2.2 Rangkorrelation nach Spearman

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1 . Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable X, X,..., X (de vertelt sd we X) ud de zwete Daterehe besteht aalog aus de Realseruge y, y,..., y der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable Y, Y,..., Y (de vertelt sd we Y). Her geügt es, we das Dateveau mdestes ordal st. Auf der Bass des Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma ka ma ee Test mt de folgede Hypothese durchführe: H 0 : De Zufallsvarable X ud Y sd uabhägg gege H : De Zufallsvarable X ud Y sd abhägg Wr komme zu userem Bespel: v v ,7 4,3,7 3 5, 5 De Output erhalte Se, we Se auf de Butto Zusammehäge utersuche klcke, wobe Se zuvor de Varable v ud v uter desem Meüpukt auswähle müsse. Daach köe Se Ragkorrelato ach Spearma wähle. Sete 8

2 Der Ragkorrelato ach Spearma Her sd de egegebee Date zu sehe: Spalte (x ) Rag(x ) Spalte (y ) Rag(y ) Stchprobeumfag 5 Korrelatoskoeffzet vo Spearma Prüfgröße d (Hotellg-Pabst-Statstk).5 E(D) 7.5 Var(D) 76 p-wert (approxmert () ) () Approxmerter p-wert für > 0. Der Korrelatoskoeffzet ach Spearma wrd we folgt berechet: Es werde für bede Daterehe separat Ragzahle vergebe. Daach wrd mt dese Ragzahle der Korrelatoskoeffzet ach Pearso berechet. Zur Durchführug des Tests ka astelle des Korrelatoskoeffzete ach Spearma auch de Hotellg-Pabst-Statstk verwedet werde, de etwas efacher über de Ragzahle berechet werde ka, we wr ute sehe werde. Sete 8

3 De Ragzahle für de erste Varable sd: 3,5, 3,5,,, 5 Für de zwete Varable: 4, 4,,, 4 Wr bereche de mttlere Rag, der für bede Varable glech st: r Rag(x ) Rag(y ) Der Korrelatoskoeffzet ach Spearma ergbt sch da durch: r S (Rag(x ) r)(rag(y (Rag(x ) r) ) r) (Rag(y ) r) Im Bespel st r = 3. Da der Ragkorrelatoskoeffzet ach Spearma m Bespel mt eem Wert vo r s = 0, recht groß st (deser ka Werte zwsche - ud aehme), lässt des ee postve Korrelato vermute. De Hotellg-Pabst-Statstk st gegebe durch: d (Rag(x ) Rag(y )) Im Bespel st d =,5. d wrd oft als Prüfgröße für de Test auf Korrelato verwedet. Sete 83

4 Es glt: E(D) ( )( ) / 6 Im Bespel glt: E(D) = 7,5 k )(s ) s k t s (s )(t ) De Werte s sd de absolute Häufgkete der Wert x (sehe Kaptel.5). I desem Bespel kommt de,7 ud 3,7 efach, de 4 doppelt ud de 5. efach vor. Somt st k s = 4, s =, s =, s 3 = ud s 4 =. De Werte t sd aalog de absolute Häufgkete der Wert y. I desem Bespel kommt de 3 ud de 4.3 efach ud de 5 drefach vor. Somt st k t = 3, t =, t = ud t 3 = 3. Es trete somt Bduge (mehrfach vorkommede Werte be eer Varable) auf. Komme alle Werte ur efach vor (be eer Varable), so etfalle de bede letzte Summade ud E(D) ( )( ) / 6. t (t Var(D) ( ( )( ) 3 k )(s ) s k t s (s Im Bespel glt: Var(D) = 76 / 36) 3 t (t )(t Nu ka de Prüfgröße z berechet werde, de Realserug eer asymptotsch stadardormalvertelte Zufallsvarable Z st: ) z d E(D) Var(D) Der approxmatve p-wert = (-F N(0,) ( z )). Im Output zum Bespel wrd herfür 0,0665 ausgegebe. Sete 84

5 We zu sehe st, köte de Nullhypothese der Uabhäggket auf eem Sgfkazveau vo 5% cht verworfe werde (de 0,0665 > 0,05), womt wr kee sgfkate Zusammehag zwsche de Messrehe achwese köe. Her sollte aber größer als 0 se. Be desem Stchprobeumfag sollt aber de exakte Vertelug verwedet werde. I Bücher (we z.b. [3], [8] ud [9]) fdet ma herzu Tabelle (falls kee Bduge vorhade sd, wobe ma dese auch Näherugswese verwede ka). Wolle wr u de exakte Vertelug zu desem Test bestmme. Dazu müsse für alle möglche Permutatoe der Ragzahle der Stchprobe de Prüfgröße d berechet werde. Es gbt her m Bespel also! 5! 60 t!... t!! k t Möglchkete, we wr de Ragzahle der erste Stchprobe permutere ud! s!... s k s 5! 0! 3! Möglchkete, we wr de Ragzahle der zwete Stchprobe permutere. Wr beötge also weger Recheschrtte be der Permutato der zwete Stchprobe. Somt gbt es 0 möglche Ragzahlekombatoe um r s oder d zu bereche. Es folge de möglche Werte für de Spearma-Ragkorrelatoskoeffzete ud daruter möglche Werte für d m Bespel mt de dazugehörge (absolute) Häufgkete be eer Permutato der Ragzahle der zwete Telstchprobe. Sete 85

6 r S Häufgket -0, , , , ,946-0,4708 0, , , , , ,97663 d Häufgket,5 3,6 7,5,5 3,5 3 6,5 9,5,5,5 5,5 8,5 3,5 We wr us etzt och de zugehörge Dchte ausgebe lasse, köe wr ahad deser drekt erkee, zu welchem wr de Nullhypothese verwerfe köe oder aber auch cht. Dafür tele wr ewels de obere Häufgkete der Prüfgröße durch de Summe aller Häufgkete (also durch 0). Sete 86

7 d P(D = d) P(D d),5 0,05 0,05 3,5 0,05 0, 7,5 0, 0,,5 0, 0,3 3,5 0,5 0,45 6,5 0, 0,55 9,5 0,05 0,6,5 0,05 0,65,5 0, 0,75 5,5 0,05 0,8 8,5 0, 0,9 3,5 0, Bevor wr allerdgs zur Bewertug komme, wolle wr us grafsch veraschaulche, wewet sch de Normalvertelug a usere exakte Vertelug (ute als Treppefukto zu sehe, wobe de sekrechte Strche cht zur Fukto gehöre) aähert Sete 87

8 Wr habe weter obe ee Prüfgröße vo d =,5 berechet. Es glt P(D,5) = /0. P(D,5) =. Der zwesetge p-werte wäre damt P(D,5) = /0 = 0%. Somt köte ma de Nullhypothese erst auf eem Sgfkazveau vo 0% verwerfe. Umsetzug mt SAS: data dat; put x y; datales; ru; proc prt data=dat; proc corr data = dat ocorr spearma; var x y; ru; Sete 88

9 SAS-Output zur Prozedur CORR: De Prozedure CORR Varable: x y Efache Statstke Varable N Mttelwert Std.abwechug Meda Mmum Maxmum x y Spearmasche Korrelatoskoeffzete, N = 5 Prob > r uter H0: Rho=0 x y x y SAS berechet her ee adere p-wert über: p-wert = (- t ( t )) mt F t r ( ) s rs ud Ft als Vertelugsfukto der t-vertelug mt - Frehetsgrade. Sete 89