4), W( 8 ), t W : x y =, A = k =, D=R, kin Nst., H(0 ), W(± ), V = 5. f(x) = ( x) x, N( 0), H( ), W(0 ), A = , 0 m f(x)dx = 3 (3 + m) m, 0 f(x)dx = 3 6. D=R +, N( 0), H( ), W( 3 ), t W : y = x A = ln xdx = =, A = ln x x dx = = ; Anm.: substituir ln x = z π ( 3) E 3, 7. D=R +, N( 0), T( ), kin W, A E, t : x + y =, S x ( 0), S y (0 ) 8. D=R +, lim x 0 f(x) =, lim x f(x) =, N ( 0), N ( 0), T( 4 ), W( 3 4 ), t W : y = x 5 4, A = 3 E 9. N=T(0 0), H( 4 ), W ( ), W ( ), A.75E 0. c =, d =, D=R, T(0 ), W ( ln ), W ( ln ), A =.36E EXPundLOG0

3 . Diskutir di Funktion f(x) = x x und zichn ihrn Graphn. Gib di Glichung dr Wndtangnt an. Brchn das Volumn, das ntstht, wnn di Fläch zwischn dr Kurv und dr x-achs im. Quadrantn um di x-achs rotirt!. Diskutir di Funktion und zichn dn Graphn: (a) f(x) = (x ) x (b) f(x) = x x 3. Ggbn ist di Funktion f(x) = (4 x) x. Untrsuch das Grnzvrhaltn. Ermittl Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt und zichn dn Graphn in [ 8; 5 ]. Brchn dn Inhalt ds Flächnstücks, das vom Graphn, dr x-achs und dr Wndtangnt bgrnzt wird! 4. Für wlchn Wrt von k ligt P( ) auf dr Kurv y = kx? Di ggbn Kurv ist in [ 3, 3] untr Brchnung vntull vorhandnr Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt graphisch darzustlln! (Einhit: cm). Di zwischn dn Wndpunktn gzogn Shn schlißt mit dm übr ihr vrlaufndn Til ds Graphn in Fläch in. Brchn dn Rauminhalt, dr durch Rotation diss Flächnstücks um di y-achs ntstht! 5. Di Funktion f(x) = (a + bx) x hat dn Hochpunkt H( ). Bstimm a und b, untrsuch ob Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt vorlign und zichn dn Graphn! Brchn di Fläch, wlch di Kurv mit dr x-achs im. Quadrantn inschlißt. Wlchm Wrt strtbt 0 f für m zu? m EXPundLOG0

4 6. Ggbn ist di Funktion f(x) = ln x. Diskutir f(x) und zichn ihrn Graphn. x Zichn in di glich Skizz auch das Bild dr Funktion g(x) = ln x, und bwis rchnrisch, daß di Fläch zwischn dr Kurv g(x), dr x-achs und dr Gradn x = durch di Kurv f(x) halbirt wird. f(x) = ln x x f x (x) = x ln x = ln x x x f (x) = x x ( ln x) x = f (x) = Dfinitionsmng: D = R + Nullstlln: Extrmwrt: x 4 + ln x = ln x 3 x 3 x 3 x x3 ( ln x 3) 3x = 6 ln x + 9 x 6 x 4 f(x) = 0 ln x = 0 x = f (x) = 0 ln x = 0 ln x = x = = 6 ln x x 4 N( 0) f () = 3 = < 0 H( ) Wndpunkt: f (x) = 0 ln x 3 = 0 ln x = 3 x = 3 = f ( 3 ) = 3 3 = 3 0 EXPundLOG0

5 W( 3 ) Wndtangnt: y = k x + d k = f ( 3 ) = 3 3 = 3 d = y k x = = 3 + = 5 = 5 t W : y = 3 x + 5 Fläch: A = g(x) dx = ln x dx = = [x ln x x] = ( ) ( 0 ) = = 0 + = E A = = f(x) dx = ln x dx = x = 0 = E ln x x dx = [ (ln x) ] = A : A = : A : A = : EXPundLOG0

6 7. Ggbn ist di Funktion f(x) = x + x ln x. Diskutir und zichn di Funktion! Brchn dn Inhalt dr Fläch, di von dr Kurv und von dn Gradn y = 0, x = und x = 3 bgrnzt wird. Bstimm di Schnittpunkt dr Tangnt in P( y) mit dn Koordinatnachsn. 8. Untrsuch f(x) = (ln x) ln x. Bstimm Dfinitionsmng, das Grnzvrhaltn dr Funktion und sofrn vorhandn, Nullstlln, Extrmwrt und Wndpunkt. Zichn dn Graphn (E ˆ= cm). Brchn dn Inhalt ds im 4. Quadrantn ligndn Flächnstücks, das vom Graphn und dr x-achs ingschlossn wird! EXPundLOG0

7 9. Diskutir di Funktion f(x) = x x und brchn di von dr Kurv und dr x-achs ingschlossn Fläch von 5 bis 0. f(x) = x x f (x) = x x + x x = = x (x + x) f (x) = x (x + x) + x (x + ) = = x (x + 4x + ) () D=R () Nullstlln: f(x) = 0 x x = 0 : x ( 0) x = 0 N(0 0) (3) Extrmwrt: f (x) = 0 x (x + x) = 0 x(x + ) = 0 x = 0 x = f (0) = = > 0 T (0 0) f ( ) = (4 8 + ) = < 0 H( 4 ) (4) Wndpunkt: f (x) = 0 x (x + 4x + ) = 0 x, = ± 4 = ± x = + x = W ( 0, 59 0, 9) W ( 3, 4 0, 38) EXPundLOG0

8 Flächninhalt: A = 0 5 x x dx = = [ x x ] 0 0 ( x x) dx = = ( 0) ( 5 5) x x 0 5 ( x ) dx = = [ x ] 0 5 = = = = E 5 5 EXPundLOG0

9 0. Dr Graph f(x) = ln(c x + d ) schnidt di y-achs in P(0 ) und hat in Q( y) di Stigung m = 4. Brchn c und d! Diskutir f(x) und zichn dn + Graphn in [ 6, 6]. f(x) = ln(cx + d) f (x) = f(0) = : ln(d) = f () = 4 : c = 4 + c +d + cx + d cx = cx cx + d I: ln(d) =... d = : d = II: c( + ) = 4(c + ) c + 4c = 4c + 4 c = 4 : c = : f(x) = ln(x + ) f(x) = ln(x + ) f (x) = x + 4x = 4x x + f (x) = 4(x + ) 4x(4x) = 8x + 4 6x = 8x + 4 (x + ) (x + ) (x + ) f (x) = ( 6x)(x + ) ( 8x + 4)(x + )(4x) (x + ) 4 = Dfinitionsbrich: D = R = ( 6x)(x + ) ( 8x + 4)8x (x + ) 3 = = 3x3 6x + 64x 3 3x = 3x3 48x (x + ) 3 (x + ) 3 EXPundLOG0

10 Nullstlln: f(x) = 0 ln(x + ) = 0... x + = x = : x = 0, 86 kin Nullstlln! Extrmwrt: f (x) = 0 4x x + = 0 (x + ) 4x = 0 x = 0 f (0) = 4 = 4 > 0 T (0 ) Wndpunkt: f (x) = 0 8x + 4 (x + ) = 0 (x + ) 8x = 4 : ( 8) x = x = ± ±, 658 ( ) f 0 ( ) f = ln( + ) = ln() = ln + ( W ) ln + W (, 7, 69) ) f ( 0 ( ) f = ln( + ) = ln() = ln + EXPundLOG0

11 ( W ) ln + W (, 7, 69) Wndtangntn: y = k x + d k = f ( ) = 4 + = 4 d = y k x = ln + t W :y = = 6 8 = = ln + = ln x + ln bzw. t W :y = 0, 86 x + 0, 69 Graph: k = f ( ) = 4 d = y k x = ln + + = = ln + = ln t W :y = x + ln bzw. t W :y = 0, 86 x + 0, 69 EXPundLOG0

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