M A T H E M A T I K mit CAS

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Axel Krause
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1 Fchbiturprüfung 017 zum Erwrb dr Fchhochschulrif n Fchobrschuln und Brufsobrschuln M A T H E M A T I K mit CAS Ausbildungsrichtung Tchnik Donnrstg, 1. Juni 017, Uhr Di Schülrinnn und Schülr hbn j in Aufgb us dn Aufgbngruppn A und B zu brbitn. Di Auswhl dr Aufgbn trifft di Schul.

2 - - Aufgbngrupp A: Anlysis A I x BE 1.0 Ggbn ist di rll Funktion f:x in ihrr mximln 1 1 x 4 Dfinitionsmng Df IR. Dr Grph dr Funktion wird mit G f bzichnt. 1.1 Ermittln Si ds Vrhltn dr Funktionswrt f(x) n dn Rändrn dr Dfinitionsmng und gbn Si di Art und Glichung dr Asymptot von G f n. 1. Brchnn Si di Koordintn ds Schnittpunkts von G f mit sinr Asymptot Bstimmn Si ohn CAS di Art und di Koordintn llr Extrmpunkt von G f. [ Möglichs Tilrgbnis: / x 4 f (x) ] 1 1 x Bstimmn Si di mximln Krümmungsintrvll von G f Gbn Si di Nullstll von f sowi drn Vilfchhit n und zichnn Si untr Vrwndung bishrigr Ergbniss und witrr gigntr Funktionswrt dn Grphn von f sowi dssn Asymptot für 6 x 6 in in krtsischs Koordintnsystm. Mßstb: 1 LE 1 cm Dr Grph G f bsitzt n dr Stll x=- 1 di Tngnt w. Bstimmn Si di Glichung disr Tngnt w und zichnn Si dn Grphn von w ins Schubild dr Aufgb 1.5 in Dr Grph von f und dr Grph von w schlißn in ndlichs Flächnstück in. Mrkirn Si diss Flächnstück in Ihrr Zichnung us 1.5 und brchnn Si di xkt Mßzhl sins Flächninhlts A. 4 ( 1) x.0 Ggbn sind nun di rlln Funktionn f :x 4 in dr vom 1 1 x 4 Prmtr IR unbhängign Dfinitionsmng Df IR. Dr Grph inr solchn Funktion wird mit G f bzichnt. 5.1 Übrprüfn Si ohn CAS, ob di Funktion f us Aufgb 1.0 zur Funktionnschr f ghört. 5. Bstimmn Si ll Wrt von, für wlch f gnu zwi Nullstlln bsitzt.. Brchnn Si sämtlich Wrt von, für di G f symmtrisch zur y-achs ist. 4.4 Ermittln Si, für wlchn Wrt von di Stigung ds Grphn G f n dr Stll x=- 1 inn Extrmwrt nnimmt. Gbn Si ußrdm dn Wrt disr Stigung n. Fortstzung sih nächst Sit

3 - - BE Fortstzung A I:.0 Zur Gwinnung von Enrgiholz ignn sich schnll wchsnd Pppln, drn Wchstum übr inn Zitrum von 10 Jhrn bobchtt wird. Di Höh dr Pppln (in Mtrn) knn nährungswis durch di Funktion kt H:t mit, k, t IR und 0, k 0, t 0;10 kt bschribn wrdn, wobi t di Zit in Jhrn b dm Bobchtungsbginn ist. Zum Zitpunkt t 0 ist di Pppl ingpflnzt und ht brits in gwiss Höh. Zwi Jhr nch Bobchtungsbginn rricht di Pppl in Höh von 8 Mtrn und in dn druffolgndn 5 Jhrn wächst si um witr 11,8 Mtr. Auf ds Mitführn dr Einhitn knn bi dn Brchnungn vrzichtt wrdn. All Ergbniss sind ggbnnflls uf in Nchkommstll zu rundn..1 Bstimmn Si di Wrt dr Prmtr und k. Für di folgndn Tilufgbn gilt = 40 und k = 1,0. 5. Brchnn Si dn Höhnzuwchs dr Pppl innrhlb dr rstn zwi Jhr nch Bobchtungsbginn und zichnn Si untr Vrwndung gigntr Funktionswrt dn Grphn von H für dn gsmtn Bobchtungszitrum in in gignts Koordintnsystm. 5. Bstimmn Si dn Zitpunkt w wchsn. t für t 0;10, n dm di Pppln m stärkstn.4 Aus wirtschftlichn Gründn wrdn di Pppln gfällt, sobld si von inm Jhr zum nächstn Jhr wnigr ls 0,5 Mtr wchsn würdn. Brchnn Si disn Zitpunkt t 5 uf in Jhr grundt. 5.5 Ein lngsm wchsnd Bumsort lässt sich modllhft im glichn Zitrum t0;10 durch in dr dri Funktionn mit dn Funktionsglichungn (1), () odr () mit dm Prmtr b IR und b 0 bschribn. Dis lngsm wchsnd Bumsort ht zum Zitpunkt t 0 di glich Höh (in Mtrn) wi di Pppl, si bnötigt llrdings dopplt so lng, um uf in bstimmt Höh zu wchsn tb 40 t 40 bt (1) L 1(t) () L t b (t) b () L t (t) bt Schlißn Si mit gigntr Argumnttion zwi dr vorggbnn Funktionsglichungn us. Gbn Si witrhin dn Wrt von b für di zutrffnd Funktionsglichung n.

4 - 4 - Aufgbngrupp A: Anlysis A II BE 1.0 Ggbn ist di rll Funktion Df IR. 6 x f:x mit dr mximln Dfinitionsmng x Bstimmn Si ds Vrhltn dr Funktionswrt von f für x. Gbn Si Art und Glichung dr Asymptot ds Grphn von f n. 1. Untrsuchn Si dn Grph von f uf Symmtri zum Koordintnsystm Untrsuchn Si ohn CAS ds Monotonivrhltn dr Funktion f und rmittln Si dmit Koordintn und Art ds Extrmpunkts ds Grphn von f. [ Möglichs Tilrgbnis: f / (x) x x 6 6 x 1 ] Bstimmn Si ds Krümmungsvrhltn ds Grphn von f Dr Grph von f bsitzt zwi Wndpunkt W 1 und W. Ermittln Si di Koordintn disr Punkt xkt Stlln Si di Glichungn dr bidn Wndtngntn uf und brchnn Si dn Schnittwinkl φ dr bidn Tngntn. Rundn Si uf zwi Nchkommstlln Zichnn Si untr dr Vrwndung dr bishrign Ergbniss und gigntr Funktionswrt dn Grphn von f sowi mit Frb sin Asymptot für 4 x 4 in in krtsischs Koordintnsystm. Mßstb: 1 LE 1 cm x Ggbn sind zudm di rlln Funktionn h:x x 1 mit dn Dfinitionsmngn Dh DH IR und, b IR. und H:x ln x b Di Koffizintn und b sind ddurch fstglgt, dss dr Grph von H di y-achs im Punkt T 0 ln schnidt und di Tngnt n dn Grphn von H im Punkt T prlll zur Winklhlbirndn ds 1. und. Qudrntn vrläuft. Brchnn Si mithilf disr Angbn ohn CAS di Koffizintn und b. Zign Si dnch, dss di Funktion H in Stmmfunktion dr Funktion h in [ Tilrgbnis: ; b 1 ] D H ist Dr Grph von h und di x-achs schlißn mit dn snkrchtn Grdn mit dn Glichungn x xs und x u mit u IR und u xs im 1. Qudrntn in Flächnstück in. Dbi ist x S di Schnittstll dr Grphn von f und h. Brchnn Si di Mßzhl A(u) ds Flächninhlts in Abhängigkit von u. Bstimmn Si nschlißnd dn Wrt von u so, dss di Flächnmßzhl A(u) dn Wrt 4 nnimmt. Fortstzung sih nächst Sit

5 - 5 - BE Fortstzung A II:.0 Untr dr Tgsläng vrstht mn di Dur von Sonnnufgng bis Sonnnuntrgng. Si ist von dr gogrphischn Brit ds Orts bhängig. Es wurdn di Tgslängn in Münchn im Jhr 016 (Schltjhr mit 66 Tgn) ufgzichnt. Di mximl Tgsläng btrug 16,1 h, di miniml Tgsläng 8,40 h. Di Tgsläng m (0. Tg) btrug 8,46 h (Wrt gringfügig vrändrt). Di Funktion g:t sinbtc d mit,b,c,d, t IR t 0;66 wird nun modllhft zur Drstllung dr Aufzichnungn vrwndt. t bschribt dbi di Anzhl dr vrgngnn Tg b Bginn ds und dr Funktionswrt g(t) di Läng ds dzughörign Tgs in Stundn. D sich di jwilig Tgsläng immr uf gnz Tg bziht, solln Wrt für t uf gnz Zhln grundt wrdn. Auf ds Mitführn dr Einhitn wird vrzichtt. 5.1 Bstimmn Si möglich Wrt dr Prmtr, b, d xkt und c sinnvoll grundt so, dss di Funktion g di obign Bdingungn rfüllt.. Brchnn Si für 016 di Tg, n dnn di Tgsläng in Münchn 1 h btrug. 7. Brchnn Si ohn CAS dn kürzstn Tg ds Jhrs 016 in Münchn. 7.4 Brchnn Si für Münchn ) dn prozntuln Antil dr Tgslicht-Stundn n dn gsmtn Stundn dr rstn 100 Tg ds Jhrs Brchnn Si ußrdm di Wrt für t, n dnn im Jhr 016 in Münchn b) gnuso vil Tg- wi Nchtstundn vrgngn sind und c) di Hälft dr gsmtn Tgsstundn vrgngn sind.

6 - 6 - BE 1.0 Im Aufgbngrupp B: Linr Algbr und nlytisch Gomtri B I IR sind di folgndn Vktorn ggbn: 1 4 p 4 5, b 0, cp p mit pir und d. 4p Bstimmn Si dn Wrt ds Prmtrs p, für dn di Vktorn, b und cp in Bsis ds IR bildn. Zign Si, dss dr Vktor c p für kinn Wrt von p prlll zum Vktor d sin knn. 1. Drückn Si dn Vktor d durch in Linrkombintion dr Vktorn, b und c (d.h. für p ) us..0 Im IR sind di Grdn g q und h ggbn: 0 q 1 g q :x 1 λ q mit q, λ IR ; q q h:x μ 0 mit μir Untrsuchn Si ohn CAS di ggnsitig Lg dr zwi Grdn g q und h in Abhängigkit von q...0 Stzn Si nun q Ermittln Si dn Schnittwinkl dr Grdn g 1 und h uf in Nchkommstll grundt... Di Grdn g 1 und h lgn in Ebn E fst. Bstimmn Si j in Glichung dr Ebn E in Prmtrform und in Normlnform. 6 Di Kirchturmspitz ins Dorfs si dr Punkt K 9. Ein nugirigr 0 Mnsch sturt in dm Dorf in Drohn ntlng inr Grdn durch dn Punkt 1 P 0 1,5 in Richtung ds Vktors v. 6 Bi dr Btrchtung wird in krtsischs Koordintnsystm zugrund glgt, wobi dr Erdbodn sich in dr x1x Ebn bfindt. Di Koordintn sind ll in Mtrn nggbn, uf ds Mitführn dr Einhit Mtr knn bi dn Brchnungn vrzichtt wrdn. Brchnn Si di kürzst Entfrnung dr Drohn von dr Kirchturmspitz sowi di Höh übr dm Erdbodn, in dr si sich dbi bfindt.

- 7 - Aufgbngrupp B : Linr Algbr und nlytisch Gomtri B II BE 1.0 Di Abbildung zigt inn Wintrgrtn, dssn Bodn in dr x 1 x Ebn ins krtsischn Koordintnsystms ligt.

7 - 7 - Aufgbngrupp B : Linr Algbr und nlytisch Gomtri B II BE 1.0 Di Abbildung zigt inn Wintrgrtn, dssn Bodn in dr x 1 x Ebn ins krtsischn Koordintnsystms ligt. Ds rchtckig Glsdch ABCD ist von inr Mrkis bdckt. Dbi wird dr Abstnd zwischn Glsdch und Mrkis vrnchlässigt. Di Ebn, in dr di Mrkis ligt, wird mit M bzichnt. Folgnd Punkt ds Wintrgrtns sind ggbn: A( 5 0 5), B( 5 4 ), D( 0 0 5) und E( 5 4 0). All Koordintn sind in Mtrn nggbn. Auf ds Mitführn dr Einhitn bi dn Brchnungn knn vrzichtt wrdn Di Mrkis lässt sich in Vrlängrung ds Glsdchs übr di untr Dchknt BC um 1,5 m bis zum Punkt Q (sih Skizz) usfhrn. Brchnn Si di Koordintn ds Punkts Q. [ Ergbnis: Q 5 51,5 ] 4 1. Gbn Si in Glichung dr Ebn M in Prmtrform n und formn Si dis in in Koordintnform um. [ Möglichs Tilrgbnis: M: x4x 0 0 ] 4 1. Brchnn Si ds Volumn ds Wintrgrtns in m. AB und DC bfstigt wrdn, soll in Lucht im Wintrgrtn im Punkt U(,4 1,5,8) ufghängt wrdn. Ermittln Si di Mindstläng ds Drhtsils, ds n dr Strb bfstigt wird, wlch witr von U ntfrnt ist. Rundn Si ds Ergbnis uf cm Mithilf zwir Drhtsil, di n dn schrägn Dchstrbn Dmit sich dr Wintrgrtn bi Sonnnschin nicht zu strk ufhizt, ist di Mrkis jtzt bis zum Punkt Q usgfhrn. Di Richtung dr infllndn Sonnnstrhln 1 wird durch dn Vktor w 0,8 bschribn. 1, Ohn Mrkis vrlif dr Sonnnstrhl s durch dn Punkt E. Gbn Si in Glichung für di Grd s n und brchnn Si di Koordintn ds Schnittpunkts T von s mit dr Mrkisnbn M. [ Ergbnis: T( 4 4,8 1,4) ] 1.5. Erläutrn Si ohn Rchnung, ob dr Punkt E bi dism Sonnnstnd im Schttn dr usgfhrnn Mrkis ligt Im Punkt K 0 0 bfindt sich in Lichtqull. Ihr Strhl wird m Glsdch ds Wintrgrtns im Punkt R 1,5 rflktirt. Ermittln Si durch gignt Spiglung in Glichung dr Grdn, di dn rflktirtn Lichtstrhl bschribt. 0

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