Höhere Mathematik 1 Kapitel 2 Lineare Algebra

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1 Höhr Mthmtk Kptl Lr lgr Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus

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3 Höhr Mthmtk Kptl Ihltsvrzhs Lr lgr...-. Vktor m ddto vo Vktor Multplzr s Vktors mt m Sklr Btrg s Vktors Vktor m Koordtsystm Wkl zwsh Vktor Sklrprodukt Vktorprodukt Sptprodukt Lr Räum...-. Mtrz ddto Sutrkto Multplkto mt m Sklr Mtrzmultplkto rsport Mtr Ivrs Mtr Symmtrsh shfsymmtrsh orthogol Mtrz Lr ldug Kostrukto dr zur lr ldug ghörd Mtr Shmdtshs Orthogolsrugsvrfhr Koordttrsformto Lr Glhugssystm Gußshs Elmtosvrfhr Gomtrsh Dutug Numrsh Fhlr Shlht kodtort Mtr Brhug dr vrs Mtr Lösrkt lrr Glhugssystm Dtrmt Egwrt Egvktor Qudrtsh Form qudrtsh Polyom...-

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5 Lr lgr. Vktor m Zu zw Pukt P ud Q ds Rums gt s gu Prlllvrshug d P h Q ürführt. Ds Vrshug wrd mt PQ zht ud hßt "Vktor vo P h Q". Dr Vktor PQ wrd durh vo P h Q zgd Pfl drgstllt. S Q PQ R PQ RS P Wrd utr PQ drr Pukt R h S vrsho so ht offr RS dsl Wrkug w PQ d.h. PQ RS Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Zw glh lg ud glh grhtt Pfl m Rum stll folglh dsl Vktor dr. D.h. Vktor k m Rum fr prlll vrsho wrd. Er st k fst fgspukt gud. Es s PQ d wrd dr glh lg tgggstzt grhtt Vktor mt zht. PQ Q P Dr Vktor PP für d Pukt P zht d Nullvktor d Vrshug ds Rums dr gr hts wgt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

6 .. ddto vo Vktor Zw hdr usgführt Prlllvrshug PQ ud QR rg sgsmt d Prlllvrshug PR. M t d Vktor d Summ vo ud P PQ Q QR PR R PQ QR PR Prlllogrmmrgl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Rhrgl: Kommuttvgstz ssoztvgstz D Summ st dr Vktor s dr vom fgspukt s zum Edpukt E r us gldt Vktorktt zgt. s s E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

7 D Dffrz vo Vktor rgt sh us Vktordffrz.. Multplzr s Vktors mt m Sklr Zhl Zu ud m Vktor zht d Vktor dr dsl > odr d tgggstzt < Rhtug w ht ud d - fh Läg vo stzt. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - 7 Rhrgl: ssoztvgstz Dstrutvgstz Dstrutvgstz.. Btrg s Vktors D Läg s Vktors d.h. für PQ d Läg dr Strk PQ t m s Btrg ud shrt dfür. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

8 Rhrgl: ssodr Drksuglhug Dr Nullvktor ht k postv Läg d.h.. E Vktor vom Btrg hßt Ehtsvktor. Zu dm Vktor ghört Rhtug dr Ehtsvktor.. Vktor m Koordtsystm Wr lg m Rum krtsshs Koordtsystm mt m Ursprug O fst. I Rhtug dr postv - y- ud z-hs sd ddurh d glhztg d Ehtsvktor zw. y z odr k gg. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Bzhug : krtssh Bss O; : Koordtsystm Ortsvktor Dr Ortsvktor O hßt Ortsvktor ds Pukts. Er st dutg ls Summ drstllr. kürzd shrt m fstm Koordtsystm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

9 Bzhug : Kompot vo Rhtug : Koordt ds Vktors zgl. O; z O O y Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Vktor llgmr Lg Für PQ mt P p p p ud Q q q q glt PQ OQ OP q q q p p p q p q p q p ud Koordtdrstllug q p PQ q p für P p p p Q q q q q p ddto vo Vktor ud Multplkto s Vktors mt m Sklr Koordtdrstllug us Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

10 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - folgt mt Koordtdrstllug Btrg s Koordtdrstllug gg Vktors Mt dm Stz ds Pythgors folgt für Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl:

11 Wkl zwsh Vktor rägt m zw Vktor ud vo m Pukt p us d zht m d klr dr d postv gmss Wkl zwsh ud ls Wkl zwsh ud ud shrt mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Rhrgl: d Bspl: d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

12 M t d Vktor orthogol skrht zu ud shrt w. Für d Nullvktor dfrt m für ll Vktor d.h. dr Nullvktor st orthogol zu dm lg Vktor...6 Sklrprodukt Dfto -: Sklrprodukt Ds Sklrprodukt dr Vktor ud rs Produkt st dfrt durh : os ltrtv Shrws für sd odr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: Für d Vktor r krtssh Bss glt d Ehtsvktor d prws orthogol Rhrgl: Kommuttvgstz für Dstrutvgstz d Orthogoltätstst Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

13 wdug: Bws ds Kosus-Stzs Im Drk glt: C B BC BC C C B C B Kosus-Stz: os C B B BC Bws: BC C B C B C B C B C B C B C B os B C os Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 D Koordtdrstllug dr Vktor ud zgl. r krtssh Bss d.h. rmöglht d fh Brhug ud : os folgt mt us h umform Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

14 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 für os D Koordtdrstllug dr Bssvktor lutt Für lg Vktor glt stts os Dmt rhält m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - D Fktor os t m Rhtugskosus vo ssodr glt os os os wdug: Orthogol Zrlgug vo lägs mt d Kompot

15 Rhtug : orthogol zu : Bspl: I dr krtssh Bss glt für fh Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

16 ..7 Vktorprodukt Dfto -: Vktorprodukt Ds Vktorprodukt dr Vktor ud äußrs Produkt gt st dfrt ls drg Vktor dr skrht uf ud stht d.h. dr mt ud Rhtssystm drstllt d.h. ld Rhtssystm Rhthd- zw. Rhtsshrurgl dss Btrg glh dm Flähhlt ds vo ud ufgspt Prlllogrmms st. F s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - mt F F s Rhthdrgl Zgfgr Mttlfgr Dum Rhtsshrurgl ür d klr Wkl gmäß r Rhtsshru h drh. zgt d Rhtug dr Shruwgug. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

17 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: Für d Vktor r krtssh Bss glt ud flls Rhrgl: ssodr Dstrutvgstz Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 d Prllltätskrtrum I r krtssh Bss rgt sh für ud ds Vktorprodukt zu ud Koordtdrstllug

18 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 ls Gdähtsstütz shrt m ds Vktorprodukt Form r rhg Dtrmt d d h dr Srrus-Rgl uszuwrt st d.h. dt Srrus-Rgl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 llgm Dtrmtrhug Bspl: Flähhlt s Drks Ds Drk s durh d Ekpukt = B = ud C = gg. O OC O OB C B F dt dt dt dt

19 F dt 9..8 Sptprodukt Dfto -: Sptprodukt Ds Sptprodukt [ ] dr Vktor ud st dfrt durh [ ] Stz -: Dr vo d Vktor ud ufgspt Prlllppd uh Spt gt ht ds Volum V [ ] Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: D Grudfläh mt d Kt ud ht d Flähhlt F D Höh h ds Prlllppds zgl. dr Grudfläh st gg durh h F d.h. Kompot vo Rhtug ds skrht uf dr Grudfläh sthd Vktors. Mt h Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

20 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - s. orthogol Zrlgug uf h gwdt folgt h ud shlßlh für ds Volum h F V Für ud krtssh Koordt d.h. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - rht sh ds Sptprodukt zu ] [ Bspl: ] [ 6 6 ] [ V Spt

21 Ds Sptprodukt st dr Wrt r drrhg Dtrmt d.h. Srrus-Rgl [ ] dt llgm Dtrmtrhug + + dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -. Lr Räum I dr Mthmtk trfft m häufg uf Mg dr Elmt m ddr ud mt m Sklr multplzr k so z.b. d Mg llr Polyom d Mg llr uf m Itrvll I dfrt Fukto odr d Mg llr -dmsol Vktor. D glt für d ddto ud Sklrmultplkto dsl Grudrgl w für ds Rh mt Vktor ds shulh Rums. Zur htlh Bshrug dr sh drus rgd Kosquz wurd dr Bgrff ds lr Rums odr Vktorrums gführt. Dfto -: Vktorrum E htlr Mg V hßt -Vktorrum Vktorrum ür zw. lrr Rum ür w d folgd Vktorrum-om glt. Zwsh d Elmt vo V st ddto rklärt mt Mt y V st uh y V Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

22 y y y V Kommuttvgstz y z y z y z V ssoztvgstz d Es strt gu Nulllmt V mt V Zu dm V strt gu gtvs Elmt V mt Zwsh d Elmt vo V ud d rll Zhl st Multplkto rklärt mt Mt V st uh V y y ud y V Dstrutvgstz ud V Dstrutvgstz d ud V ssoztvgstz V D Elmt vo V t m Vktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: D Mg llr -upl mt dfrt d -dmsol Eukldsh Vktorrum V = wo d ddto ud d Multplkto mt Sklr koordtws rklärt sd d.h. y y y : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 für : mrkug: Mt dm Ürgg vom shulh Vktorrum dm zum strktr -dmsol Vktorrum dm h wr d Bzhugsws dr Vktor dhghd gädrt dss Vktor ht mhr durh Pfl ür dm Kluhst sodr durh htkursv fttgdrukt Kluhst gkzht wrd.

23 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Dfto - D Vktor k hß lr hägg w s rll Zhl k gt d ht ll Null sd so dss glt k k k D Vktor k hß lr uhägg w s ht lr hägg sd d.h. k k k k D Summ k k k hßt Lrkomto dr Vktor k Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Bspl: d sd lr hägg 6 d sd lr uhägg d sd lr hägg z.b. für

24 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 st uf lr Uhäggkt D Vktor ud sd lr hägg gu d w. ] [ Bws: V Spt = [ ] = Volum ds vo ud ufgspt Spts muss s ud sd lr hägg. sd lr hägg sd lr uhägg 88 7 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - sd lr uhägg m d sd lr uhägg... mrkug: Zw lr hägg Vktor sd kollr. Zw lr uhägg Vktor sp E uf d.h. dr dr E lgd Vktor k ls Lrkomto vo ud drgstllt wrd. Dr lr hägg Vktor hß komplr.

25 Dfto -6: Es s V Vktorrum. Ist k d Mmlzhl uhäggr Vktor V so hßt k d Dmso vo V lso dmv = k ud k lr uhägg Vktor us V ld Bss vo V d.h. sd k V lr uhägg d st { k } Bss vo V ud für ll V strt k mt k lso ds Elmt us V lässt sh ls Lrkomto dr Bsslmt shr. Bspl: ldt Bss ds türlh Bss Für... glt : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - sd lr uhägg d lso ld ud Bss ds. ud sd orthogol Bss d r ht orthoorml d ud. Dfto -7: Utrrum Es s V Vktorrum ud W V. Glt für ll y W ud y W ud W d.h. W st gshloss zgl. ddto ud Sklrmultplkto d hßt W lrr Utrrum vo V. Ist r d Mmlzhl lr uhäggr Vktor us W so hßt r d Dmso vo W dmw = r. J r lr uhägg Vktor ds Utrrums W ld d Bss vo W. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

26 Bspl: Jd Grd durh O st dmsolr Utrrum ds d für G : r mt r glt {r} st Bss vo G r = r r r G ud r G r r G lso st G dmsolr Utrrum ds. Jd E durh O st dmsolr Utrrum ds d E : u v mt u v lr uhägg {u v} st Bss vo E. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -. Mtrz Dfto -8: Für mt m ud m hßt Zhlshm dr Form m m m m Mtr. Kurzshrws: m Hr hßt ds -t Elmt vo z dr -t Zlvktor vo : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

27 s : dr -t Spltvktor vo m Bspl: st qudrtsh Mtr Mtr Mtr Mtr Mtr Jdr Spltvktor st m Mtr dr Zlvktor Mtr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.. ddto Sutrkto Multplkto mt m Sklr Dfto -9: Es s B m zw m Mtrz ud d st B : C mt d ddto ud : D d mt d = d Sklrmultplkto. Bspl: m m m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

28 m m Zhlspl: m m m m m m m m m m Zhlspl: 8 6 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Zu dr Mtr zht m = mt ud rklärt dmt d Dffrz zwr m Mtrz d.h. B + = B Dfto -: : hßt m Nullmtr m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

29 Rhrgl: B B B m B C B C BC m ud m d m ud m f m g ud m h B B ud B m mrkug D Mg V m dr ddto ud Sklrmultplkto gmäß dr og Rhrgl rklärt sd st Vktorrum. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9.. Mtrzmultplkto Dfto -: Es s m Mtr ud B p Mtr d st B : C d Mtr ds Produkts vo ud B. D Ergsmtr C st d m p Mtr. Bspl: Hrus folgt dss d Mtrzmultplkto ht kommuttv st lso m llgm B B glt. mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - k k k

30 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Sklrprodukt dydshs Produkt Produkt dydshs Mtr Sklrprodukt Mtr B C mt s z wo z d -t Zl vo ud s d -t Splt vo B zht lso st ds Sklrprodukt us dm -t Zlvktor vo ud dm -t Spltvktor vo B d.h. p m m m p p s z s z s z s z s z s z s z s z s z B C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - p m s s s s B z z z z ud k k k s z

31 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: 7 6 Rhshm : 7 6 Rhshm : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Dfto -: : E hßt Ehtsmtr s ht d Spltdrstllug E mt d Vktor - t Stll dr mt r dr türlh Bss ds.

32 Rhrgl: Für ll Mtrz m BB B p ud C pr glt B B B B B B B B B B BC B C d E m E E E für m = B B m llgm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.. rsport Mtr Dfto -: Es s rllwrtg m Mtr d hßt : mt für l m; k kl kl d trsport Mtr vo. st d m Mtr. lk Bspl: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

33 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 m m m m m m Rhrgl: B B d B B Dfto -: Es s komplwrtg m Mtr d hßt k m l lk kl kl H ; für mt : d trsport kougrt Mtr vo. H st d m Mtr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Bspl: H H m m m H m m m

34 .. Ivrs Mtr Dfto -: Es s rllwrtg Mtr. Estrt Mtr X mt X E d hßt rgulär vrtrr ud X = d vrs Mtr vo. Estrt k vrs Mtr so hßt sgulär. Stz -: Für ll rgulär Mtrz B glt: E B B d mt st uh rgulär ud s glt ht lr uhägg Spltvktor f ht lr uhägg Zlvktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: Mt B rgulär B sd rgulär Bws spätr mt Dtrmt. X E X E EX X E E X E E E BX E BX E BX B BX B X B B B d X E X E E X X E X E X X S s = d Spltvktor vo ud s d.h. mt λ glt s λ Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 = E s s s lr uhägg f D d Zlvktor vo d tsprhd Spltvktor vo sd ud mt uh rgulär st sd uh d Zlvktor vo lr uhägg.

35 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Dfto -6: D Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor dr m Mtr hßt Rg dr Mtr rg. mrkug: D Mmlzhl lr uhäggr Spltvktor st glh dr Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor. Bspl: st rgulär rg d E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 st rgulär rg d E sgulär ht rgulär rg.. Symmtrsh shfsymmtrsh orthogol Mtrz Dfto -7: Es s rllwrtg Mtr. hßt symmtrsh gu d w hßt shfsymmtrsh gu d w hßt orthogol gu d w Bspl: st symmtrsh

36 st shfsymmtrsh os s s os st orthogol d Stz -: Für orthogol Mtrz glt: st orthogol gu d w d Zlvktor vo Orthoormlsystm ld d.h. ll Zlvktor sth prws skrht ufdr ud h d Läg. st orthogol gu d w d Spltvktor vo Orthoormlsystm ld d.h. ll Spltvktor sth prws skrht ufdr ud h d Läg. st orthogol gu d w d.h. lägtru d ud B st orthogol B st orthogol Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Bws: z z z mt z z z z z flls E flls st uh orthogol d d Spltvktor vo ld uh Orthoormlsystm "" E "" s d Spltvktor h d Läg s s s s s s s s s s s s s s für d s s ud d B B B B Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

37 Dfto -8: Es s komplwrtg Mtr. hßt hrmtsh gu d w H hßt utär gu d w H Bspl: st hrmtsh p p st utär d p H mrkug: D ussg vo Stz - kö uf utär Mtrz tsprhd vrllgmrt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6. Lr ldug Dfto -9: Es s V W lr Räum. E ldug : V W hßt lr w für ll v w V ud glt: v v Homogtät v w v w ddtvtät D Bldmg { v : v V } W vo zht m ls Bld. D Mg {v V : v W } hßt Kr dr ldug vo ud wrd mt Kr zht. mrkug: E lr ldug : V W ldt d Nullvktor vo V uf d Nullvktor vo W. Ist : V W lr d sd Kr zw. Bld ht ur lmg sodr sogr Utrräum vo V zw. vo W. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -66

38 v v v w w w v w v v v v Bspl: ldug vo Drhug um Grd durh O z.b. y odr z-hs st lr ldug Spglug r E durh O z.b. y- z- odr yz-e st lr ldug rslto : mt fstm \ {} st k lr ldug Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -67 Stz -: E lr ldug : m st rts d dutg dfrt w d Bldr dr Bssvktor fstglgt sd lso durh d g dr Vktor m für Für v v v v glt w v v v v v v v. Stz - Es s : m gmäß Stz - dfrt lr ldug ud r d Mmlzhl lr uhäggr Vktor utr d d glt dmbld r ud dmkr r lso dmbld dmkr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -68

39 mrkug: Jd m Mtr duzrt lr ldug ds d m vrmög m : Umgkhrt strt zu dr lr ldug : m m Mtr mt für ll mrkug: D lr ldug : V W st gu d ktv w Kr ur us dm Nullvktor stht. S st gu d surktv w Bld W glt. Ist ktv d.h. ktv ud surktv d strt d Umkhrldug : W V ud ds st wdr lr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus Kostrukto dr zur lr ldug ghörd Mtr Es s : m lr ldug. Gsuht: m m Mtr mt für ll. D Mtr st dutg fstglgt durh d Bldr dr Ehtsvktor ds d s glt m m m m d.h. dr -t Spltvktor vo st glh dm Bld vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7

40 Ist s für ll d glt s s s ud s wo. Bspl: Drhug um d z-hs um d Wkl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 os s os s s os s os Drhug um d z-hs um d Wkl os s os s B s os s os Frr muss glt B d.h. os s os s s os s os B Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7

41 Spglug dr y-e D d Spglug vo wdr rgt glt hr mrkug: Mtrz d Drhug um Grd durh O odr Spglug r E durh O rzug ghör zu d orthogol Mtrz. Für ds glt: für ll. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7.. Shmdtshs Orthoormlsrugsvrfhr Gg s k lr uhägg Vktor k. Gsuht wrd k orthorml Vktor k d d glh Utrvktorrum ufsp w k. Es muss lso glt: flls flls Rhvorshrft: usw. mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7

42 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 llgm folgt shlßlh für k mt d für r < glt für für ud für d r r r r r r r r r r r Bspl: dt d lr uhägg Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ld Orthoormlsystm lso st d Mtr 6 orthogol.

43 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus Koordttrformto { } s d ülh Bss ud {' ' ' } dr Bss ds lso ' ' ' sd lr uhägg. ' lässt sh ls Bld vo uffss: ' mt ' dr -t Splt vo d.h. ' ' ' ud E. Für glt somt wo d lt ud ' ' d u Koordt zht. I Mtrzshrws lutt ds Glhug E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -78 Hrus folgt ud Bld d u Bssvktor Orthoormlsystm so st d Mtr orthogol ud s glt: Bspl: lr uhägg

44 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -79 S D Lösug dss Glhugssystms lfrt z.b. ür d Ivrs Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 ld Orthoormlsystm d.h. dmt st orthogol d.h.. E Für rhält m shlßlh

45 . Lr Glhugssystm Es s m ud m. Gsuht st mt hßt Koffztmtr hßt "rht St" L { : } hßt Lösugsmg ds lr Glhugssystms GLS. Sodrfll: m ud rgulär rg Ist rgulär Mtr so st ds lr Glhugssystm = dutg lösr mt =. Bstmmug dr vrs Mtr S rgulär s strt mt E. Mt s s s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 wo s d -t Spltvktor vo zht glt lso s s s s für. Um d vrs Mtr s s s zu stmm müss lso lr Glhugssystm s mt glhr Koffztmtr r utrshdlh rht St glöst wrd... Gußshs Elmtosvrfhr Gg s ds lr GLS mt dr Koffztmtr m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

46 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 ud dr rwtrt Mtr Stz -6: Guß lgorthmus E lrs Glhugssystm k durh d Oprto Glhug vrtush d.h. Zl vrtush zu r Glhug ds Vlfh r dr Glhug ddr d.h. zu r Zl ds Vlfh r dr Zl ddr Ukt vrtush d.h. Splt vrtush äquvlts lrs Glhugssystm mt folgdr rwtrtr Mtr umgwdlt wrd. m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 mt für r lso C d. Hr vrädrt sh d Lösugsmg ud dr Rg dr Koffztmtr zw. rwtrt Mtr ht. Dr Rg dr Mtr st r. Ds lr Glhugssystm st lösr d r+ d m rg rg r m r r r r r rr r r r r d d d d d d C

47 I dsm Fll sd r Ukt fr wählr ud d dr r Ukt lss sh us d rst r Glhug stmm. Bws: D s ufgführt Oprto vrädr ht d Lösugsmg L ud uh ht d Räg dr Mtrz d.h. d zhl lr uhäggr Zlvktor. Es s hßt Pvotlmt. Ist so muss vorhr Zltush odr flls m Splttush durhgführt wrd. t Zl t Zl für... m - m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Nu s ã hßt d Pvotlmt. Ist ã so muss vorhr Zltush odr flls ã ã ã m Splttush durhgführt wrd. -t Zl t Zl für... m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m m m Fortstz dsr Prozdur lfrt shlßlh d rwtrt Mtr C d mt für r. Ist rg rg r so sd r Ukt d.h. r sofr k Splttush stttgfud ht fr wählr. D rstlh Ukt kö us d rst r Glhug durh "Rükwärtsstz" stmmt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -86

48 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus für r r k d k k k kk k mrkug: dr Mtr C rkt m dss d Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor vo glh dr Mmlzhl lr uhäggr Spltvktor vo st d d Mtr ht r lr uhägg Zl- ud uh r lr uhägg Spltvktor ud somt ht uh d Mtr r lr uhägg Zl- ud Spltvktor. r r m r r m r r r r r rr r r C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -88 Bspl: Mtrshrws rwtrt Mtr t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl 8 9 7

49 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -89 rg rg Ukt fr wählr ud mt Lösugsmg L Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Mtrshrws rwtrt Mtr M k hr uh oh wtr Shrtt mh um vor Ehtsmtr zu rzug. t Zl t Zl Zltush t Zl t Zl

50 t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl st dutg Lösug rg.. Gomtrsh Dutug Im t Bspl stll d Glhug E ds dr. D Lösugsmg st lso d vo d E gldt Shttmg. Es rg sh dr Möglhkt dutg lösr gu Shttpukt mhrdutg lösr Shttgrd odr Shtt ht lösr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 D Normlvktor d Skrht uf d E sth sd lr uhägg d.h. rg = lr hägg d.h. rg < ud s glt rg = rg lr hägg d.h. rg < ud s glt rg rg.. Numrsh Fhlr B dr Brhug dr Lösug s lr Glhugssystms kö Rhfhlr durh Rudug shrhr ud Computr führ Brhug ur mt dlhr Stllzhl/Gugkt us tsth. Bspl: kt Lösug Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9

51 Rhug mt füfstllgr Gugkt 86 t Zl t Zl d.h. shr ugus Ergs t Zl t Zl d.h. ssrs/gurs Ergs Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 llgm: Durh Zltush wählt m ds Elmt ls Pvotlmt us ds dm Dgollmt ds trglh größt dr Splt st dr m Null rzug wll... Shlht kodtort Mtr rotz optmlr "Pvotstrtg" kö gwss lr Glhugssystm groß Rhfhlr uftrt. Bspl: t Zl 8 t Zl 9 9 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9

52 Rhug mt drstllgr Gugkt t Zl 78 t Zl kt Lösug ugus Ergs Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 D Koffztmtr st dsm Bspl shlht kodtort. Brht m d Dtrmt vo 8 9 dt dt so sht m dss dsr Wrt shr kl st. Wär dt = so wär ds lr GLS ht lösr ud d Mtr sgulär. Hr st lso d Mtr "fst sgulär". I solh Fäll muss d Rhug mt möglhst hohr Rhgugkt/Stllzhl durhgführt wrd. D d Glhug dut Grd m gut kodtort: shlht kodtort: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -96

53 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus Brhug dr vrs Mtr Vorusstzug: rgulär lso X E Gsuht: X M muss lr Glhugssystm lös d.h. s für ud s s s Shrt m sofort ll rht St zusmm uf so rhält m d rwtrt Mtr E. Führt m u Guß-Shrtt so lg us s m E X rhält so glt X Bspl:? Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -98 rwtrt Mtr Zl t 6 6 Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t

54 6..6 Lösrkt lrr Glhugssystm Folgrug us dm Stz zum Guß-lgorthmus lösr rg rg Ist qudrtsh Mtr Mtr d glt dutg lösr rg rgulär strt Dfto -: Es s rll m Mtr ud. hßt lrs homogs Glhugssystm mt hßt lrs homogs Glhugssystm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -99 Stz -7: st Lösug trvl Lösug ds lr homog Glhugssystms D Lösugsmg L h ds lr homog Glhugssystms st lrr Utrrum ds mt dm L h r flls rg r D llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms lässt sh drstll durh d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms plus prtkulär Lösug ds lr homog Glhugssystms d.h. h p mt h p hr st h d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms ud p prtkulär Lösug ds lr homog Glhugssystms. L h { h p } Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

55 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bws: klr Mt ud glt uh mt glt uh ud. D rg r r Ukt sd fr wählr. S r fr wählr mt r r d st d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms r L r h : ud d Vktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - ld Bss vo L h. Ds sd r lr uhägg Vktor dm L h r. S h p h p st Lösug vo S umgkhrt Lösug vo ud p prtkulär Lösug vo p = p = h h p Bspl: homogs Glhugssystm Mtrshrws

56 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - homogs Glhugssystm Rhtug d.h.grd durh : st prtkulär Lösug h p L dm Grd durh : rg t Zl t Zl t Zl t Zl Zltush h L h O L Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.6 Dtrmt Motvto: Gg s ds lr Glhugssystm lso d Koffztmtr ud rht St Durh Umform rhlt wr

57 t Zl t Zl t Zl t Zl lso st ds Glhugssystm gu d dutg lösr w Dfto -: Es s Mtr d hßt dt : d Dtrmt vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Stz -8: Es s ud d st ds lr Glhugssystm gu d dutg lösr w dt. I dsm Fll st dt dt dt dt d dutg Lösug. Vrllgmrug uf > Dfto -: Es s qudrtsh Mtr. Frr s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

58 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 d Mtr d sh us durh Strh dr -t Zl ud -t Splt rgt. D hßt dt : dt d Dtrmt dr Mtr. Bspl: dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Dfto -: E Mtr k hßt or zw. utr Drksmtr w k für > k zw. < k glt. Bspl: utr Drksmtr or Drksmtr. Stz -9: Es s s s s

59 wo s d -t Spltvktor vo zht d glt dt s s s dt s s s E gmsmr Fktor r Splt k vor d Dtrmt gzog wrd dt s t t s dt s t s dt s t s dt s s s s dt s s s s B Splttush khrt sh ds Vorzh um. d dt s s s s B zw glh Splt st dt dt s s s s dt s s s Dr Wrt vo dt ädrt sh ht w zu r Splt ds Vlfh r dr Splt ddrt wrd. f or zw. utr Drksmtr dt dt E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: mttls Idukto Bsplhft wrd dr Bws für durhgführt. dt dt dt dt dt dt dt d dt s s s s dt s s s s h durh vrtush vo s ud s dt s s s s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

60 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - dt dt dt dt s s s s s s s s s s s s s s s s s h d d t Dtrmt zw glh Splt thält f Iduktosws : dt dt : dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - g f h dt dt E mrkug: Im og Stz sg ud dss dt zgl. dr Splt lr d.h. Multlrform st. Stz -: Es s B zw Mtrz d glt B B dt dt dt dt dt dt dt Bws: mttls Idukto

61 Bsplhft wrd dr Bws für durhgführt. Es s f g f h B B d g h dg f dh dt B g f dh f h dg f dh gf gdh f fdg h hdg dh fg dfg h d h fg dt dt B dt d dt d dt dt dt dt E dt dt Folgrug: ll Rgl ds ltzt Stzs glt uh für d Zlvktor vo d dt dt ud d Zlvktor vo sd d Spltvktor vo. dt st lso uh lr zgl. llr Zlvktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - B dr Brhug r Dtrmt k h dr Zl odr Splt twklt wrd. Etwklug h dr -t Zl: dt dt Etwklug h dr -t Splt: dt dt D st d durh + duzrt ud m folgd vrshulht Vorzhrgl zu ht Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

62 Bspl: dt dt dt dt Etwklug h dr t Splt dt dt dt dt Etwklug h dr t Zl dt dt dt dt Etwklug h dr t Splt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - dt dt dt dt dt t Zlt Zl Fktor us tr Splt vorgzog dt dt Zl vrtusht 6 dt glh Zl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

63 Folgrug: Ist orthogol Mtr dt d E dt dt = dt E = dt dt dt dt mrkug: M rhält dt r r Drhug dt r Drh-Spglug. Folgrug: Für B glt dt dt B dt D C D wo B r r Mtr D s s Mtr ud C r s Mtr zht d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 E C B D EB C E B D E EC B DE dt dt E B D B C dt D E dt dt C D Bspl: dt dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

64 wdug uf lr Glhugssystm Stz -: Crmr-Rgl Es s s s s Mtr d glt: Ds lr Glhugssystm st dutg lösr rgulär strt s s sd lr uhägg dt I dsm Fll st d dutg Lösug. Ds Lösug k mt Hlf dr Crmr-Rgl w folgt rht wrd. dts s s s dt für =. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: us vorggg Sätz st rts kt GLS dutg lösr rgulär strt s s sd lr uhägg Ist u rgulär E dt dt dt Umgkhrt st dt mt s s s dts s dts... s s s dts...s s dts...s s dts...s s = dt dts s /dt dutg lösr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

65 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: st dutg Lösug dt dt dt dt dt dt 6 dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Brhug dr vrs Mtr mt Hlf dr Crmr-Rgl: Stz -: Es s rgulär Mtr ud d zu rhd vrs Mtr vo d glt dt dt mt

66 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - wo sh us durh Strhug dr -t Zl ud dr -t Splt rgt. Bws: E =... t...t s wo t...t d Splt vo ud s d -t Splt vo zht. Nh dr Crmr-Rgl glt s = dtt t /dt mt dr -t Splt. Etwkl h dr -t Splt lfrt + dt /dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: d d d dt rgulär lso dt Bspl vorhrgs s. dt 7 dt dt dt dt dt dt 6 dt dt dt

67 6 7 mrkug: us d Sätz - ud - folgt: Mt ud B sd uh B ud rgulär. Frr glt rg r gu d w d größt vo Null vrshd Utrdrtrmt vo d Dtrmt r r r Utrmtr st. Bspl: dt dt rg Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.7 Egwrt ud Egvktor Im folgd führ wr Egwrt ud Egvktor qudrtshr Mtrz. D st s zwkmäßg sofort vo kompl Zhl ls Sklr sow Vktor ud Mtrz mt kompl Eträg uszugh. Dfto -: Es s. Estrt Vktor z mt z ud mt z z so hßt Egwrt ud z dr zu zughörg Egvktor vo. Bspl: stzt EW ud EV z d z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

68 ud z \ {} sd Egwrt ud zughörgr Egvktor vo gu d w für z glt zzzz E zdt E wo p dt E Polyom vom grd p st. Ds Polyom p t m hrktrstshs Polyom vo. Stz -: Gu d für d dt E st sd Egwrt dr Mtr. Ist Egwrt vo so sd ll httrvl Lösug ds homog lr Glhugssystms E z zughörg Egvktor vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 D Lösugsmg ds homog lr Glhugssystms E z st dr zu ghörd Egrum. D Dmso dr Lösugsmg st d Dmso ds Egrums. d Ist rll Egwrt ud z \{} zughörgr Egvktor vo d st uh Egwrt ud z zughörgr Egvktor vo. Bws: zu d z z z = z z = z d rll Bspl: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

69 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Brhug dr Egwrt E Egwrt vo sd fh dt dt Brhug dr Egvktor zu = : z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - st Egvktor zu mt Egrum zu = : E zu : z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z

70 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - mt \{} sd Egvktor zu Egrum zu : E zu : mt \{} sd Egvktor zu Egrum zu : E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Brhug dr Egwrt dt dt dt dt E fhr Egwrt fhr Egwrt Brhug dr Egvktor zu :

71 z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z sd Eg- mt \{ } vktor zu Egrum zu E st Egrum zu : mt dm E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - zu : z z z z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z mt st Egvktor zu Egrum zu Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

72 E st Egrum zu : mt dm E I dsm Fll glt: E E d Im folgd wrd g Egshft vo Mtrz ud dr Egwrt ud Egvktor zusmmgstllt. Stz -: h d Egwrt mt dm zughörg Egvktor z. D glt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. mt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - E mt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. d Flls rgulär ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. st rgulär gu d w ll Egwrt vo uglh ull. Bws: z z z z z pr Idukto z z. z z z z. z z z E z z z E z z. d z z z z z z. rgulär dt dt E für Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

73 Dfto -: Zw Mtrz ud B hß ählh w s vrtrr Mtr C gt so dss glt B C C. Stz -: h d Egwrt mt dm zughörg Egvktor z. D ht d zu ählh Mtr B C C d glh Egwrt mt dm zughörg Egvktor C z. Bws: z z C z C z mt z C w C C w w. mrkug: D Mtrz ud B C C stz glh hrktrstsh Polyom ud folglh d glh Egwrt d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 dt C C E dt C C C C E dt C E C = dt C dt E dt C dt E. Stz -6: D Egwrt r Drksmtr sd d Elmt dr Huptdgol vo. Bws: dt E dt dt E sd d Egwrt vo Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

74 r Dr- mrkug: M k zg Stz vo Shur dss d Mtr ksmtr ählh st. Stz -7: Es s ht otwdg vrshd Egwrt vo k. D glt ud Sp dt mrkug: D Summ dr Dgollmt r Mtr hßt Spur dr Mtr d.h. Sp. Für d Spur ds Produkts zwr Mtrz ud B k m zg dss SpB SpB glt. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Stz -8: S Mtr. ht höhsts vrshd Egwrt. D Egvktor zu vrshd Egwrt sd lr uhägg. h vrshd Egwrt mt d zughörg Egvktor s s s. S C s s s d glt DC C mt D ud m zht ls dgolählh odr dgolsrr. d Flls mhrfh Egwrt stzt glt ussg ur d w für ll mhrfh Egwrt d Dmso ds Egrums glh dr Vlfhht ds zughörg Egwrts st. I dsm Fll müss C tsprhd dr wlg Egrumdmso vl lr uhägg Egvktor sth. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

75 Jd rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh Mtr st dgolählh odr dgolsrr. f Ist rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh so sd ll Egwrt rll ud d Egvktor zu vrshd Egwrt sth skrht ufdr. lso k m d Mtr C orthogol zw. utär wähl mt D C C zw. D C H C g Ist orthogol zw. utär so h ll Egwrt d Btrg s. Bws: dt E st Polyom vom grd höhsts vrshd Nullstll us z z z folgt durh Multplkto mt vo lks z z z. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bd Glhug lfr z z z z z z z + + z log rhält m us z + + z = z z z z z z Durh Wdrhol glgt m shlßlh zu z worus = folgt. Ds lfrt rükwärts gstzt h vrshd Egwrt mt d zughörg Egvktor s s s. Nh sd d Egvktor lr uhägg ud somt d Mtr C s s s rgulär. D s s für C CD C C = D dgolsrr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

76 d Ist k-fhr Egwrt ud glt dm E k m k k lr uhägg Egvktor z z k zum Egwrt wähl C rgulär ud s glt C C D Ist rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh ud st k- fhr Egwrt dm E k Bws s. Ltrtur f us z z H ud dmt z H z z H H z z H z H folgt z H z z H z H * z H z * Sd Egwrt vo mt ud z z d zughörg Egvktor d lfrt z H z H z H z z H z shlßlh z H z z H z z H z z z Ist k-fhr Egwrt vo so k m orthoorml Bss ds zughörg Egrums wähl d.h. z z k mt z z für ud z für k C st orthogol ud s glt D C H C g orthogol zw. utär z z z z z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: 6 Brhug dr Egwrt dt E dt Brhug dr Egvktor zu : sd fh Egwrt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

77 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - st Egvktor zu z z zu : st Egvktor zu z z zu : st Egvktor zu z z lso glt 6 6 C C C C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Brhug dr Egwrt s. Bspl uf S. fhr Egwrt fhr Egwrt Brhug dr Egvktor s. Bspl uf S. zu : } \{ mt zu : mt Nu wähl wr zw orthogol Egvktor zu = mt für d zwt Egvktor muss glt mt

78 ormr lfrt z z 6 orthoorml Bss ds Egrums zu. Dr ormrt Egvktor zu lutt z. Er stht gmäß Stz -8 skrht uf dm Egrum zu. Somt glt C C C C C 6 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Brhug dr Egwrt E fhr Egwrt fhr Egwrt dt dt Brhug dr Egvktor zu : z z st Egvktor zu z dm Vlfhht ds Egwrts E st ht dgolsrr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

79 Brhug höhrr Potz dgolsrrr Mtrz Es s dgolsrr d.h. s strt rgulär Mtr C mt C C D. k C CD k k CD C CDC mttls Idukto CDC CDC CD C lässt sh u fh rh d für Dgolmtr D rgt sh dr k-t Potz zu k k k D k Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bspl: s. Bspl uf St -6 C D C 6 k k k k CD C 6 k k k k k k 6 k k k k k k k k k k k k k k k 6 k k k k k k C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

80 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.8 Qudrtsh Form qudrtsh Polyom Dfto -6: Es s symmtrsh Mtr ud so hßt q qudrtsh Form. usgshr lutt d qudrtsh Form q Bspl: 6 q Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - q Dfto -7: Es s q qudrtsh Form. q zw. hßt postv dft gu d w q > für ll \ {} q zw. hßt gtv dft gu d w q < für ll \ {} q zw. hßt dft gu d w q mmt postv ud gtv Wrt d q zw. hßt postv smdft gu d w q für ll q zw. hßt gtv smdft gu d w q für ll

81 Stz -9: Es s q qudrtsh Form. D glt q > für ll \ {} ll Egwrt vo sd > q < für ll \ {} ll Egwrt vo sd < q mmt postv ud gtv Wrt ht postv ud gtv Egwrt d q für ll ll Egwrt vo sd q für ll ll Egwrt vo sd Bws: D symmtrsh strt orthogol Mtr C mt C C = D CDC CDC u Du u mt u C lso glt d wg u C für uh u folgt. ll dr Äquvlz rg sh log. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: dt E dt Sp S d Egwrt vo so glt ud dmt dt E Sp dt Ds vorhrg Bspl motvrt d folgd Stz. Stz -: Für symmtrsh Mtr = glt: postv dft > ud > > ud dt > gtv dft < ud < < ud dt > dft h vrshd Vorzh dt < dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -

82 Bws: dt Sp dt stz glh Vorzh. S d dt. Ist umgkhrt dt stz glh Vorzh d. D d dr Fäll kö log ws wrd. Bspl: dt st postv dft ht ur postv Egwrt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Stz -: Es s symmtrsh Mtr. Frr s D dt d führd Huptshttsdtrmt dr Ordug mm mm mm m m m m m m dt m m m m m m m lg Huptshttsdtrmt dr Ordug ud dr -t Egwrt vo. D glt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

83 st postv dft st gtv dft D > für =... > für =... D > für =... < für =... st postv dft st postv smdft D ud ll für =... für... wo mdsts st st gtv smdft D ud ll für =... für =... wo mdsts st st postv smdft st dft D h dr Vorzh ls o s str > ud < Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Stz -: Es s symmtrsh Mtr. Frr s dr größt Egwrt vo mt dm zughörg Egvktor ud dr klst Egwrt vo mt dm zughörg Egvktor d glt m mt rg m ud m mt rg m Bws: D symmtrsh strt orthogol Mtr C mt C C D CDC CDC C DC u Du mt u C ud s glt u u u Du u u u Du d u. Ist Egvktor zu mt = so glt. lso glt m log für Mmum. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8

84 Bspl: mt dt E dt m m Egvktor zu / sd ud mt Btrg. dsr Stll wrd ds Mmum gomm. Egvktor zu / sd ud mt Btrg. dsr Stll wrd ds Mmum gomm. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 mrkug: Ist hrmtsh Mtr ud z so t m qz z H z flls qudrtsh Form. Dfto -8: E Fukto dr Form p mt ud = hßt qudrtshs Polyom d Vrl. Bspl: 8 mt 8 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6

85 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Egwrt vo : E sd d Egwrt vo dt dt Egvktor vo : zu = : st Egvktor zu zu = 6: st Egvktor zu Normr dr Egvktor lfrt d orthogol rsformtosmtr 6 D C C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 D rsformtosmtr C rzugt Drhug um mt os ud s lso 6 CDC CC C u Du u u C mt durh d rsformto u C wrd Hupthstrsformto durhgführt dmt d u Koordths prlll zu d hs ds Kglshtts vrluf u u u u u u u u u u u u u u u u qudrtsh Ergäzug lfrt

86 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus u u 6 6 u u u u u u Ellps mt Mttlpukt ud Hlhs 6 ud. mrkug: E qudrtsh Form ght durh rslto ds Koordtsystms w folgt qudrtshs Polyom ür p q E qudrtshs Polyom k umgkhrt ht mmr durh Koordttrsformto qudrtsh Form ürgführt wrd.

87 Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -: Gg s. Shr S d Vktor ls Spltvktor ud rh S dr Btrg. ufg -: Bstmm s d Wkl zwsh ud. ufg -: Gg s d Vktor Brh S d f [ ] Sptprodukt. ufg -: D Vktor ud sd durh os 6 os 8 os ud os 6 gg. Brh S D Koordt vo ud D Rhtugswkl ud Ds Sklrprodukt d D Wkl D Prokto vo uf

88 Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -: Brh S für d Vktor d orthogol Zrlgug vo lägs d usdruk. ufg -6: Utrsuh S d folgd Vktortrpl uf lr häggkt. Im Fll lrr häggkt stmm m so dss glt ufg -7: Zg S dss d Vktor lr uhägg sd ud stll S d Vktor d ls Lrkomto vo dr. ufg -8: Gg s d Mtrz D C B. Brh S flls möglh D B D D C D BD D B C C.

89 Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -9: Bstmm S d Lösugsmg dr Glhugssystm ud 6 6 mt Hlf ds Guß-lgorthmus ud g S wls d Rg dr Koffztmtr ud dr rwtrt Mtr. ufg -: Es s. Brh S dt dt dt ud rg. ufg -: Gg s mt d Mtr. Brh S dt. ufg -: Brh S mt Hlf ds Guß-lgorthmus d Ivrs dr Mtr 6 6. dr Crmr-Rgl d Ivrs dr Mtr.

90 Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -: Bstmm S vo d folgd Mtrz wls d Egwrt ud mmls Systm lr uhäggr Egvktor.. ufg -: Gg s d symmtrsh Mtrz d f g h. Utrsuh S mt Hlf dr sog. Huptshttsdtrmt wlh dr og Mtrz postv dft sd. ufg -: Wlh dr folgd qudrtsh Form q sd postv dft? d 6 6.