4 Bäume und Minimalgerüste

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1 4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn 4 Bäum un Minimalgrüst Dfinition 4.1. Es in G = (V, E) in zusammnhängnr Graph. H = (V, E ) hißt Grüst von G gw. wnn H in Baum ist un E E gilt. Bmrkung 4.1. Ein Grüst ist also in zusammnhängnr, zyklinfrir, aufspannnr Untrgraph von G. Bispil 4.1. Gr üst f ür as Haus vom Nikolaus: b b b a a a Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn Minimalgrüst Dfinition 4.2. Es si G = (V, E) in zusammnhängnr Graph mit inr Kantngwihtsfunktion w : E IR. F ür F E hißt w(f) := F w() as Gwiht r Kantnmng F. Es si H = (V, F) in Gr üst von G. Dann ist w(h) := w(f) as Gwiht s Grüsts H. Ein Gr üst H von G hißt Minimalgrüst von G gw. w(h) w(h ) f ür all Gr üst H von G. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 111

2 4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn Anzahl an Grüstn Satz 4.1. [Cayly] Es gibt n n 2 vrshin Grüst für n vollstänign Graphn K n (mit n Knotn). Bmrkung 4.2. Vrshin butt hir wirklih vrshin un niht nihtisomorph Bwis. I: Prinzip r oppltn Abzählung: In jr Matrix ist i Summ r Zilnsummn glih r Summ r Spaltnsummn. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn Si t(n, k) i Anzahl r Bäum auf V = {1,..., n}, in nn r Knotn 1 n Gra k hat. Es wir in Forml f ür t(n, k) bstimmt. Das Ergbnis rfolgt urh Aufsummirn übr all k. B si in Baum mit g(1) = k 1, C si in Baum mit g(1) = k. (B, C) hißt vrwants Paar gw. C aus B ntstht, inm in Kant {x, y} ntfrnt un in Kant {1, y} ingf ügt wir. 1 x y 1 x y B C Es sin B 1, B 2,..., B t(n,k 1) i Bäum mit g(1) = k 1 un Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 113

3 4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn C 1, C 2,..., C t(n,k) i Bäum mit g(1) = k. Di t(n, k 1) t(n, k) Matrix A = (a ij ) si finirt urh: a ij := { 1 falls (Bi, C j ) vrwants Paar 0 sonst Aus B i kann j r n 1 Kantn ntfrnt wrn, ausgnommn i k 1 mit 1 inzintn Kantn. In r i-tn Zil von A sthn so vil Einsn, wi s vrwant Paar (B i, C) gibt, also gnau (n 1) (k 1) = n k. Summ r Zilnsummn von A = t(n, k 1)(n k). In r j-tn Spalt von A sthn so vil Einsn, wi s vrwant Paar (B, C j ) gibt. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn Di in C j mit 1 vrbunnn Knotn sin y 1,..., y r. y1 1 y4 y3 y2 C Entfrnt man in r Kantn {1, y r }, so ntstht in Graph mit zwi ZHKs. V r si i ZHK, i y r nthält un n r := V r. Ein vrwants Paar (B, C j ) ntstht gnau ann, wnn B = (C j \ {{1, y r }}) {{x, y r }} gilt, wobi x inr r n 1 n r Knotn in V\({1} V r ) ist. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 115

4 4. Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn Es gibt also gnau (n 1 n 1 ) + + (n 1 n k ) = (k 1)(n 1) Einsn in r j-tn Spalt von A. Summ r Spaltnsummn von A = t(n, k)(k 1)(n 1). Das Prinzip r oppltn Abzählung lifrt t(n, k 1)(n k) = t(n, k)(k 1)(n 1) bzw. t(n, k 1) = (n 1) k 1 t(n, k) n k Ausghn von t(n, n 1) = 1 rgibt sih urh Inuktion t(n, n i) = (n 1) i 1 ( n 2 i 1 ) Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Charaktrisirung von Minimalgrüstn F ür i Anzahl t(n) allr Bäum rgibt sih somit t(n) = = = n 1 t(n, n i) i=1 n 1 ( n 2 (n 1) i 1 i 1 i=1 n 2 ( n 2 (n 1) i i i=0 ) = ((n 1) + 1) n 2 = n n 2 ) Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 117

5 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Brhnung von Minimalgrüstn Lmma 4.2. Es si G = (V, E) in zusammnhängnr Graph mit inr Kantngwihtsfunktion w : E IR. Witrhin si U V un 0 in Kant zwishn U un V \ U mit minimalm Gwiht. Dann xistirt in Minimalgrüst für G, as i Kant 0 nthält. Bwis. Falls in Minimalgr üst T 0 i Kant 0 niht nthält, so nhmn wir 0 zu T 0 un ntfrnn in Kant 1, i U un V \U vrbint. Wgn r Minimalitätsignshaft von 0 rhöhn wir amit niht as Gwiht s Gr üsts. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Dr Algorithmus von Prim Wir bginnn mit inm blibign Knotn v,.h. U := {v}. In inm Itrationsshritt brhnn wir f ür all v V \ U n Knotn w, r am nähstn zu inm Knotn in U ligt. Disr Knotn w wir slktirt, i ntsprhnn Kant wir in n Baum aufgnommn un w wir in U aufgnommn. Dis stzn wir fort, bis all Knotn in U sin. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 119

6 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Algorithmus 4.1. [Prim] Es si G = (V, E) in zusammnhängnr Graph mit V = {1,..., n} un Kantngwihtsfunktion w. Es glt w({i, j}) =, falls {i, j} / E. Dr Algorithmus brhnt in Minimalgr üst in B. U := {1}; for i := 2 to n o u (i) := w({1, i}); whil U V o bstimm Knotn u mit U (u) = min{ U (v) : v V \ U}; (*) bstimm Kant := {x, u} mit w() = U (u) un x U; (*) B := B {}; U := U {u}; for all v V \ U o U (v) := min{ U (v), w({u, v}); (**) n Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn 9 b 4 v0=a Bispil 4.2. Wir btrahtn n Graphn: 13 1 f g 2 2 h i Es rgibt sih in isr Rihnfolg: B = {{a, }, {b, }, {b, }, {, f}, {, f}, {, h}, {g, h}, {h, i}} Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 121

7 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Bispil 4.3. b 12 f 12 8 m 4 4 l a k 17 7 g 3 20 j i 16 8 h 9 Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Satz 4.3. Algorithmus 4.1 brhnt in Minimalgrüst in Zit O( V 2 ). Bwis. Es sin zwi Ding zu bwisn: Korrkthit s Algorithmus Wir zign inuktiv: Nah jr Ausf ührung von (*) (bzw. nah (**)) gibt U (v) f ür all v V \ U n Abstan zu inm nähstglgnn Knotn u U an. Korrkthit s Algorithmus folgt ann mit Lmma 4.2. Tafl. Laufzit Di ominirn Shritt innrhalb r Whil-Shlif: (*) un (**). Di Whil-Shlif wir V -mal urhlaufn. Shritt (*) un (**) könnn in O( V ) ausgf ührt wrn. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 123

8 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Dr Algorithmus von Kruskal Bim Algorithmus von Prim baut man ausghn von inm Knotn n Baum sukzssiv auf. Bim Algorithmus von Kruskal bginnt man stattssn mit n inzlnn Knotn. Dis stlln inn Wal ar. Man vrsuht nun, is Wälr optimal zu inm Baum zusammnzustzn. Hirzu sortirt man zunähst all Kantn aufstign nah ihrr Läng. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Man bginnt, in m man i i k ürzst Kant in n Wal aufnimmt. Dr Wal hat jtzt in ZHK wnigr. In Itration i: Falls i i-t Kant zu inm Kris f ührn w ür, vrwirft man si. Anrnfalls nimmt man si in n Wal auf, wourh sih wirum i Anzahl r ZHKs vrringrt. Dis maht man solang, bis in aufspannnr Baum ntstann ist. Dis ist gnau ann r Fall, wnn man n 1 Kantn aufgnommn hat (vgl. Satz 1.4 un Satz 1.5). Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 125

9 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Algorithmus 4.2. [Kruskal] bim Algorithmus von Prim. Vorrausstzungn, Ein- un Ausgab wi B := ; ZHK := ; i := 0; L := List r Kantn aufstign sortirt nah ihrr Läng; for all v V o ZHK := ZHK {{v}}; whil ZHK > 1 o i := i + 1; Es si {v, w} as i-t Elmnt von L; if v un w ghörn zu vrshinn Komponntn K 1 un K 2 in ZHK thn ZHK := (ZHK \ {K 1, K 2 }) {K 1 K 2 }; B := B {v, w}; n n Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 127

10 4. Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn 9 b 4 v0=a Bispil 4.4. Wir btrahtn n Graphn: 13 1 f g 2 2 h i Es rgibt sih in isr Rihnfolg: B = {{, f}, {b, }, {g, h}, {h, i}, {, h}, {b, }, {, f}, {a, }} Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/ Bäum un Wälr Brhnung von Minimalgrüstn Satz 4.4. Algorithmus 4.2 brhnt in Minimalgrüst in Zit O( E log V ). Bwis. Di Korrkthit s Algorithmus von Kruskal kann inuktiv urh wirholt Anwnung von Lmma 4.2 gzigt wrn. Tafl. Zitaufwan: Dr ominirn Shritt ist i Sortirung. Dr Aufwan zur Sortirung r Kantn ist O( E log E ) = O( E log V 2 ) = O( E 2 log V ) = O( E log V ) F ür i ffizint Vrinigung r ZHKs un n voranghnn Tst bnutzt man Datnstrukturn f ür as sognannt Union-Fin- Problm. Einführung in i Graphnthori FH Bonn-Rhin-Sig, WS 03/04 129