3.2.3 Stochastisches Bestandsmanagement Einperiodisches Bestandsmanagement. Newsvendor Problem

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1 3..3 thastishs Bstandsmanagmnt Im lgndn btrahtn wir Prblmstllngn, bi dnn di Nahfrag niht xakt rgnstizirt wrdn kann Das hißt, bwhl di Nahfrag nsihr ist, ist in Bstllmng fstzlgn Daz arbitn wir mit sthastishn Vrtilngn dr Nahfrag Wir bginnn hirz mit dr Btrahtng inridishr Mdll, d.h. s wird ldiglih in Prid btrahtt, für di in timal Bstllmng z rmittln ist Bsinss Cmting and Oratins Rsarh Einridishs Bstandsmanagmnt Bi inm inridishn Mdll wird ldiglih in Bstllvrgang btrahtt Hirz ist in timal Bstllmng z rmittln Dabi handlt s sih mist m Anwndngn mit shr vrdrblihn Gütrn, d.h., m Gütr, di falls niht vrkaft in dn lgridn niht mhr vrwndbar sind Möglih Bisil sind hirfür Tagszitngn Liht vrdrblih Lbnsmittl Aktinswarn Extrm Mdartikl Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 369 Nwsvndr Prblm Als klassishs Mdll dint in dism Brih das s gnannt Nwsvndr r Nwsb Mdl, d.h. das Zitngsvrkäfrmdll Bi dism Mdll wird in Zitngsvrkäfr btrahtt Disr ntshidt an jdm Mrgn, wi vil Zitngn r bstllt ür jd Zitng ist in Btrag vn Er Bstllkstn z ntrihtn Daggn rzilt dr Vrkäfr inn Erlös vn r Er r vrkaftr Zitng Ah ist s möglih, in niht vrkaft Zitng für ver zrükzgbn Offnsihtlih gilt: r > > v Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 37

2 Cmtr Jrnal at Ma s (vgl. Nahmias(5)) Wir btrahtn in infahs Bisil Ma, Bsitzr ins Zitngskisks bstllt jdn nntag das wöhntlih rshinnd Magazin Th Cmtr Jrnal Er bzahlt 5 Cnts für jds Exmlar im Einkaf nd vräßrt s z r75 Cnts Danbn könnn niht vräßrt Exmlar für v Cnts zrükggbn wrdn Ma möht in ffizints Bstandsmanagmnt installirn nd rfasst hirz di Häfigkit dr Nahfrag Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 37 Nahfrag dr ltztn 5 Whn Nahfrag Mittlwrt dr Rih ist,73769 tandardabwihng ist 4, Tag Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 37 Rsltirnd Häfigkitn Häfigkit Nahfrag Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 373

3 Datn dr diskrtn Vrtilng Nahfrag Häfigkit f,93769,93769,93769, , ,576938, ,93769, , , , , ,769377,5 9 6,538465, , , , ,5 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 374 rtstzng Nahfrag Häfigkit f 4,769377, ,93769, , , , , ,93769, ,576938, ,576938, ,576938,987693,987693,987693,93769 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 375 Otimal Bstllmng Ma möht di Bstllmng timirn, m sin Bstandsmanagmnt z vrbssrn, d.h. s sind di Kstn z minimirn, drn Höh vn dr Bstllmng binflsst wird Zr indng dr timaln Bstllmng ist z ntrshn, wlh Kstnjwils vn hl-dr Übrshssmngn vrrsaht wrdn Dis sind dann ntsrhnd z qantifizirn nd in ihrr Häfigkit z bwrtn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 376

4 Entwiklng inr Kstnfnktin Wrdn z wnig Einhitn bstllt, d.h. s gibt hlmngn, trtn di rzilbarn Erlös als Ortnitätskstn af. Hir gibt s inn Untrbstandnd wir stzn als Untrbstandskstnsatz an (Unit Undrag Cst) Im all z grßr Bstllmngnist daggn di Diffrnz as Bstllkstn nd Rükgabrlös anzstzn. Hir gibt s inn Übrbstandnd wir stzn als Übrbstandskstnsatz an (Unit Ovrag Cst) v r Es mss gltn r > > v Damit rgibt sih dr Erwartngswrt dr Kstn as dr Btrahtng allr möglihn äll, d.h. allr möglihn Nahfragn, in Abhängigkit dr gwähltn Bstllmng Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 377 Übrgang zr sttign Variant Im lgndn wlln wir ns sttign Nahfragfnktinn zwndn Warm? Häfig lassn sih Gstzmäßigkitn in diskrtn Vrtilngn rknnn (sih zm Bisil dr Tsts af Nrmalvrtilng) Dis vrbssrt di Analsirbarkit dr Zsammnhäng Zdm könnn di Instrmnt dr Infinitsimalrhnng gntzt wrdn Znähst wird nr in blibig sttig Vrtilng hrangzgn, m allgmin Ergbniss rziln z könnn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 378 Eignshaftn dr sttign Variant Ggbn si in Zfallsvariabl, di für di Nahfrag stht Wir ntrstlln in blibig sttig Nahfragvrtilng Drn Dihtfnktin f() gibt di Wahrshinlihkit dafür an, dass gna Gütr nahgfragt wrdn Drn Vrtilngsfnktin () gibt an, dass bis inshlißlih Gütr nahgfragt wrdn alls f() bzw. () niht gbn ist, sind Wrttablln inshbar Zdm ntrstlln wir, dass s kin ngativn Nahfragn gbn kann, d.h. f() für < Baht, dass dis kin trivial Annahm ist. Zm Bisil lässt di Nrmalvrtilng bi gringn Mittlwrtn nd (rlativ hirz) größrn Varianzn drhas sitiv Wahrshinlihkitn für ngativ Nahfragmngn z Darübr hinas wrdn abr kin witr Annahmn an dn gnan Vrlaf dr Nahfragvrtilng gstllt Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 379

5 Di sttig Kstnfnktin Wir btrahtn smit im lgndn di Kstnfnktin ( ) ( ) Z f d f d Vrghn Wi könnn wir di timal Bstllmng bstimmn? Offnsihtlih ist hirz znähst di Ablitng nah z rmittln nd dann Extrmnkt z findn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 38 Libnizrgl Zr Lösng nsrs Prblms bnötign wir di s gnannt Libnizrgl. i latt allgmin a( ) Z ( ) h(, ) d a( ) a( ) h(, ) a ( ) a ( ) d h( a ( ), ) h( a ( ), ) a ( ) Dis könnn wir nn infah af nsr Prblm anwndn. ür das rst Intgral rgibt sih di bstittin a ( ), a ( ), h(, ) ( ) f Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 38 Intgral Damit rhaltn wir ( ) f a a d ha ( ), ha ( ), ( ) f ( ) ( ) f ( ) f f d ür das zwit Intgral rgibt sih di bstittin a f d ( ) ( ) ( ) a ( ), h(,) ( ) f, Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 38

6 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 383 Intgral Damit rhaltn wir Damit rgibt sih als rst Ablitng d f d f f a, a h a, a h d f f f k k k k lim Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 384 Und als zwit Ablitng rgibt sih smit Dis zwit Ablitng ist ffnsihtlih größr dr glih Nll für all Wrt vn nd smit knvx Damit sind all Nllstlln dr rstn Ablitng Minima dr Kstnfnktin Wir brhnn als di timal Bstllmng drh Nllstzn dr rstn Ablitng f f Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 385 Brhnng dr timaln Bstllmng Wir rhaltn smit Man bzihnt CR als das Critial rati Es gilt für all Nahfragvrtilngn CR mit,

7 CR Bisilrhnng i di flgnd Paramtrknstllatin ggbn r3 v,5 Damit gilt v,5,5 r 3 CR,5,5,8 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 386 Zrük zr diskrtn Variant Da man davn asght, dass di jwilig diskrt Vrtilng drh in sttig angnährt wrdn kann, sind nsr Ergbniss dr sttign Vrsin ah vrwndbar für dn diskrtn all Dis führt ns nn zrük z nsrm klinn Eingangsbisil Das Ma Bisil Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 387 CR ür das Ma Bisil Hir war di flgnd Paramtrknstllatin ggbn 5 Cnts r75 Cnts v Cnts Damit gilt v 5 5 Cnts r Cnts 5 CR, Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 388

8 Wi lässt sih diss Ergbnis intrrtirn? Wir wähln bi inr blibign Nahfragvrtilng di Bstllmng, di in 8 Prznt allr äll kin hlmngn vrrsaht, d.h. s gilt Andrs asgdrükt: (x *)(*),8 ür das Bisil Ma CR,7693 Wir shn di Nahfrag bi dr ngfähr dn Wrt,7693 annimmt Dis ist wlln wir anhand dr Tabll rmittln Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 389 Datn dr diskrtn Vrtilng Nahfrag Häfigkit f,93769,93769,93769, , ,576938, ,93769, , , , , ,769377,5 9 6,538465, , , , ,5 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 39 rtstzng Nahfrag Häfigkit f 4,769377, ,93769, , , , , ,93769, ,576938, ,576938, ,576938,987693,987693,987693,93769 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 39

9 Knsqnz Dr gsht Wrt CR wird ffnsihtlih zwishn 4 nd 5 angnmmn Wir wähln afgrnd dr Näh z dn Wrtn nd nah inr gnarn Btrahtng 5 als timal Bstllmng Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 39 Untrstllng inr Nrmalvrtilng Im lgndn wlln wir in Nrmalvrtilng als Nahfragfnktin ntrstlln Daz bnötign wir znähst inig allgmin Infrmatinn zr Nrmalvrtilng i bsitzt di Dihtfnktin x µ σ f ( x), σ π mit µ als Erwartngswrt nd σ als tandardabwihng Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 393 Eignshaftn Es gilt nd µ t µ σ ( µ ) dt σ π ( x µ ) x µ ( x µ ) µ σ σ f ( x) σ π σ π f Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 394

10 Knsqnzn Damit ntsrhn sih bi dr Nrmalvrtilng Mdian nd Mittlwrt Di Nrmalvrtilng ist ffnsihtlih smmtrish Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 395 Di zghörig Vrtilngsfnktin ist lidr niht analtish brhnbar Dahr wird ft dr zialfall mit µ nd σ btrahtt Dis szill Vrtilngsfnktin ist di s gnannt tandardnrmalvrtilng N(,) ür dis nktin sind szill Tabllirngn vrfügbar Dahr wär s wünshnswrt di allgmin Nrmalvrtilng hiraf zrükzführn Af dis Wis kann af di szill Tabllirng dr tandardnrmalvrtilng zrükggriffn wrdn Wir wlln nn inig Eignshaftn disr szilln Vrtilngsfnktin hrlitn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 396 Eignshaftn dr tandardnrmalvrtilng Dihtfnktin Vrtilngsfnktin f x ϕ ( x) π x t x Φ( x) dt π x Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 397

11 Transfrmatin dr Nrmalvrtilng N(µ,σ) Es gilt di flgnd z-transfrmatin x µ t z σ x µ ( x) dt σ π Dis lässt sih liht drh di flgnd Bzihng zign. gilt Damit rhält man di Dihtfnktin als Ablitng x µ x µ σ x µ x µ σ f f x x σ σ σ σ π σ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 398 Grndsätzlih lgrngn Damit ist di Brük zr tandardnrmalvrtilng hrgstllt nd wir könnn nn frmlirn alls di Zfallsvariabl x nah N(µ,σ) vrtilt ist, gilt a µ P( x a) ( a) σ Damit gilt für Intrvall ( ) ( ) ( ) ( ) P a x b P x a P x b a b a µ b µ b µ a µ σ σ σ σ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 399 α Qantil ür α( α ) ist das α Qantildr Wrt z(α), bi dm gilt z( α) P x z α α Daras flgt nmittlbar ( ) ( α) z α Da abr ah di Vrtilngsfnktin dr tandardnrmalvrtilng niht analtish bstimmbar ist, kmmt di flgnd nmrish Nährng dr z-transfrmatin zr Anwndng ( α ), mit α Qantil dr tandardnrmalvrtilng α µ z σ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4

12 Knsqnz Erinnrn wir ns: ür das CritialRati CR gilt (*)CR ür di tandardisirng dr Zfallsvariabl * rhaltn wir smit * * * x µ µ ( ) P x P ( z CR ) CR σ σ Das CritialRati CR als in CR Qantildr tandardnrmalvrtilng Di timal Bstllmng wird übr di Rüktransfrmatin rhaltn µ z ( CR) σ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 z Knsqnz CR z( CR) ( z( CR) ) f ( z) dz CR f z z z * µ z( CR) σ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 Das Ma Bisil In dm Ma Bisil galt CR,8. As dr nmrishn Nährngdr tandardnrmalvrtilng rgibt sih z CR,8,84 in di flgndn Datn ggbn µ tük, σ tük µ z CR σ, 84 7 tük Wir wähln smit für in sthastish nabhängig nd nrmalvrtiltnahfrag in Bstllmng vn 7 tük Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 43

13 Di Nährng dr tandardnrmalvrtilng z(α) α (z(α)),69,755,7,76,7,765,74,77,755,775,78,78,79,785,8,79,85,795,84,8,86,85,88,8 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 44 Erwartt hlmng J() Man vrinbart als rwartt hlmng bzgl. Damit gilt ( ) J f d ( ) limk ( ) J f d f d k µ σ limk ( ) d σ π k Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 45 Erwartt nrmirt hlmng L(z) Analg hirz wird di rwartt nrmirt hlmng für z vrinbart L z z d ( ) ϕ z Zsammnhang zwishn J(*) nd L(z*) ( µ ) L( z ) ( z ) d ( µ z ) d π π z µ z µ µ σ z d J σ π σ µ z σ J ( ) σ L z Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 46

14 Ein witr wihtig Eignshaft vn L(z) Nahmias(5) zigt di flgnd wihtig Eignshaft dr rwarttn nrmirtn hlmng z z L( z) z ( z) d π π z φ ( z) z Φ d f ( z) z ( ( z) ) Dis Eignshaft rlabt ns in kmakt Darstllng dr rwarttn timaln Kstn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 47 Z Erwartt timal Kstn Nn könnn wir für di rwarttn Kstn dr timaln Bstllmng * frmlirn ( ) ( ) f d ( ) f f d f d f d f d f d f d ( ) f d f µ µ d d f d f d f d ( ) f ( ) f d ( ) f d f d f d ( ) f Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 48 d d Erwartt timal Kstn Z ( ) µ ( ) f d ( ) f d z σ J ( ) σl( z ) z σ f d z σ σ L z z σ ( ) σ f ( z ) z ( z ) z σ ( ) σ f ( z ) ( ) σ z z σ σ f z σ z σ f z Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 49

15 Es gilt smit Damit rgbn sih für Z(*) ( ) (, 5 3 ) (, 84) Z σ f z f, 5, 8 4 Damit rgibt sih als timalr Gwinn Π µ Z 3 Z 4 86 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 Knsqnzn Wir shn nmittlbar, dass swhl di Höh ds Erwartngswrts als ah di Höh dr tandardabwihng inn signifikantn Einflss af dn rwarttn Gwinn habn Trivial Erknntnis J größr dr Erwartngswrt (als ds rwarttn Absatzs) dst größr ist dr rwartt Erlös nd damit dr rwartt Gwinn J größr di tandardabwihng (als di Unsihrhit in dr Nahfrag) dst größr wrdn di rwarttn Kstn nd mindrt damit dn rwarttn Gwinn. Z bahtn ist hirbi Es gibt Unsihrhit afgrnd inr nsharfn Nahfragrgns (hir gibt s in wihtigs Vrbssrngstntial) mit ist an inr vrbssrtn Prgns mit gringrn Abwihngn z arbitn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 lg: Idalr Extrmfall Bi sihrr Nahfragrgns hn Abwihngn rgbn sih kinrli rwartt Kstn mhr wär in dism all di Bstllmng an dr nn sihrn rwarttn Nahfragrgns aszrihtn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4

16 Es gilt nn Erwartt Kstn Z Z(*) bi Halbirng vn σ ( ) ( ) σ f ( z ) (,5 ) f (,84),5,8 7 Damit rgibt sih als timalr rwarttr Gwinn Π ( CR) µ,84 σ,84 9 ( ) ( 3 ) Z( ) 7 93 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 43 Diskrt Variant Hir tritt di Nahfrag in vrdfinirtn Wahrshinlihkitn in diskrtn Nivas af Wir ghn dabi davn as, dass di Nahfrag für klinr n Pissn vrtilt ist Hirz znähst inig Infrmatinn zr Pissnvrtilng Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 44 Infrmatinn zr Pissnvrtilng Di Pissnvrtilngist in diskrt Wahrshinlihkitsvrtilng, d.h. s trtn nr abzählbar vil Asrägngn af i ist abglitt as inr lg vn Brnlli Exrimntn ( möglih Asgäng) Di Dihtfnktin dr Pissnvrtilng ist dfinirt drh ( ), mit als Erignisrat! Di Erignisrat ist zglih Erwartngswrt nd Varianz dr Vrtilng Dr Einsatz inr slhn Vrtilng bitt sih immr dann an, wnn nr wnig Asrägngn möglih sind Ght di Anzahl dr möglihn Asrägngn ggn Unndlih nährt sih di szill aramtrisirt Pissnvrtilngdr tandardnrmalvrtilng Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 45

17 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 46 Erwartngswrt dr Pissnvrtilng Es gilt für dn Erwartngswrt: E!!! Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 47 Varianz dr Pissnvrtilng Es gilt für di Varianz!!!!!!!!!! Var Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 48 Erwartngswrt dr Kstn Damit könnn wir di flgnd rml anstzn Bi dr Ermittlng dr timaln Bstllmng stört di nndlih mm Dis lässt sih allrdings drh inn infahn Trik ntfrnn Wir dfinirn wi flgt Z

18 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 49 Dirkt Vrinfahngn Und rhaltn shlißlih als vrinfahtn Asdrk mit rgibt sih für di rwarttn Kstn Z Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 Erwartngswrt dr Kstn Und damit rhaltn wir Z Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 Pissnvrtilng mit Mittlwrt 3 Nahfrag Wahrshinlihkit Kmlirt Wahrshinlihkit, , ,49365,994873,4488,4398 3,4488, ,683356, ,8883, ,54947, ,643, ,85, ,754, ,85, ,95, ,5376E-5, ,747E-5, ,7353E-6, ,4636E-7, ,43E-7, ,8763E-8, ,7E-9, ,7569E- 7,3538E-,934E-,39E-

19 Bisil Bstimmng vn * Wi man sfrt siht, ist * af 4 z stzn Z ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (,5 ) ( ( 4 ) ( ) ) ( 3 4),5,5 4 (,99487,448836,448836,4484) (,393573), , 3 Damit rgibt sih als rwarttr Gwinn Π µ Z 3 3 Z 6,3 4,7 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 4 rvigrad Bishr habn wir für hlmngn nd Übrbständ infah Kstn angstzt nd dis shlißlih minimirt Prblm dabi ist allrdings dass dis Kstn niht immr indtig rmittlbar sind gibt s ntr Umständn Kndn, di afgrnd vn hlmngn darhaft dr zmindst längrfristig zr Knkrrnz whsln Dis Aswirkngn z rmittln ist shr shwirig Dahr gibt s andr Ansätz, di in bstimmt Qalität in rm vn z rrihndn rvigradn vrgbn nd asghnd hirvn di Bstllmngn fstlgn Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 43 Id: α-rvigrad Wir wlln mit dr Vrgab ins Wrts zwishn nd für αbstimmn, dass di Nahfrag in α Prznt viln älln vllaf bfridigt wrdn kann Das hißt frmal, dass wir das flgnd Prblm btrahtn Minimir ntr Bahtng dr Nbnbdingng α Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 44

20 Bisilwrt α z(α),895,5,9,9,95,3,9,34,95,37,9,4,95,44,93,48,935,5,94,56,945,6,95,64 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 45 α-rvigrad Di zghörig Bstllmng Wir könnn smit * dirkt rmittln drh An nsrm Bisil (µ, σ) flgt für α,95: z,64 nd damit *,64. 3,8. Als 33 tük α,9: z,9 nd damit *,9. 5,8. Als 6 tük Di nktin nimmt bi Annährng an α inn xtrm anstigndn Vrlaf ( α) Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 46 Id: β-rvigrad Btraht z inr Bstllmng di rwartt hlmng J() J ( ) ( ) f d i nthält wnn nrmirt dn Antil dr Nahfrag, dr niht bfridigt wrdn kann, d.h. ( ) J µ ( ) f µ d Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 47

21 β-rvigrad Das hißt sitiv frmlirt wir sind bi Bstllmng in dr Lag, gna J µ ( ) f Prznt dr Nahfrag z bfridign Damit rgibt sih als Prgramm dr Erfüllng ins β- rvigrads Minimir µ d J ntr Bahtng dr Nbnbdingng β µ Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 48 β-rvigrad Di zghörig Bstllmng Wir btrahtn widrm nsr Bisil mit dr Nrmalvrtilng Untr Vrwndng vn J()σ. L(z) ghn wir übr z dr nrmirtn nktin L(z) Damit mss für * gltn J µ ( ) σ L( z ) µ σ L( z ) µ σ L β µ β ( z ) β µ ( β) µ σ L( z ) ( β) Baht dass L(z) in fallnd nktin ist µ β µ L σ ( z ) Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 49 Am Bisil rgibt sih Wir ntrstlln widr di bign Datn β, 95,µ,σ ( β) µ 5,5 L( z ) σ Drh Btrahtng vn ntsrhndn Tablln rhaltn wir z L (,5),34,34 6,8 7 Bsinss Cmting and Oratins Rsarh 43