Es ist dann nämlich 2 2 2

Transkript

1 Ege Bemerkuge zum Sklrprodukt See U,V,W Vektorräume üer eem Körper K. Ee Aldug ϕ :U V W heßt ler, we λ, λ, µ, µ K, u, u U, v, v V : ϕ( λ u + λ u, µ v + µ v ) = λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) Ds efchste Bespel eer lere Aldug K K K st de gewöhlche Körpermultplkto ϕ (, ) =. Auch ds Vektorprodukt ϕ : K K K, ϕ, : = st ler. M schret für ds Vektorprodukt zweer Vektore, uch ud et es oft uch Kreuzprodukt. Ds Kreuzprodukt läßt sch ur eem dredmesole Rum erkläre. Ee lere Aldug st mmer ee Art Multplkto. E Sklrprodukt uf eem reelle Vektorrum st ee lere Aldug V V mt folgede Zustzegeschfte (wr schree desem Kotet mest <, > sttt ϕ (, ) ):, V : <, >=<, > (Smmetre) V : <, > 0, V : <, > = 0 gdw. = 0 (postve Defthet). Im eutzt m mest ds kosche Sklrprodukt <, > : = E Sklrprodukt <, > defert türlcher Wese ee Norm durch : = <, >. We m für dese Norm de Dreecksuglechug + + chwese möchte, eötgt m de Cuch-Schwrzsche Uglechug:, V : <, >, uf de wr weter ute zurückkomme. Es st d ämlch + =< +, + >=<, > + <, > + <, > + <, > + ( ) + + = + Ht m m ürge ee Norm uf eem Vektorrum, so durch d(, ) : = ee Metrk. E Vektorrum mt Sklrprodukt st lso utomtsch e metrscher Rum. Ds kosche Sklrprodukt m führt de zur us ekte eukldsche Metrk. Wr emühe us u um ee geometrsche Deutug des kosche Sklrprodukts m : =

2 =, =, <, > : = = Im Spezlfll = hdelt es sch um de gewöhlche Multplkto reeller Zhle. Zuächst st : = <, > = de eukldsche Läge des Vektors, zw. der Astd = des Puktes vom Nullpukt. Des seht m sofort m = = + De llgemee Fll üerlegt m etzt durch Idukto: Wr schree de Vektor + ls Lerkomto + + = = e + e = + z + ezüglch der kosche Bss e, e, e + des. Dese Zerlegug terpretere wr ls rechtwklges Dreeck mt de Kthete,z ud der Hpoteuse. Dmt st weder ch Pthgors = + z. köe wr ls Vektor m Iduktosvorussetzug = ud offeschtlch st = M mche sch dese Üerlegug zuächst für de klr. uffsse, dher st ch z = +, somt =. + = Als ächstes wolle wr feststelle, dß ds Sklrprodukt <, > zweer eleger vo Null verschedeer Vektore des geu d 0 st, we de Vektore ufeder sekrecht stehe. Betrchte wr dzu ds durch z = + gegeee Dreeck. De köe wr dvo usgehe, dß, ler uhägg sd, d sost = λ wäre mt λ, λ 0 ud <, >=<, λ >= λ <, > 0. Zwe vo Null verschedee Vektore, de ler hägg sd, stehe lso cht ufeder sekrecht ud hr Sklrprodukt st cht 0.

3 We wr u ehme, dß ud ufeder sekrecht stehe, st ds durch,,z gegeee Dreeck rechtwklg, ud es glt der Stz des Pthgors: z = +. Aderersets st uch z = + =< +, + >=<, > + <, > + < z, z >= + + <, >, lso verschwdet ds Sklrprodukt <, >. M seht glechzetg umgekehrt, dß us dem Verschwde des Sklrprodukts de Glechug dß ds durch,,z gegeee Dreeck rechtwklg st. z = + folgt, ws wederum heßt, E Ehetsvektor m st deftosgemäß e Vektor der Läge. De kosche Bssvektore des sd desem Se sämtlch Ehetsvektore, ud se stehe ufeder sekrecht. Versuche wr ls ächstes, ds Sklrprodukt <, > zu terpretere, we e Vektor der Läge ud e eleger vo ler uhägger Vektor des st. λ λ, = Zuächst psse wr de Läge vo durch Multplkto mt eem Sklr λ so, dß der Vektor λ sekrecht uf steht, dß lso 0 =<, λ > Des st scher möglch, de wr köe λ so ereche: 0 =<, λ >=<, > λ <, >=<, > λ ergt λ =<, >.

4 Wr he lso e rechtwklges Dreeck mt de Kthete λ, λ ud der Hpotheuse. M echte, dß m Flle, dß λ < 0, de Rchtug vo so umgekehrt wrd, dß der Wkel zwsche λ ud sptz wrd, we es sch für e rechtwklges Dreeck gehört. De Dreeckssete λ ht de Läge λ = λ = λ = <, >. Dmt st lso <, > de Läge der Proekto vo uf de durch gegeee Gerde. Desele Üerleguge führe umttelr zur Cuch-Schwrzsche Uglechug, de her ledglch esgt, dß de Läge der Proekto vo uf de durch gegeee Gerde scher cht größer ls de Läge vo selst st. Rechersch ergt sch ds so: für de Vektor λ glt: 0 λ =< λ, λ >=<, > λ <, > + λ <, >= + λ λ <, > lso mt λ =<, > : (*) <, > 0 <, > + <, > (m echte = ), lso Ee elege Vektor uglech Null k m uf Ehetsläge ormere, dem m de Vektor : = ldet, der de gleche Rchtug estzt we, er ee de Läge. Jetzt rechet m <, > =<, >= <, >, wel wege (*) <, > glt. Igesmt he wr dmt erhlte de Cuch-Schwrz Uglechug :, < > M üerlegt lecht, dß Glechhet geu d glt, we, ler hägg sd. Deser Bewes der Cuch-Schwrzsche Uglechug glt türlch eem elege Vektorrum mt Sklrprodukt ud cht ur m. Als klee Awedug der Cuch-Schwrzsche Uglechug zege wr och ee wchtge Uglechug für de eukldsche Mtrorm: Für reelle ee reelle m Mtr A = ( ) m defere wr de eukldsche Norm durch A m : =. Dmt wrd der Mtrzerum ( ) zu eem ormerte Vektorrum. = = M m Wchtg ud teresst st u de folgede Verträglchket vo Mtrzeprodukt ud Norm: Ist A ee reelle Mtr mt m Zele ud Splte, B mt Zele ud k Splte, so läßt sch ektlch ds Mtrzeprodukt AB=C lde, woe C m Zele ud k Splte estzt ud

5 für de Koeffzete vo C glt c = ll. Ausgehed vo der Cuch-Schwrzsche l= Uglechug läßt sch durch ee reltv efche Rechug zege, dß AB A B zw. AB A B (mt letzterem Ausdruck läßt sch mest lechter reche, wel er kee Wurzel ethält): Dzu st es ützlch, sch de Mtr A ls Splte vorzustelle: A =, woe m = (,, ) de -te Zele vo A st, ud B ls Zele (,, k B = ) mt = ls - ter Splte vo B. Ds Mtrzeprodukt AB schret sch d türlcher Wese k k (,, ) = = AB, woe de Produkte gz orml ls Zele m m m k ml Splte terpreterr sd, oder ls Sklrprodukt des trspoerte Vektors = mt dem Vektor =. Jedeflls ht m =<, >= ll = c ud l= erhält somt m k m k m k, m k AB = C = c = < > = = = = = = = = = = m k l l = A B = l= = l= De Uglechug der Mtte st gerde de Cuch-Schwrz-Uglechug für de Sklrprodukte <, >. Isgesmt he wr lso: AB A B oder ch Wurzelzehe AB A B. Als Spezlfll ergt sch für ee Vektor Splte ufgefßt werde k: A A. =, der ls Mtr mt -Zele ud eer