Sitzplatzreservierungsproblem

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1 tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche zuüftge Bestelluge für de tzplätze egehe werde, st des e ole Algorthmus. Be de folgede Utersuchuge ehme wr a, dass e Zug mt tzplätze vo eem tartbahhof zu eer Edstato fährt ud a telle lusve tart- ud Edstato hält. Der tartbahhof st, der Zelbahhof st. De tzplätze sd vo bs durchumerert. Reserveruge öe vor jeder Rese vo eer tartstato s bs zu eer Edstato t mt s<t vorgeomme werde. Der Resede beommt ee ezele tzplatzummer zugewese, we er das Tcet auft bzw. bestellt. Des a zu jeder Zet vor der Abfahrt vo seem tartbahhof geschehe. De Algorthme versuche, de Erlös zu maxmere, d.h. de umme der Prese der veraufte Tcets. Dabe hägt de performace vo der Prespolt ab. De Koste solle be userer Betrachtug ee Rollespele. Es gbt zum ee das ut-prce-problem, be dem alle Tcets uabhägg vo der Läge der Rese de gleche Pres habe ud zum adere das proportoal prce problem, be dem der Pres des Tcets proportoal zur Resestrece st. Im Rahme deser Arbet beschräe wr us auf das ut-prce-problem. Zusätzlch defere wr de accommodatg rato, de ählch zur compettve rato st, ur dass sch dese auf de optmale offle Algorthmus bezeht, der de gesamte Nachfrage ach tzplätze bedee a. C-accommodatg heßt also, dass e ole Algorthmus ee Bruchtel c vom möglche Gesamteomme des offle Algorthmus erwrtschaftet. De Aahme, dass es geüged tzplätze für de optmale aehmbare offle Algorthmus gbt, st ur da gültg, we das Maagemet ee verüftge Vorhersage über de Tcetachfrage gemacht hat ud ee etsprechede Azahl a Waggos beretstellt. De Dchte zwsche eer tato s ud s beschrebt de Azahl der Persoe, de zwsche dese mt dem Zug rese wolle. Im Folgede wrd de Dchte leer glech gesetzt. We e Kude versucht, e Tcet zu bestelle, darf deser aus poltsche Grüde cht vom Tcetaget zurücgewese werde, falls es möglch st, h uterzubrge. Falls e tz de gaze Fahrt über fre st, muss dem Kude e tzplatz zugewese werde. Dese

2 Egeschaft des Algorthmus wrd als far bezechet. Im folgede werde ur fare Algorthme betrachtet. Das ut prce problem offle etsprcht dem Itervallgraphfärbeproblem offle, da jedes Tcet de selbe Pres uabhägg vo der Wegläge hat. De Wegstrece vo der tartstato bs zur Edstato etsprcht dem Gesamttervall. De Resestrece ees Passagers etsprcht eem Teltervall. Zum Färbe braucht ma da so vele Farbe we Teltervalle übereader lege. Im Bespel Abb. sd des dre Teltervalle. De Itervallgraphfärbug ole st durch de Aweduge der dyamsche pecherplatzzuwesug gut erforscht. Kerstead ud Trotter habe herausgefude, dass es ee ole Algorthmus gbt, so dass AG XG glt, wobe XG de Azahl der Farbe sd, de e offle Algorthmus beötgt, ud AG de Azahl der Farbe, de e ole Algorthmus beötgt, um G zu färbe. Auf das ole Tcetproblem bezoge bedeutet des, dass der Zug dremal mehr tzplätze habe müsste als be eer Bearbetug mt eem optmale offle Algorthmus. Dese sd jedoch fest vorgegebe. Außerdem geht ma bem ole Graphfärbe vo eer Velzahl vo uterschedlche Edpute aus, bem tzplatzreservere sd de Azahl der Bahhöfe aber vorgegebe. atz : Jeder och so dumme fare, determstsche ole Algorthmus für das ut-prce-problem st mdestes ½- accommodatg. Für de Bewes a ma jede tzplatzostellato Betracht zehe, de der optmale fare offle Algorthmus bedee a. Dabe se de Mege aller tzplatzzuwesuge, de durch ee fare ole Algorthmus bedet werde ote, ud U de Mege aller ubesetzte tzplätze. De Idutosbewesdee st u de, dass ma zege muss, dass es mdestes geau so vele Itervalle we U gbt, dem ma jedem Itervall U e bestmmtes Itervall zuwest. Dazu wrd de Mege defert, de zu Beg glech st, aber durch de folgede Prozess abgeädert wrd. De Itervalle aus U werde de tartpute ach sortert ud bearbetet. Wurde e Itervall bearbetet, so wrd es aus U etfert, eem Itervall aus zugewese ud ädere damt e Itervall um. De

3 folgede Ivarate wrd u fortgeführt. Da der Algorthmus far st, a ees der Itervalle aus U egefügt werde, aber alle Itervalle aus U ud öte durch ee optmale offle Algorthmus ach Defto vo U ud utergebracht werde. Der Idutosschrtt sd u we folgt aus. Für e gegebees Itervall I U muss e freer tzplatz vo der tartstato bs zur zumdest ächste tato gefude werde öe, de der optmale offle Algorthmus öte alle tzplatzafrage bedee. Durch de Ivarate a I e Platz zugewese werde. Demach muss e Itervall J dem tzplatz zugewese werde, das I überschedet. I wrd u J zugewese ud aus U etfert. J wrd auf desem Platz durche Itervall K ersetzt, das so groß st, we mometa vo I J auf de tzplatz passe. Alle Itervalle, de jetzt ethalte sd ud alle ubesetzte Itervalle U öte durch de optmale offle Algorthmus utergebracht werde, da deser Vorgag cht de Dchte erhöhe a. Außerdem wurde expadert, so dass ees der verblebede Itervalle aus U passe wrd. Deser Vorgag a wederholt werde. De geordete Rehefolge stellt scher, dass jedem Itervall IU e bestmmtes Itervall zugewese wrd. Daher st jeder ole Algorthmus mdestes ½-accommodatg. atz : De Accommodatg Rato für Frst-Ft ud Best-Ft sd für das ut-prce-problem cht besser als ud 4 mod uter der Aahme, dass 4 Wr ehme a, dass durch telbar st ud tele de Azahl der tzplätze dre glech große Tele e. Es omme acheader ver verschedee Afragesequeze a.. Zuächst omme / Afrage für das Itervall [, ], da für s = 0,,..., -0/ gbt es / Afrage für de Itervalle [s 4, s 8].. Am Afag omme / Afrage für das Itervall [, 4], daach für s =,,..., - 4/ werde de Itervalle [s, s 4] achgefragt.. Auf de letzte / Plätze omme de Afrage für s = 0,,..., -0/ auf de Itervalle [s, s ], da Frst-Ft dese cht auf de erste bede / tzplätze uterbrge a.

4 4. Für s = 0,,..., -8/ omme de Afrage für de Itervalle [s, s ]. Dese öe u cht mehr vo Frst-Ft utergebracht werde, da e tzplatz für mehr als zwe tatoe ubelegt st ud ee Lüce a eem Bahhof mt eer ugerade Nummer fre wrd. Für de obe beschrebee Abfolgesequeze mache Frst-Ft ud Best-Ft de gleche Belegugspla. 4 Da Frst-Ft Afrage bedet, der optmale offle Algorthmus aber 4, st de accommodatg rato cht besser als. atz : Ke determstscher farer ole Algorthmus st mehr als 8 9 -accommodatg, we durch 0 5 telbar st. e durch zwe telbar. Es omme da mmer / Afrage für de Itervalle [s, s ] mt s = 0,,..., -/. Es wrd ageomme, dass der fare ole Algorthmus dese */ Itervalle so aordet, dass es ach dese Afrage geau q tzplätze gbt, de bede Itervalle [, ] ud [4, ] mt = 0,,..., -/ ethalte. Da gbt es geau q de vo tato bs tato 5 fre sd. Der Bewes uterschedet Fälle:. q /0 Nu werde / Afrage für das Itervall vo [, 5] achgefragt. Der Algorthmus wrd q Afrage bedee öe, der optmale offle Algorthmus a allerdgs alle bedee.

5 . q > /0 I desem Fall omme / Afrage für de Itervalle vo [, 4] ud / Afrage für das Itervall [, 5]. Der ole Algorthmus a -q Afrage bedee, der optmale offle Algorthmus öte aber weder alle Afrage bedee. e de Mege der Idzes, dee Fall zutrfft, ud de Mege aller Idzes, dee Fall zutrfft. q q = = 0 7 0