3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum

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1 . Vktorn. Dfnton, Enhtsvktorn, Komponntn, Rchnrgln, Vktorrum Nn sklrn (Zhln mt Mßnht w Mss, Enrg, Druck usw.) wrdn n dr Physk vktorll Größn ("Pfl" mt Rchtung und Läng) vrwndt: Ortsvktor, Gschwndgkt, Vrschung, Krft, Fldstärk usw. Bhnkurv nr Knonnkugl mt Ortsvktor, Momntngschwndgkt und Schwrkrft (Skzz V) Vrschungsvktor: r r r (Skzz V) Grfsch wrdn Vktorn durch fr vrschr Pfl "von A nch B" vrnschulcht, Vktorn snd lso Größn, d Btrg und Rchtung stzn. Vrnrung zur Schrws: Vktorn untrstrchn,, Btrg (Läng) ds Vktors ohn Untrstrch,. Im drdmnsonln Rum snd dr Zhln (Btrg und zw Wnkl sphärsch Koordntn r zw. ϕ und q; Skzz V) zur ndutgn Bstmmung ns Vktors usrchnd. Im krtsschn Koordntnsystm wrdn d snkrchtn Proktonn uf d Koordntnchsn vrwndt (Komponntn ds Vktors): x r cosϕ y r sn ϕ z r cosθ. sn θ, sn θ, Dfnton: Vktorn m drdmnsonln Rum snd gordnt Zhlntrpl, d sch uf n Koordntnsystm zhn x r y, z usw.

2 Bm.: gordnt Zhlntrpl Zhlntrpl snd gnu dnn Vktorn, wnn s sch Drhung ds Koordntnsystms gmäß ' D trnsformrn ( D - Drhmtrx, vrglch 4. Vorlsung). En Zhlntrpl us Tmprtur, Druck und Volumn ns Gss ldt splsws knn Vktor. In dr lnrn Algr wrdn Vktorn ohn Bzug uf n Koordntnsystm d hoc ls (gordnts) n-tupl von Zhln dfnrt, für d stmmt Rchnrgln gltn. Dfnton: n M n R n odr C n, d.h., d Zhln snd rll odr komplx. D Vktorn wrdn ls Elmnt ns, zunächst ndlchdmnsonln, Vktorrums ufgfsst (vgl. Vorlsung Lnr Algr). Komponntndrstllung von Vktorn Komponntndrstllung von zgl.,, und. Für Vktorn snd d Addton und d Multplkton mt nr Zhl dfnrt: Vktorn wrdn ddrt ("Kräftprlllogrmm, Addton st kommuttv) und mt Zhln multplzrt, ndm mn hr Komponntn ddrt zw. mt Zhln multplzrt. Enhtsvktorn (EHV) snd Vktorn vom Btrg (dr Läng) : Für nn lgn Vktor mt Btrg st dr Enhtsvktor n Rchtung von. Enhtsvktorn snd sondrs gut zur Knnzchnung von Rchtungn ggnt. Im drdmnsonln Rum lssn sch Koordntnsystm qum durch dr Enhtsvktorn

3 x, y zw. z fstlgn (Rchtssystm, Drn, Skzz V). Aus dr Vorlsung lnr Algr d Bgrff lnr Unhänggkt von Vktorn, Bss und d Axom ds lnrn Vktorrums wdrholn.. Produkt von Vktorn Es gt zw physklsch snnvoll Möglchktn für nfch Vktorprodukt: ds sognnnt nnr und ds äußr Produkt zwr Vktorn... Sklrprodukt (nnrs Produkt) - Physklsch Motvton: D Vrschung ns Körprs K um Δ r durch n durch n n snm Schwrpunkt ngrfnd Krft F vrrchtt Art st proportonl zu ΔA ~ F cosϕ Δr (Krft F zht Körpr K n Rchtung Δ r, ϕ st dr Wnkl zwschn dn dn Vktorn F und Δ r, F cosϕ st lso d snkrcht Prokton ds Vktors F uf dn Vktor Δ r, Skzz V). Wr dfnrn Δ A FΔr cosϕ : F Δr, für nfntsml kln Vrschung dr schrn wr da Fdr. Allgmn st ds Sklrprodukt us dn Vktorn und d Zhl : n cos(ngschlossnn Wnkls), s glt.

4 4 Sklrprodukt n Komponntnschrws, Summnkonvnton Mt Hlf dr snkrcht ufnndr sthndn EHV n x, y und z-rchtung (krtsschs Koordntnsystm) x, y zw. z hn wr, lso...,,... ) ( ) ( Summnkonvnton Zur Vrnfchung dr Schrws ht Enstn vorgschlgn, ür dopplt vorkommnd Indcs von. n zu summrn, ohn ds Summnzchn nzugn:. Bqum st uch d Enführung ds Kronckr-Symols δ,, :. Dnn hn wr sttt dr gnzn Schrr on nfch k k k k k k δ.

5 Ürzugn S sch von dr Rchtgkt dr Rltonn δ δnn, δ δ k δk, ck k δ (c ). Wtr usgwählt Egnschftn ds Sklrprodukts -, spzll glt für ll EHV. - Btrg, Norm, Läng ds Vktors : : m R - Orthogonltät: Zw Vktorn und hßn orthogonl, wnn... Vktorprodukt (Kruzprodukt, äußrs Produkt) - Physklsch Motvton: Gldns Tlchn m Mgntfld Aus dm Exprmnt rgt sch, ds d uf ds Tlchn wrknd Lorntz-Krft F L trgsmäßg proportonl zu F L ~ v B q v B (Skzz us V) und snkrcht zu dn Vktorn v und B grchtt st (snkrcht uf dr von v und B ufgspnntn En stht; rcht Hndrgl ün). D zchnn q d Ldung, v d Gschwndgkt ds Tlchns, B d mgntsch Indukton und d Komponntn dr Vktorn snkrcht zum wlgn Prtnr. 5

6 Wtr Bspl: Drhmomnt M r F, Drhmpuls L r p. - Allgmn Dfnton ds Vktorprodukts us zw Vktorn und : sn( ds ngschlossnn Wnkls). (Skzz us V) Hr st dr snkrcht uf und sthnd EHV (Rchtssystm, rcht Hnd Rgl). Dr Btrg ds Vktorprodukts st glch dr Fläch ds durch und dfnrtn Prlllogrmms sn ϕ (zgn). Vktorprodukt n Komponntndrstllung EINSCHUB: 4. Mtrzn und Dtrmnndn En Mtrx A st n Schm von m n Zhln sthnd us,,...,m Spltn,,..., n Zln und A ( ) M m M m L L M L n n. (Mtrx "vom Typ m n") M mn Im Folgndn sn d Mtrxlmnt rll Zhln sow m und n ndlch. 6

7 4. Rchnrgln Glchht von zw Mtrzn: AB, wnn für ll,. Summ zwr Mtrzn glchn Typs: C A B mt c für ll,, wo A B B A Addton von Mtrzn kommuttv. Multplkton nr Mtrx mt nr Zhl: α A ( α ) (ll Elmnt mt α multplzrn). D zu A trnsponrt Mtrx T T A mt ntstht durch Vrtuschung dr Zln und Spltn von A. Offnschtlch könnn Vktorn ls Mtrzn ufgfsst wrdn, z.b. m R Spltnvktor Zlnvktor T (,,) 4. Multplkton von Mtrzn S A ( ) n Mtrx vom Typ m A n A und B ( ) n Mtrx vom Typ m B n B. Nur wnn A gnuso vl Spltn w B Zln ht (n A m B ), st ds Produkt dr Mtrzn dfnrt, wo glt C A B (c ), c Summnkonvnton! k k Also wrdn prws d Elmnt dr -tn Zl von A mt dn Elmntn dr k-tn Splt von B multplzrt und ddrt. M..W.: Ds Mtrxlmnt c st ds Sklrprodukt us dm -tn Zlnvktor von A und dm -tn Spltnvktor von B. D Produktmtrx ht m A Zln und n B Spltn. 7

8 Im Ggnstz zur Addton st d Multplkton von Mtrzn.. ncht kommuttv! 4 4 A ( ), B, A B ( 8) (), BA ( ) 6 Mtrx 4 8 Mtrx Für nchtqudrtsch Mtrzn vrhndrt oft schon d Bdngung n n d Vrtuschrkt. Dnnoch kommutrn uch qudrtsch Mtrzn.. ncht. A B A, 4 5 B A B , B A D multplktv vrtuschr Mtrzn tws Bsondrs snd, dfnrt mn: Df.: D Mtrzn A und B hßn vrtuschr (kommutrn), wnn [ A,B]: A B B A glt. - Potnzn n A,..., A könnn nur für qudrtsch Mtrzn A gldt wrdn. D glt n A usw. (Bcht: n! A A : A A ( k k), : n d dt A t A t A ) Ds Sklrprodukt zwr Vktorn lässt sch ls Mtrxmultplkton drstlln, z.b. (,, ) A, (,, ) B, A B A B. T T 8

9 4. Dtrmnnt nr qudrtschn n n - Mtrx Dtrmnnt dr qudrtschn Mtrx A st d Zhl Df.: n n n L n Dt (A) A : A A A /... M M M M L L nn n A n mt dn Untrdtrmnntn A k. A k st d Dtrmnnt n- tn Grds, d us dr Dtrmnnt von A durch Strchung hrr -tn Zl und hrr k-tn Splt ntstht. Ds rkursv Dfnton führt d n Dtrmnnt n-tn Grds uf n Summ von Dtrmnntn n- -tn Grds zurückführt. Flls n, st d Dtrmnnt ds Mtrxlmnt slst. Nch dsr Dfnton rchnt sch z.b. d Dtrmnnt nr qudrtschn Mtrx -tn Grds w folgt ( ) ( ) ( ). Für drrtg Dtrmnntn. Ordnung (und nur für ds!) st d häufg vrwndt Srrus sch Rgl gültg: Trm mt postvm (ngtvm) Vorzchn ntsthn us dm w on rwtrtn Schm durch Produktldung ntlng und prlll zur Hupt- (Nn-) Dgonln (durchgzogn zw. untrrochn Lnn), mn vrfzrt lcht ds og Ergns. 9

10 ZURÜCK ZU KAPITEL : Vktorprodukt n Komponntndrstllung Ds Vktorprodukt von, œ R st dr Vktor (Komponntndrstllung) c ( ) ( ) ( ) Bcht, dss, und glt. Zur wtrn Vrnfchung dr Schrws könnn wr ds ε- odr Lv-Cvt-Symol vrwndn, wnn,,k zyklsch zu,, (,, ) εk : ( k ), wnn,,k ntzyklsch zu,, (,, )., nsonstn (z.b. mndstn zw glch Indcs) Mn fndt dnn c εk k εk k odr c ( ) εk k,,k