Exponentialfunktionen Musteraufgaben

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1 Eponntialfunktionn Mustaufgabn Typ u() f = k± AUFGABEN bis 5 mit alln Lösungn D Aiusduck ist nu von d Mathmatik-CD aus möglich Kuvndiskussionn auf Gundkusnivau mit Intgationsaufgabn Dati N. 45 Apil Fidich W. Buckl Intnatsgymnasium Schloß Toglow

2 45 -Funktionn Typ Eponntialfunktionn Typ : u() f = k± Aufgab f() = 4 a) Bstimm fü das Schaubild K von f di Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn und di Asymptot. Untsuch, ob s Etm- und Wndpunkt gibt. Zichn das Schaubild fü [ - 3 ; 4 ] mit Längninhit cm. Wi ntstht dis Kuv K aus d Kuv C mit d Glichung y =? b) Stll di Glichung d Tangnt im Schnittpunkt N mit d -Achs auf und zichn dis in. c) Flächnbchnung mit Intgation: Das Schaubild K von f, sin waagcht Asymptot und di Gadn = - ln 4 und = (mit > - ln 4 ) bgnzn in Fläch. Bchn dn Inhalt A() sowi dn Gnzwt A* fü. d) In wlchm Vhältnis tilt di Tangnt im Schnittpunkt N d Kuv mit d -Achs di Fläch A*? Aufgab f() = 3 a) Bstimm fü das Schaubild K von f di Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn und di Asymptot. Untsuch, ob s Etm- und Wndpunkt gibt. Zichn das Schaubild fü [ - 4 ; 5 ] mit Längninhit cm. Wi ntstht dis Kuv K aus d Kuv C mit d Glichung y =? b) Stll di Glichung d Tangnt im Schnittpunkt N mit d -Achs auf und zichn dis in. c) Flächnbchnung mit Intgation: Das Schaubild K von f, sin waagcht Asymptot und di Gadn = und = ln 9 (mit < ln 9 ) bgnzn in Fläch. Bchn dn Inhalt A(). Wlchn Gnzwt A* hat dis Fläch, wnn ght? Wi goß muß sin, damit di in (a) gnannt Fläch dn Inhalt bkommt? In wlchm Vhältnis tilt di Tangnt im Schnittpunkt N d Kuv mit d -Achs di Fläch A*?

3 45 -Funktionn Typ Aufgab 3 a) Bstimm fü das Schaubild K von f di Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn und di Asymptot. Untsuch, ob s Etm- und Wndpunkt gibt. Zichn das Schaubild fü [ - ; 6 ] mit Längninhit cm. Wi ntstht dis Kuv K aus d Kuv C mit d Glichung f() = y =? b) Stll di Glichung d Tangnt im Schnittpunkt S mit d y-achs auf und zichn dis. c) Flächnbchnung mit Intgation: Das Schaubild K von f, sin waagcht Asymptot und di Gadn = und = (mit > ) bgnzn in Fläch. Bchn dn Inhalt A(). Wlchn Gnzwt A* hat dis Fläch, wnn ght? d) In wlchm Vhältnis tilt di Tangnt im Schnittpunkt S d Kuv mit d y-achs di Fläch A*? Aufgab 4: f = 3 a) Bstimm Nullstll und Asymptot, zichn das Schaubild K von f fü 3 3 mit Längninhit cm. b) Etmwtaufgab: P ( u I v ) si in Punkt ds Schaubilds im. Fld und Q d Fußpunkt ds Lots von P auf di -Achs. Bchn mit inm Itationsvfahn di Stll u, fü di d Inhalt ds Dicks OPQ maimal wid. Bwis, daß in absoluts Maimum voligt und gib dssn Göß an. c) Di Tangnt und di Nomal im Schnittpunkt mit d -Achs bgnzn zusammn mit d y-achs in Dick. Bchn dssn Inhalt. d) Intgationsaufgab: Bchn di Fläch A, di von d Kuv K und dn Koodinatnachsn bgnzt wid. Di Kuv, di waagcht Asymptot und di Gadn = mit < und = bgnzn in zwit Fläch. Bchn dn Inhalt A() sowi dn Gnzwt davon fü.

4 45 -Funktionn Typ Aufgab 5: f = a) Bstimm Nullstll und Asymptot, zichn das Schaubild K von f fü 3 3 mit Längninhit cm. b) Etmwtaufgab: Di Gad = u mit u > schnidt das Schaubild K in P und di Gad g Mit d Glichung y = - schnidt K in Q. Fn si R ( I - ). Bchn dn Inhalt ds Dicks PQR. Fü wlchn Wt nimmt s inn tmn Inhalt an? Untsuch At und Göß diss Etmwts. c) Spiglt man K an d Gadn g: y = -, nstht di Kuv C. Bchn dn Glichung. K schnidt di Kuv C in inm Punkt S. Bchn di Koodinatn von S sowi di Schnittwinkl bid Kuvn. d) Annähung an di Asymptot: Ab wlch Stll ist di Kuv von ih Asymptot wnig als ntfnt, gmssn in y-richtung? 9

5 45 -Funktionn Typ Lösung Eponntialfunktionn Typ : u() f = k± Lösung zu N.: a) Ablitungn: f() = 4 f'() = f''() = = Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn: Mit d -Achs: Bd: f( N ) = d.h = d.h. - = 4 - = ln d.h. N = - ln 4 ( = ln ) 4 N ( - ln 4 I ) Mit d y-achs: f() = - 4 = - 4 = - 3 S ( I - 3 ) Asymptot: y = - 4, dnn lim Fü ght - = (Sih Sit 6! ). Bchnung von Etm- und Wndpunktn: Da f'() = - - < ist fü all R, fällt f stng monoton in R. Es gibt also kin Etmpunkt. Da f''() = - > ist fü all R, hat das Schaubild K von f stts Linkskümmung. Es gibt also kin Wndpunkt. Di Kuv ntstht aus y = - duch Vschibung um 4 nach untn.

6 45 -Funktionn Typ Lösung b) Tangnt im Schnittpunkt d Kuv mit d -Achs Di Tangntnstigung wid mit d Ablitungsfunktion f' bchnt: ln 4 mt = f'( ln 4) = = 4 dnn s ist ln 4 = 4! Di Nullstll ist N = - ln 4. Di Punkt-Stigungs-Fom lift di Gadnglichung: y y = m( ) Tangntnglichung: y = 4(+ ln4) d.h. y = -4-4 ln 4 c) Das Schaubild K von f, sin waagcht Asymptot und di Gadn = - ln 4 und = (mit > - ln 4 ) bgnzn in Fläch. Bchnung ds Inhalts A(). N ln 4 A() = 4 ( 4) d = = = ln 4 d ln 4 A() = + = + 4 = 4 Gnzwt fü : A* = ln4 lim A() = lim(4 ) = 4 lim = 4 dnn lim = Q R Bd.: A() = d.h = d.h.. - = also - = ln d.h. = - ln. Egbnis: A(- ln ) = d) Di Tangnt in S Nullstll wud bits auf Sit 6 bchnt: T: y = -4-4 ln 4 Dis Tangnt schnidt von d Fläch A* in Dick vom Inhalt A ab. Bchnung diss Dicksinhalts: Dazu bauchn wi zunächst dn Schnittpunkt R d Tangnt mit d waagchtn Asymptot: ln 4 = = 4 ln 4-4 I : ( - 4 ) R = - ln 4 + = - ln 4 A = QR NQ = ( R Q) 4 = ( ln4 ( ln4)) = Di and Tilfläch ist dann A = A* - A = 4 - = Egbnis: Dis Tangnt T halbit di Fläch A*, d.h. si tilt si im Vhältnis :.

7 45 -Funktionn Typ Lösung Lösung zu N. f() = 3 Ablitungn: f'() = = f'() = = 4 Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn: Mit d -Achs: Bd: f( N ) = d.h 3 = = 3 ln 3 = also = ln 3 = ln 3 = ln 9 N ( ln 9 I ) Mit d y-achs: f() = 3 - = 3 - = d.h. S ( I ) Asymptot: y = 3, dnn lim = (Sih Sit 6! ) Fü ght, also f() Etm- und Wndpunkt: Da f'() = < ist fü all R, fällt f stng monoton in R. Es gibt also kin Etmpunkt. Da f''() = < ist fü all R, hat das Schaubild K von f stts 4 Rchtskümmung. Es gibt also kin Wndpunkt. Ezugung von K aus C: y = Das Schaubild K von f ntstht aus y = duch Stckung um in -Richtung, dann Spiglung an d -Achs, dann Vschibung um 3 in y-richtung.

8 45 -Funktionn Typ Lösung b) Tangnt im Schnittpunkt d Kuv mit d -Achs Di Tangntnstigung wid mit d Ablitungsfunktion f' bchnt: (ln3) ln3 3 mt = f'(ln3) = = = R Tangnt in N ( ln 9 I ): 3 y = ( ln 3) 3 3 y = + 3ln3 = + ln7 Hi ist s günstig, N = ln 3 statt N = ln 9 zu vwndn!!! Q N c) Flächnbchnung: ln9 ln9 A() = 3 3 d = d ln9 ln9 ln 3 = = = = 6 dnn ln 9 ln9 ln 9 ln3 = = = = 3!!! Gnzwt fü : A* = lim A() = lim (6 ) = 6 lim = 6 dnn Bd.: A() = d.h. = ln= ln = ln 4 Egbnis: A( ln 4) = d) Tangnt in d Nullstll: lim = 6 = = 4 = = ln T: y = -,5 + ln 7 bzw. y = -,5 + 3 ln 3 (s.o.) Dis Tangnt schnidt von d Fläch A* in Dick vom Inhalt A ab. Bchnung diss Dicksinhalts: Dazu bauchn wi zunächst dn Schnittpunkt R d Tangnt mit d waagchtn Asymptot: -,5 + 3 ln 3 = 3 -,5 = 3-3 ln 3 I : ( -,5 ) R = - + ln 3 = ln A = QR NQ = ( Q R) 3 = (ln9 (ln9 ) = = 3 Di and Tilfläch ist dann A = A* - A = 6-3 = 3 Egbnis: Dis Tangnt T halbit di Fläch A*, d.h. si tilt si im Vhältnis :.

9 45 -Funktionn Typ Lösung 3 Lösung zu N. 3 Ablitungn: f'() = = f() = ( ) = Schnittpunkt mit dn Koodinatnachsn: Mit d -Achs: Bd: f( N ) = d.h = = 4 = ln 4 also = ln 4,6 N ( - ln 4 I ) Mit d y-achs: f() =,69 S Asymptot: y = -, dnn lim = lim = lim =. Fü ght f() =, also f() Bchnung von Etm- und Wndpunktn: Da f'() = < ist fü all R, fällt f stng monoton in R. Es gibt also kin Etmpunkt. Da f'() = > ist fü all R, hat das Schaubild K von f stts Linkskümmung. Es gibt also kin Wndpunkt.

10 45 -Funktionn Typ Lösung 3 b) Tangnt im Schnittpunkt d Kuv mit d y-achs Di Tangntnstigung wid mit d Ablitungsfunktion f' bchnt: mt = f'() = = Tangnt in S : Da wi n = 3 als y-achsnabschnitt von T knnn, folgt sofot üb y = m + n: y = + S Hinwis: Wnn wi hi d Schnittpunkt d Gadn mit d y-achs bkannt ist, wndt man nicht di Punkt-Stigungs-Fom an N c) Flächnbchnung: Q R A() = ( ) d = d = A() = + = Gnzwt fü : A* = lim A() = lim ( ) = lim = dnn = Di lim d) Tangnt in : T: S = + y Dis Tangnt schnidt von d Fläch A* in Dick vom Inhalt A ab. Bchnung diss Dicksinhalts: Dazu bauchn wi zunächst dn Schnittpunkt R d Tangnt mit d waagchtn Asymptot: + = + = = Dis gibt R = A = QR NQ = ( R Q) ys y Q = ( )( + ) = 4 7 Di and Tilfläch ist dann A = A* - A = = 4 4 Egbnis: Dis Tangnt T tilt di Fläch im Vhältnis A 4 = = = 7 : 7. A 7 4

11 45 -Funktionn Typ Lösung 4 Lösung zu N. 4 Nullstlln: Bd.: N = = N = Nln3 ( ) f 3 ln3, Ablitungn: f' =, f'' = Da f' kin Nullstlln hat, bsitzt das Schaubild K kin Etmpunkt. Da f'' kin Nullstlln hat, bsitzt das Schaubild K kin Wndpunkt. Asymptot: y = 3, dnn =. lim b) P ( u I 3 - u ) ligt fü ];ln3[ im. Fld auf dm Schaubild K. Inhalt ds Dicks OPQ: u A u = u f u = u 3 mit D u = ];ln3[ Ablitungn mit d Poduktgl: ( v )' u' u u = ( ) + ( ) u u = ( ) A' u 3 u A 'u 3 u u = v + u v ' u u u = ( + ) u u u u u u = ( ) = ( + ) = ( + ) A '' u u A '' u u u u u u Etmwtbdingung: A 'u = 3 u = ( ) E f = 3 P Q u u Di Glichung + u 3 = läßt sich nicht akt lösn. Wi vwndn dah das Nwtonsch Itationsvfahn: u u Dazu dfinin wi di Hilfsfunktion h( u) = + u 3, dn Nullstll gsucht ist. Wi bnötign noch dn Ablitung: h' ( u) = u + u + u u = u + u u = u ( + u) Di Nwtonsch Itationsfoml zu Bchnung d Nullstlln d Hilfsfunktion h hu ( n ) lautt: un+ = un h' u Daaus folgt: un un ( n ) + n n ( n ) ( + ) hu u 3 un+ = un = un u h' u u Bvo wi disn Tm auf inn gminsamn Nnn bingn schaun wi uns in toll ún Vinfachung an. D Buch nthält insgsamt dimal dn Ausduck, d spät mit dm Taschnchn zu vabitn ist. Und s gibt nu inn Summandn, nämlich di - 3, di disn ún ún Fakto nicht hat. Dah küzn wi infach duch. Küzn hißt : Zähl und Nnn duch 3 ú n dividin. Statt. ú n schibn wi dann jdoch 3 Es blibt also nach dm Küzn nu noch inmal in -Potnz sthn, was in dutlich Vinfachung bdutt: Also küzn wi: n n

12 45 -Funktionn Typ Lösung 4 u n+ u u u n n n n n n + u 3 u + u u + 3 u + u + 3 = un = = + u + u + u n n n n n n Dis Foml lift nun d Rih nach vbsst Nähungswt fü di Nullstlln von h, d.h. fü di Etmstlln d Flächninhaltsfunktion A(u). Wi bginnn mit dm Statwt u =,7 (als gschätztn Wt nach d Zichnung) Damit ist also n =. Di Foml lift duch Einstzn mit dm Taschnchn u =,6 3 8 u =, u 3 =, Hi düfn wi abbchn, wil di 4. Dzimal stabil zu sin schint. Hi noch di Tastfolg fü di Itationsfoml: D Zähl wid in d stn Zil bchnt, d Nnn in d zwitn. Di Schlußklamm kann man wglassn. Das ltzt Egbnis wid vo d nächstn Itation natülich wid gspicht! M in MR ± SHIFT ln = ( + MR = Egbnis: Di Etmstll ligt bi ue,676. Kontollchnung: A ''(,676) < also ligt in lativs Maimum vo. Untsuchung d Randwt: u gibt A ( u) u ln3 gibt A ( u). Also ist d Etmwt soga in A = A,676,3537 absoluts Maimum von d Göß ma c) Nullstll: N ( ln 3 I ) ln3 Tangntnstigung in N: f'(ln3) = = 3 Nomalnstigung in N: mn = = m 3 Tangnt in N: Nomal in N: T y = 3 ln 3 y = 3+ 3 ln 3 y = ln 3 y = ln Schnittpunkt d Tangnt mit d y-achs: B 3ln3 Schnittpunkt d Nomaln mit d y-achs: C ln3 ( 3 ) Läng d Stck BC: BC= yb yc = 3 ln3+ ln3= ln3 3 3 Höh d Dicks BCD: ON = N = ln 3 Inhalt ds Dicks BCN: A = BC ON = ln 3 ln 3 = ln3, B C N

13 45 -Funktionn Typ Lösung 4 d) Fläch zwischn d Kuv und dn Koodinatnachsn: ln3 ln 3 ln3 A = 3 d = 3 = 3 ln3 3 A = ln3 3 + = ln 7,3 FE Fläch zwischn d Kuv, d Asymptot und d y-achs: A() = 3 3 d = d = = = () lim A =, dnn lim =.

14 45 -Funktionn Typ Lösung 5 Lösung N. 5 f = a) Nullstll: Bd.: d.h. f = d.h. k N = = ln = ln = ln = ln Eg:.: N 4 ( ln ) Asymptot: y =, dnn lim = K P R Q b) Es si P u Inhalt ds Dicks PQR: u und Qu ( ) u P Q, R ( ) A u = RQ PQ = u y y = u mit D u = ]; [ u u u = ( ) = - ( ) A 'u u u - u u u - - A '' u = u + ( ) = 4 ( u + ) Etmwtbdingung: A 'u ( E ) = d.h. = E = Kontoll: A '' = ( ) < Also ligt in lativs Maimum vo. 4 u u Untsuchung d Randwt: u gibt A ( u) u C - u lim u = - u 4 = u (ntwd wil di -Funktion "stäk" ist od Bwis mit d Rgl von d L'Hospital (LK!): - u u u lim ( u ) = lim = lim = lim = u u u u u u Eg:.: Fü u E = hat das Dick sinn absolut gößtn Inhalt: A ma = A() = -

15 45 -Funktionn Typ Lösung 5 c) Spiglung von K an g: y = - P ( I y ) si in blibig Kuvnpunkt. Spiglt man ihn an g: y = -, ntstht sin Spiglbild P( y), d dislb -Koodinat hat, ab in nu y-koodinat. Da di Mitt von P und P auf g y+ y ligt, gilt: = Daaus folgt: y+ y = also y = y Ligt nun P auf K, dann ist y = = Schnitt von K mit C: Daaus folgt y =, also folgt. C hat also di Glichung y =. = d.h. =, = gibt S = ys = = d.h. d Schnittpunkt ist S ( ) m m Schnittwinklbchnung mit d Foml: tan γ= + mm wobi di Tangntnstigungn Wt d st Ablitungsfunktion sind. Duch di Btagsstich wid d Tangns nicht ngativ, also haltn wi auf dis Wis kinn Winkl üb 9 = = ( ) = m = f' ( ) = f f' = = ( ) = m = g' ( ) = g g' tan γ= = = = 3 γ = actan 53,3 4 o 3 o o o o ,3 6,87 γ = γ = d) Di Annähung d Kuv an ih Asymptot y = - mißt man duch Bdingung: 9 d = f = + = d < d.h. 9 < 9 Dis ist glichwtig zu < ln = 9 ln ( ) > 8 ln 4,45 Da dis Wt aufgundt ist, kann man sagn: P( y) P( y) Egbnis: Fü > 4,45 ist das Schaubild K von d Asymptot wnig als in Milliadstl ntfnt.