Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern NACHTERMIN Mathematik mit CAS 2015 Analysis Ausbildungsrichtung Technik

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Juliane Förstner
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1 MK.. B_T_NA MK_Los.mc Abschlussprüfung an Fachobrschuln in Bayrn NACHTERMIN Mathmatik mit Analysis Ausbilungsrichtung Tchnik. Ggbn ist i rlln Funktionn f: --> 4 ( ln( ) ) mit r maimaln Dfinitionsmng D f = ] ; [. Dr Graph von f wir mit G f bzichnt.. Brchnn Si i Nullstlln von f. f( ) 4 ( ln( ) ) f( ) = D 8. Untrsuchn Si ohn urch ausführlich Grnzwrtbrchnung auch mithilf r l'hospitalschn Rgln as Vrhaltn r Funktionswrt f() bi Annährung an i Ränr r Dfinitionsmng. = l'hosp lim 4 ( ln( ) ) = lim l'hosp 8 ( ln( ) ) lim = lim 8 4 ( ln( ) ) = lim = 8 lim = BE 8 ( ln( ) ) lim 4 ( ln( ) ) =. Bstimmn Si i maimaln Monotoniintrvall von G f un rmittln Si amit i Art un Koorinatn r Etrmpunkt von G f akt. [ Ohn Tilrgbnis ] fs( ) f( ) fs( ) = => G fa ist smost in ] ; ] sowi in [ +BE fs( ) ; [ un smofa in [ ; ] + vrinfachn f 4 8 f vrinfachn 4 + => HP bi = y = 8 4 un TP bi = y = 4 +

2 .4 Bstimmn Si i Koorinatn s Wnpunkts W von G f un in Glichung r Wntang w an n Graphn G f. fss( ) fs( ) fss( ) = w = + fsss( ) yw = f ( w) =.BE W( ) fss( ) fsss( w) = 8 => WP istirt mw = fs( w) =.BE = tw tw = 8 => w: w ( ) 8. Zichnn Si untr Vrwnung r bishrign Ergbniss un witrr gigntr Funktionswrt n Graphn G f für. un i Wntangnt in in kartsischs Koorinatnsystm. Maßstab: -Achs: LE = cm; y-achs: LE = cm f( ) w( ).89 w( ) f( ) f( ) w( ) y yw n n f( ) w

3 7.6 Ggbn ist i Funktion F mit r Dfinitionsmng D F = D f un r Glichung F ( ) = ( a ln( ) b) mit a, b R. Brchnn Si ohn i Wrt von a un b so, ass i Funktion F in Stammfunktion r Funktion f ist. [ Ergbnis: a = ; b = ] F ( ) = F ( ) ( a ln( ) b) = ( a ln( ) b) a = a ln( ) a b ln( ) b a ln( ) a b ln = a ln( ) a b a ( ) b a b f( ) = 4 ln( ) 8ln( ) 4 Koffizintnvrglich: a = 4 a b a = 8 b a b = a = 4 b 4 = Dr Graph r Funktion f schlißt mit sinr Wntangnt w un r Tangnt s an sinm Tifpunkt in Flächnstück in. Gbn Si i Glichung r Tangnt s an un knnzichnn Si as Flächnstück im Schaubil r Aufgab.. Brchnn Si i Maßzahl s zughörign Flächninhalts auf zwi Nachkommastlln grunt. Tangnt im Tifpunkt: s ( ) 4 Tangnt im Tifpunkt inzichn Knnzichnn Schnittpunkt r Tangntn: w ( ) = s ( ) n Fläch: A n f( ) w ( ) = BE. Fläch: A n f( ) s ( ) = BE A A.7.BE 46BE

4 . An inm Fluss wur r Wassrstan w übr r Normalmark in Mtrn währn inr Zit mit ausgibign Rgnfälln sit Bginn s Anstigs rfasst un kann für i virzhntägig Bobachtungszit urch i Funktion w: --> t.t bschribn wrn. Dabi ist t mit t [ ; 4] i Zit in Tagn nach Bginn s Anstigs s Wassrstans übr i Normalmark. Bi n Brchnungn kann auf i Mitführung von Einhitn vrzichtt wrn. Runn Si ggbnnfalls Ergbniss auf zwi Nachkommastlln. Dr Graph r Funktion w ist in folgnr Abbilung argstllt. w( z) z. Ermittln Si mithilf r Grafik nährungswis n Wrt w ( ) w ( ) Butung r Wrt in Bzug auf i Änrung s Wassrstans hat. un gbn Si an, wlch..7 Zwischn Tag un bträgt r mittlr Anstig s Wassrs ca.,7 m/tag + 7. Ermittln Si rchnrisch n Zitpunkt, zu m r Wassrstan übr r Normalmark sinn höchstn Stan rricht hat. Brchnn Si auch n abi rrichtn Wassrstan übr r Normalmark. wp() t t wt () wp() t = 4.+BE w ( ) = w4 ( ) = 4. w4 ( ) = Ran links NS r. Ablitung Ran rchts.be => Das absolut Maimum bfint sich bi t = 4. Damit stigt r Fluss 4.m übr Normal. 6BE

5 7. Ermittln Si urch Rchnung, am wiviltn Tag im Bobachtungszitraum r Wassrstan am schnllstn zunimmt un am am wiviltn Tag r am schnllstn abnimmt. Gbn Si auch i zughörign Änrungsratn sowi i zughörign Wassrstän an. wpp() t t wp() t wpp() t = BE wp( ) = wp(.7) =.84 wp( 6.8) =.64 wp( 4) =. Mtr/Tag Ran links stigt am schnllstn fällt am schnllstn Ran rchts BE => Das absolut Maimum bfint bi t =,7 (.Tag). Das absolut Minimum ist bi t = 6,8 (7.Tag). w(.7) =. w( 6.8) =.7 Mtr 7.4 Erricht r Wassrstan s Flusss inn Wrt von Mtr übr r Normalmark, müssn Sichrungsmaßnahmn für flussnah Ort vorgnommn wrn. Brchnn Si mit m Nwton-Vrfahrn inn Nährungswrt für n Zitpunkt, zu m i Mark von Mtrn rstmals innrhalb s Bobachtungszitraums rricht wir. Dr Nährungswrt ist gnau gnug, wnn sich zwi aufinanr folgn Nährungn nur noch um in Skun untrschin. ht () wt () hp() t wp() t t. i s = Tag s.7 Tag ht i t i t i t hpt i i t i t i t t Di. Nährung richt aus!

6 f( ) 4 ( ln( ) ) n f( ) = f ( ) = annhmn n lim f( ) lim f( ) fs( ) f( ) fs( ) = sort( ) fs( ) y f ( ) vrinfachn

7 fss( ) fs( ) 8 ln( ) Faktor w fss( ) = yw f ( w) fsss( ) fss( ) Faktor 8 ( ln( ) ) fsss( w) 8 mw fs( w) tw yw = mw w tw tw 8 w ( ) mw tw

8 Fa ( b) ( a ln( ) b) Fa ( b) vrinfachn ( b a ln( ) ) ( a b a ln( ) ) st( ) n w( ) = st( ) n.7767 n A f( ) w ( ).7488 A n f( ) st( ).469 A A.797

9 wt () t t wp() t t t 4t t wp() t = t 4 w ( ) w4 ( ) 4. w4 ( ) 9 7.6

10 wpp() t t wp() t tw wpp() t = t 4 4 tw wp( ) wptw.84 wptw.64 wtw. wtw.7 wp( 4). Di vrmintlich fhlnn Ablitungn an n Ränrn wrn zugunstn r Anwnungsorintirthit untrschlagn. Di Ränr müsstn pr Grnzwrt inflißn. Wir suchn absolut Etrmwrt. Di Funktion bsitzt in wsntlich größ D als i urch i Aufgabnstllung künstlich ingschränkt. wt () = t annhmn t nicht wirklich brauchbar! ( wt ()).6.999

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