Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik / Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WB-WMT-P / WI-WMT-P

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1 Studingang Fach Art dr Listung Klausur-Knz. Wirtschaftsingniurwsn Mathmatik / Wirtschaftsmathmatik Prüfungslistung Datum..6 WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Bzüglich dr Anfrtigung Ihrr Arbit sind folgnd Hinwis vrbindlich: Vrwndn Si ausschlißlich das vom Aufsichtsführndn zur Vrfügung gstllt Papir, und gbn Si sämtlichs Papir (Lösungn, Schmirzttl und nicht gbraucht Bögn) zum Schluss dr Klausur widr bi Ihrm Aufsichtsführndn ab. Ein nicht vollständig abggbn Klausur gilt als nicht bstandn. Bschriftn Si jdn Bogn mit Ihrm Namn und Ihrr Immatrikulationsnummr. Lassn Si bitt auf jdr Sit / ihrr Brit als Rand für Korrkturn fri, und nummrirn Si di Sitn fortlaufnd. Notirn Si bi jdr Ihrr Antwortn, auf wlch Aufgab bzw. Tilaufgab sich dis bziht. Di Lösungn und Lösungswg sind in inr für dn Korrktantn zwiflsfri lsbarn Schrift abzufassn. Korrkturn und Strichungn sind indutig vorzunhmn. Unlsrlichs wird nicht bwrtt. Bi nummrisch zu lösndn Aufgabn ist außr dr Lösung stts dr Lösungswg anzugbn, aus dm indutig hrvorzughn hat, wi di Lösung zustand gkommn ist. Zur Prüfung sind bis auf Schrib- und Zichnutnsilin ausschlißlich di nachsthnd gnanntn Hilfsmittl zuglassn. Wrdn andr als di hir anggbnn Hilfsmittl vrwndt odr Täuschungsvrsuch fstgstllt, gilt di Prüfung als nicht bstandn und wird mit dr Not 5 bwrtt. Hilfsmittl : Barbitungszit: Minutn Formlsammlung Wirtschaftsmathmatik Anzahl Aufgabn: 6 HFH-Taschnrchnr Höchstpunktzahl: Vorläufigs Bwrtungsschma: Vil Erfolg! Punktzahl von bis inschl. Not 95, shr gut 9 9,5, shr gut 85 89,5,7 gut 8 8,5, gut 75 79,5, gut 7 7,5,7 bfridignd 65 69,5, bfridignd 6 6,5, bfridignd 55 59,5,7 ausrichnd 5 5,5, ausrichnd 9,5 5, nicht ausrichnd Klausuraufgabn, PL /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6

2 Klausuraufgabn, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Bitt bachtn Si: Di Aufgabn und sind nur von dn Studirndn ds Studingangs Wirtschaftsingniurwsn zu barbitn. Studirnd ds Sondrstudingangs Tchnik für Absolvntn wirtschaftswissnschaftlichr Fachrichtungn barbitn bitt anstll disr Aufgabn di Aufgabn W und W am End dr Aufgabnblättr. Aufgab nur für Studingang Wirtschaftsingniurwsn Punkt Für in Annuitätnschuld von 8., wrdn Jahr lang Annuitätn von jwils 8., zurückgzahlt. Für dis Jahr ist in Jahrszinssatz von 7 % vrinbart. Danach rhöht das Krditinstitut dn Zinssatz auf 8 %. Wi hoch muss di nu Annuität sin, damit di Rstschuld nach witrn Jahrn (bi inm Jahrszinssatz von dann 8 %) gtilgt ist. Aufgab nur für Studingang Wirtschaftsingniurwsn Punkt Ein Bausparr schlißt inn Bausparvrtrag übr., ab. Bis zur Zutilung in 8 Jahrn solln inschlißlich anfallndr Zinsn % dr Bausparsumm ingzahlt sin.. Wlchr konstant Btrag muss virtljährlich vorschüssig 8 Jahr lang ingzahlt wrdn bi inm jährlichn Guthabnzinssatz von,5 %? 9 Hinwis: Brchnn Si zur Lösung disr Tilaufgab in inm rstn Schritt di (nachschüssig) Jahrsrsatzrat.. Nach dr Zutilung wird in Darlhn übr., ausgzahlt. Di Vrzinsung rfolgt jährlich zu inm nominlln Jahrszinssatz von,5 %. Wann ist das Darlhn gtilgt bi inr jährlichn (nachschüssign) Annuität in Höh von.,?. Bstimmn Si di Annuität im ltztn Jahr. 5 6 Aufgab 5 Punkt Ggbn ist di folgnd Matri A.. Bstimmn Si di zu A transponirt Matri. Brchnn Si T A. T A A und fassn Si di rhaltnn Trm sowit wi möglich zusammn.. Was könnn Si aus dm Ergbnis von Tilaufgab. übr di invrs Matri A sagn? WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /

3 Klausuraufgabn, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Aufgab Punkt Zwi Tribrädr mit dn Radin R cm und r 5 cm solln durch inn straff gspanntn Tribrimn vrbundn wrdn (s. Bild). Dr Abstand ihrr Mittlpunkt A bzw. B bträgt d cm. Für di Bstimmung dr Läng ds Tribrimns sind dr Abstand CD und dr Winkl ϕ wichtig Knngrößn. C R A d r D B S Bstimmn Si mit Hilf Ihrr Knntniss zu trigonomtrischn Funktionn dn Abstand CD und di Größ ds Winkls ϕ. Hinwis: Bstimmn Si zurst dn Winkl ϕ und anschlißnd dn Abstand CD. Aufgab 5 Punkt Lösn Si di Diffrntialglichung y + 9y +. WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /

4 Klausuraufgabn, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Aufgab 6 5 Punkt Dr Flächninhalt ds untn skizzirtn Dricks wird für ggbn Wrt von b, c und α nach dr Forml A D A b, c, α),5 b c D ( brchnt. Im konkrtn Fall sin di Sitn b 5 cm, c 8 cm und dr Winkl α ggbn. C γ b a A α 6. Brchnn Si di akt Ändrung AD dr Fläch A D, wnn b, c und α wi folgt vrändrt wrdn: b + %, c %, α. 6. Di Ändrung AD dr Fläch A D kann nährungswis in Abhängigkit dr Einzländrungn b db, c dc und α dα übr das total Diffrntial bstimmt wrdn. A dr Flächnänd- Ermittln Si für di ggbnn Zahlnwrt dn Nährungswrt d rung mit Hilf ds totaln Diffrntials. c β B A D D 6 9 α b- Hinwis: Rchnn Si für disn Aufgabntil Grad in Bognmaß um (wird nur für di Ändrung nötigt). WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /

5 Klausuraufgabn, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Bitt bachtn Si: Di Aufgabn W und W sind ausschlißlich nur von dn Studirndn ds Sondrstudingangs Tchnik für Absolvntn wirtschaftswissnschaftlichr Fachrichtungn zu barbitn. Aufgab W nur für Sondrstudingang Tchnik 5 Punkt Bstimmn Si von dr Funktion ( y f ) ( ) mit D R di Nullstlln und Etrmwrt. Aufgab W nur für Sondrstudingang Tchnik 5 Punkt. Bstimmn Si in Stammfunktion von cos f ( ). + sin. Wlchr Flächninhalt wird vom Graphn dr Funktion f () und dr positivn -Achs im Intrvall [, ] ingschlossn? bzichn di rst Nullstll von f () auf dr positivn -Achs. 8 7 Hinwis: Bstimmn Si zunächst di Nullstll von f (). WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /

6 Korrkturrichtlini zur Prüfungslistung Mathmatik / Wirtschaftsmathmatik am..6 Wirtschaftsingniurwsn WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Für di Bwrtung und Abgab dr Prüfungslistung sind folgnd Hinwis vrbindlich: Di Vrgab dr Punkt nhmn Si bitt so vor, wi in dr Korrkturrichtlini ausgwisn. Ein summarisch Angab von Punktn für Aufgabn, di in dr Korrkturrichtlini dtaillirt bwrtt wordn sind, ist nicht gstattt. Nur dann, wnn di Punkt für in Aufgab nicht diffrnzirt vorggbn sind, ist ihr Aufschlüsslung auf di inzlnn Lösungsschritt Ihnn übrlassn. Stoßn Si bi Ihrr Korrktur auf inn andrn richtign als dn in dr Korrkturrichtlini anggbnn Lösungswg, dann nhmn Si bitt di Vrtilung dr Punkt sinngmäß zur Korrkturrichtlini vor. Rchnfhlr solltn grundsätzlich nur zur Abwrtung ds btrffndn Tilschritts führn. Wurd mit inm falschn Zwischnrgbnis richtig witrgrchnt, so rtiln Si di hirfür vorgshnn Punkt ohn witrn Abzug. Ihr Korrkturhinwis und Punktbwrtung nhmn Si bitt in inr zwiflsfri lsbarn Schrift vor. Di von Ihnn vrgbnn Punkt und di daraus sich gmäß dm nachsthndn Notnschma rgbnd Bwrtung tragn Si in dn Klausur-Mantlbogn sowi in das Formular Klausurrgbnis (Ergbnislist) in. Gmäß dr Diplomprüfungsordnung ist Ihrr Bwrtung folgnds Bwrtungsschma zugrund zu lgn: Punktzahl Not von bis inschl. 95, shr gut 9 9,5, shr gut 85 89,5,7 gut 8 8,5, gut 75 79,5, gut 7 7,5,7 bfridignd 65 69,5, bfridignd 6 6,5, bfridignd 55 59,5,7 ausrichnd 5 5,5, ausrichnd 9,5 5, nicht ausrichnd Di korrigirtn Arbitn richn Si bitt spätstns bis zum. Dzmbr 6 in Ihrm Studinzntrum in. Dis muss prsönlich odr pr Einschribn rfolgn. Dr anggbn Trmin ist unbdingt inzuhaltn. Sollt sich aus vorhr nicht abshbarn Gründn in Trminübrschritung abzichnn, so bittn wir Si, dis unvrzüglich dm Prüfungsamt dr Hochschul anzuzign (/59- bzw. birgit.hup@hamburgr-fh.d). Korrkturrichtlini, PL /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6

7 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Lösung vgl. SB, Kap.. Punkt Rstschuld nach Zahlung dr j-tn Annuität (Formlsammlung.): j j q S j S q A. q p Mit S 8.,, q +, 7, A 8., und j rgibt sich,7 S 8.,,7 8., 6.8,5.,7 Annuität für ggbn Schuld und Laufzit (Formlsammlung.): n q A S q. n q p Mit S 6.8, 5, q +, 8 und n rgibt sich,8 A 6.8,5,8 698,6.,8 Lösung vgl. SB, Kap.. und SB, Kap.. /. Punkt. % von., sind 8.,, dis ist dr Rntnndwrt. Brchnung dr Jahrsrsatzrat (nachschüssig Rat) nach Formlsammlung 9.: n q Rn r mit r re. q p Einstzn von R n 8.,, q +, 5 und n 8 rgibt 8,5 8., r E.,5 Umstlln dr Glichung lifrt 8.,,5 r E 9.57,9. 8,5 Umrchnung in in virtljährlich vorschüssig Rat (Formlsammlung 9.) mit m und i p,5 : re 9.57,9 r.5,. i,5 m + ( m + ) + ( + ) WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /8

8 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI. Tilgungsdaur nach Formlsammlung.: log A logt n, T Tilgung im rstn Jahr log q Zinsn von p,5 % im rstn Jahr dr Tilgung bzogn auf Darlhnsumm von S., : p Z S.,,5 5.,. Tilgung im rstn Jahr bi inr Annuität von A., : T A Z., 5.,.6,. Damit folgt für di Tilgungsdaur log., log.6, n 7,6. log,5. Es müssn 7 Jahr lang di voll Annuität gzahlt wrdn und im 8. Jahr in Rst. Annuität im ltztn Jahr (Anwndung dr Formln aus.) mit n * 7 und q p 5, : * * n 7 n q 7,5 Tr S q A.,,5., 6.88,5 q,5 Z r Tr ( q ) 6.88,5,5 78,7 A r Tr + Z r 6.88,5 + 78,7 6.66,6 Lösung vgl. SB 6, Kap. und SB 8, Kap..5 5 Punkt. A T A. Anwndung ds FALKschn Schmas dr Matrimultiplikation: sin α + cos α sin α + cos α 9 (j Punkt pro richtig brchntm Elmnt von T A A im FALKschn Schma) WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /8

9 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Mit sin α + cos α und Zusammnfassn folgt T A A E.. T Aus A A E (Einhitsmatri) folgt A A T ( T A ist di invrs Matri). Lösung vgl. SB 8, Kap. Punkt C R A d r D B S. Bstimmung ds Winkls ϕ : Si di Läng dr Strck SB. Anwndung ds Sinussatzs (Formlsammlung 6.9) auf di rchtwinklign Drick BDS und ACS lifrt: BDS: ACS: r 5 sin ϕ (I) R sin ϕ (II) d + + Glichstzung von (I) und (II) lifrt: 5. + Auflösn nach rgibt: 5( + ) ,67 cm. 5 WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /8

10 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Damit ist r 5 5 sin ϕ,5 und ϕ arcsin,5 8, Hinwis: Di glichn Lösungn für und ϕ rhält man altrnativ, wnn in (I) odr (II) nach aufglöst wird und dr Ausdruck dann in (II) bzw. (I) ingstzt wird. Di Punkt sind dann ntsprchnd zu vrgbn.. Bstimmung ds Abstands CD : Aus dr Skizz folgt: CD CS DS. Di Strcknlängn y DS und z CS bstimmn sich durch Anwndung ds Cosinussatzs (Formlsammlung 6.9) auf di rchtwinklign Drick BDS und ACS: BDS: y cosϕ y cos 8,67 y 66,67 cos 8,67 6,78 cm 66,67 ACS: Damit ist cosϕ z + z z cos 8,67 z 66,67 cos 8,67 6,65 cm + 66,67 66,67 CD CS DS z y 6,65 6,78 98,87 cm. Lösung 5 vgl. SB 8, Kap. 7. Punkt. Schritt: Bstimmung dr Lösung y h dr homognn Dgl y + 9 y Ansatz k y und Lösung dr charaktristischn Glichung k + 9. k, ± 9 Da für di Diskriminant D < gilt, gibt s zwi zuinandr konjugirt kompl Lösungn k i und k i. Dr Ansatz für di Lösungsgsamthit dr homogn Dgl lautt (Formlsammlung., Fall D < ): δ y ( A cosω + A sinω ). WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit /8

11 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Mit a a δ und ω a 9 folgt yh A cos + A sin.. Schritt: Bstimmung inr spzilln Lösung yp Störfunktion h ( ) + + ist Polynom. Grads, dahr Ansatz p B + B B. y + y + p B B y p B Einstzn in di Ausgangs-Dgl y + 9y + : B + 9( B + B + B ) + 9B + 9B + 9B + B + Koffizintnvrglich lifrt folgnds Glichungssystm: 9B 9B 9B + B Daraus rhält man di Lösung B 9 B 9 B. 8 Somit ist y p Di allgmin Lösung dr Diffrntialglichung ist somit y A cos + A sin + +, mit A, A R Lösung 6 SB 9, Kap... 5 Punkt 6. Ausgangsfläch: AD,5 5 8 sin cm cm Fläch mit dn Ändrungn b + %, c %, α : WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit 5/8

12 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI nu Wrt: ~ b b + % 5 +, 5,cm c ~ c % 8, 7,76 cm ~ α α 9 ADnu,5 5, 7,76 sin 9 cm 9,59 cm Eakt Flächnändrung: A D ADnu AD 9,59 cm cm,7 cm (di Fläch wird klinr). 6. totals Diffrntial (nach Formlsammlung 8.5): d d d A b + c + b c α dα Umrchnung Grad in Bognmaß: π π 6 8 Bildung dr partilln Ablitungn:,5 c b,5 b c,5 b c α Mit dn Ändrungn b d b, cm, c dc, cm und Tilaufgab 6.) folgt: d b (,5 c sin ) db (,5 8 cm sin ),cm, cm b π α dα (sih 8 α dc (,5 b ) dc (,5 5 cm sin ) (,) cm, cm c π dα (,5 b c ) dα (,5 5 cm 8 cm cos ), cm α 8 Somit rgibt sich als Nährungswrt dr Flächnändrung übr das total Diffrntial: da db + dc + dα (,,,) cm, cm. b c α Hinwis: Altrnativ kann dis Aufgab auch durch Anwndung ds linarn ( Fhlr )- Fortpflanzungsgstzs (Formlsammlung.) glöst wrdn Bstimmung dr absolutn Mssabwichung AD. Di Punkt sind dann ntsprchn zu vrgbn. WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit 6/8

13 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit 7/8 Lösung W SB 5, Kap..5 5 Punkt Nullstlln: ) ( y ) ( Etrma: Bildn dr. und. Ablitung (Bachtung dr Kttnrgl): + y 9 y Notwndig Bdingung für Etrmwrt ist y. + ln ln ln ln Hinrichnd Bdingung für Etrmwrt ist y und y.,866,) (, (ln ) ln ln < y Bi ln ligt in lokals Maimum vor.

14 Korrkturrichtlini, Prüfungslistung /6, Mathmatik/Wirtschaftsmathmatik, WB/WI Lösung W SB 7, Kap.. /.. 5 Punkt. Stammfunktion: cos F ( ) d + C + sin Substitution z sin d z dz cos d d cos Somit ist cos d + sin cos dz + z cos dz arctan z arctan(sin ). + z Ein Stammfunktion (für C ) ist F ( ) arctan(sin ).. Flächnbrchnung: Bstimmung dr rstn Nullstll : cos + sin ( + sin ) für all D cos π Fläch nach Formlsammlung.5: π A f ( )d, gilt wgn ( ) π f für, π π cos d arctan(sin ) π A arctan(sin ) arctan(sin ) sin + Hinwis: arctan arctan,785 FE Bi dr Brchnung dr arctan-wrt in dr ltztn Zil ist für di Argumnt Bognmaß zu vrwndn. WB-WMT-P 6 / WI-WMT-P 6 Sit 8/8