Allgemeine Prinzipien

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1 Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege [mol] Lchtstärke [cd] Oft st es wchtg, verschedee Größe eader umzureche; dafür spele folgede Vorslbe ee große Rolle: Tera (T) 10 Pko (p) Gga (G) 10 Nao () Mega (M) 10 Mkro (µ) Klo (k) 10 Mll (m) - 10 Hekto (h) 10 Zet (c) Deka (da) 10 Dez (d)

2 Umrechuge Sehr wchtg (u.a. für das Praktkum) wäre mr auch, daß Ihr der Lage sed efache Umrechuge durchzuführe...ud das sowohl eer (z.b. Geschwdgkete) we auch zwe (Fläche) ud dre (Volume) Ebee... Ausgewählte Bespele: Wevel Meter sd 50 µm? 50 km/h st m/s wevel? Wevel m etspreche 80 dm? 3 Wevel m sd 0 Lter? 3 Ee Dchte vo 1 kg/m etprcht wevel g/ml?

3 Meßwerte: Wchtges zur Fehlerrechug (1) Nährugswerte erhalb ees Berechs, d.h. Meßwerte streue um ee Mttelwert. a) Systematsche Fehler: Falsche Echug Falsche Versuchsbedguge Abwechug mmer der gleche Rchtug b) Zufällge Fehler: Ablesefehler Bespel: Lägemessug mt "Geo"-Dreeck Zehtel-Mllmeter müsse geschätzt werde! Läge l [mm] Mttelwert: 4.3 Abwechug vom Mttelwert: Mttlerer Fehler: 0.4:5 = 0.08 l = 4.3 +/ mm (mttlerer absoluter Fehler)

4 Wchtges zur Fehlerrechug () Mttlerer rel. Fehler = mttlerer abs. Fehler Mttelwert = 0.08 = = 0.33% Σ ( ) Σ ( - ) =1 =1 m = = (-1) (-1) = ( ) 5(5-1) (m) Gauß sche Normalvertelug +/- m : 68.3% der Pukte lege m Itervall +/- m : 95.4% der Pukte lege m Itervall +/- 3 m : 99.7% der Pukte lege m Itervall

5 Ermttlug eer "Ausglechsgerade" y-werte Werte Werte streue um ee bestmmte "Ausglechsgerade" We berechet der z.b. Tascherecher ee solche "Ausglechsgerade", we ma hm verschedee y-wertepaare egbt?

6 Das Zustadekomme der Ausglechsgerade st kee Heere! y=m+b Σ = (y - m -b) =1 = Stegug b = y-achseabschtt soll mmal werde! Für de Mttelwerte glt: 1 1 = Σ y = Σ y =1 =1 Da ergbt sch: y-y=m(-) De Geradestegug m berechet sch mt: m= Σ y-y =1 Σ - =1 ρ (,y) = Σ y-y =1 Σ - =1 Σ y -y =1 Güte der Ausglechsgerade

7 Das Zustadekomme der Ausglechsgerade st kee Heere! Summe =17.7 m= y y y= y= 369 = Σ y-y =1 Σ - = y = ( ) = y = y = y-y=m(-)

8 De Fehlerbetrachtug sagt etwas darüber aus mt welcher Geaugket ma Meßwerte agebe sollte bzw. darf! z.b. Geaugket vo Zetagabe E Körper bewegt sch 3s über 10 cm. 10 cm v= = s We ca. 1% Fehler, da: v = (3.33 +/- 0.03) cm/s Addto vo Geschwdgkete: v = 3.33 cm/s v' = cm/s Wevele Stelle agebe?? v + v' = ~ 454 cm/s E Studet bestmmt mt eer Stoppuhr ee Zet auf 1/10 s geau. We oft muß er messe, damt er Nachkommastelle agebe darf? Fehler des Mttelwertes = (1/100 s) = 1/10 s = (1/100 s) σ (1/10 s) =10 =100

9 Fehlerfortpflazug...ch weß, daß sch das sehr komplzert ahört!! Fehlerfortpflazug: - gesuchte Größe ergbt sch oft aus Formel, de sch aus mehrere Meßgröße zusammesetzt; we de Meßgröße ( s,t,...,y,z) selbst, hat auch der Ergebswert X e bestmmtes Fehlertervall X = f (s,t,...,y,z) - für hreched klee Dffereze (mest gegebe be Probleme der Fehlerrechug läßt sch Dfferezquotet X/ durch de etsprechede Dfferetalquotete aäher X dx ~ = f`() ----> X d ~ f () für ee Varable - be Abhäggket vo mehrere Varable wrd og. Ausdruck durch partelle Abletuge erwetert Fehlerfortpflazugsgesetz für Mamalfehler δx δx δx X = + y + z δ δy δz glt ur uter der Aahme, daß de Meßfehler, y, z voeader uabhägg sd

10 Eplztes Bespel: Wderstadsmessug Durch de Messuge der Spauge U0bzw. U a (Uamt Arbetswderstad R a) st der Iewderstad eer Spaugsquelle zu bestmme ud der Fehler R zu ermttel!,q R,Q R a I I U = U + IR 0 a, Q I= U0 R + R a, Q U a R =, Q R a U-U 0 a U a U = 5.98 V U = 0.01 V U = 0.71 V U = 0.01 V 0 0 a a R = 100 Ω R = Ω R = 79 Ω R = 0.3 Ω a a, Q, Q R =, Q 5.89 V V 100 Ω 0.71V = 79 Ω U0 - Ua Ra R, Q = R a + U + U U a a RU a 0 U 0 U a a R, Q = Ω Ω Ω = 0.3 Ω

11 Oftmals ka ma sch solche Rechuge aber auch e bßche efacher mache... a) Summe b a a)mm<a<4mm b)17mm<b<18mm Halber Umfag: s =U/ = a + b +17<s< <s<4 s = 1mm mm (a+b)= a+ b b) Dffereze: Um wevel st das Rechteck breter als hoch? (a-b)mm? (a-b) = a + b Für das Rechteck glt da: 4mm<a-b<7mm Vorscht, we zwe klee Werte voeader abgezoge werde (Fehler mest sehr groß!).

12 ( Oftmals ka ma sch solche Rechuge aber auch e bßche efacher mache... c) Produkte: 17 <A< mm < A < 43 mm Absoluter Fehler: 9 mm Relatver Fehler: 9/403 =0.070 ~ = (1/ /17.5) Be Produkte addere sch de ezele, relatve Fehler! Bespel: Volume ees Quaders b a a)mm<a<4mm b)17mm<b<18mm V =V ( V = 5174 ( y + + y z z ( c b a V = 5174 ( ) V = / ~ 1.8 % Mamaler Fehler!

13 Bespel: Volume ees Zylders V= π r h De Berechug des Volumes st somt mt Fehler behaftet, de vo der Messug des Radus r ( r) bzw. der Höhe h ( h) herrühre! V ± V = π (r ± r ) (h ± h) Ausmultlzere lefert da: V ± V = π [r h ± rh r ± r h + h( r) ± r r h ± ( r) h] = π r h ± πrh r ± πr h V=πrh r+ πr h De gleche Bezehug erhält ma durch partelle Dfferetato der Formel: V V V = r + h r h V r = π r h V h = r π V=πrh r+ πr h

14 We ka ma Beschleuguge messe? Ma macht das folgede Epermet, d.h. ma varert de Strecke ud bestmmt de Zet, we lage der Wage dazu braucht Kee leare Abhäggket Beschleugug hägt cht lear vom Weg ab!

15 Noch e Bespel zur Fehlerrechug... Bespel: Bestmmug vo Beschleuguge (a) t s s m s/t = C m/s v m/s a = v/t m/s Aahme: Zete köe auf hudertstel Sekude ud Wege auf Tausedstel Meter geau bestmmt werde. Da glt für de relatve Fehler: Für de Kostate C = s/t glt da (we ma ammt, daß sch be de Fehler vo Produkte de relatve Fehler addere): Das heßt, daß C auf 8.6 Promlle geau bestmmt wrd, was wederum heßt, daß C glech ± st, d.h. zwsche ud legt. Für kleere Meßwerte werde aber de relatve Fehler größer!!

16 Messe ud Meßfehler - Ee kurze ud vellecht (?) verstädlche Zusammefassug

17 Messe ud Fehler Meßgröße X: wahrer Wert X 0 Meßwert (der -te Messug) Meßfehler (Abwechug) X X = X - X 0 Meßfehler = Dfferez zwsche Meßwert ud (grudsätzlch ubekatem) wahre Wert der zu messede Größe systematsche Fehler: przpelle Fehler des Meßverfahres oder Meßstrumets (z.b. Echfehler, Estell- ud Abglechfehler) zufällge (stochastsche) Fehler: ---> reproduzerbar, durch geegete Versuchsplaug mmerbar Bsp.: Mllmeterpaper, Multmeter (Klassezeche des Herstellers gbt Istrumetefehler Prozet des Skaleedwertes a) zufällge Fehler sd a Streuug der Meßwerte erkebar z.b. Ablesefehler, Parallaefehler (Spegelskale!) Bsp.: Messug des Durchmessers vo Erythrozyte -5 (d ca. 10 m = 10 µm) Stchprobe Wertetabelle [µm] ,5 7,9 7,6 8, 7,4 8,0 8,0 7,9 7,6 7,7 7, 7,5 Mttelwert (arthm. Mttel) <>= 1 Σ =1 <> = 9,5 /1 = 7,71µm = bester Schätzwert des ubekate wahre Wertes

18 Defto vo Fehler Mamalfehler absolute Fehler - <<+ mttlerer Fehler m + m - absolute Fehler bestze de gleche Ehet we der zugehörge Meßwert relatve Fehler rel. Mamalfehler rel. mttl. Fehler ---> oft Prozet agegebe 100% m m ---> 100% - relatve Fehler bestze kee Ehet (bzw. werde Prozet agegebe) Ermttlug des Meßfehlers aus Fehlerursache - beeflusse k uabhägge Fehlerursache de Meßwert, berechet sch der absolute Gesamtfehler aus de ezele Fehleratele ( = 1-k) efache Summato der k = k = Σ =1 Mamalfehler - Summato mttlerer Fehler m erfolgt durch quadratsche Addto der ezele Atele m k 1 k =1 m = m + m m = Σ m m = k Σ =1 m - de Telfehler bzw m ergebe sch aus Geräteagabe, Schätzuge bzw. Be zufällge Fehler über größere Azahl vo Ezelmessuge

19 zur Ererug : 1 Mttelwert <> = Σ =1 - bester Schätzwert des wahre Wertes - Voraussetzug für see Awedug st de Durchführug der Ezelmessuge uter äquvalete Bedguge! We zuverlässg st e Mttelwert? - Zuverlässgket - stegt mt Azahl der Ezelmessuge - fällt mt Größe der Streuug - zur Abschätzug der Zuverlässgket beötgt ma e "Streumaß" Σ ( - <>) cht geeget, da deftosgemäß = 0 Σ ( Varaz S - <>) = -1 (-1, da mdestes Meßwerte ötg, um Mttelwert zu erreche) -mttlerer Fehler m des Mttelwertes wrd durch Streuug s des Mttelwertes geschätzt Stadardabwechug (Streuug) für Stchprobe S = Σ ( - <>) -1 für --> σ (Streuug für "Grudgesamthet") - Streuug s etsprcht der mttlere Abwechug der Ezelmessug vom arthmetsche Mttel der Stchprobe - läßt sch für jede Meßrehe agebe, hat aber ur zuverlässge Bedeutug, we de Meßwerte re zufällg streue - Defto der Streuug legt Gaussches Ausglechsprzp zugrude d.h., das Mttel st so zu wähle, daß de Summe der quadratsche Abwechuge vom Mttel e Mmum wrd!

20 - zufällge Streuug der Meßwerte st erkebar a Normalvertelug (Gauß-Vertelug) um de Mttelwert - be Normalvertelug lege 68% der Meßwerte erhalb vo Itervall <> -s ud <> +s ζ = 1 πσ (-(-<>) ) ep σ ζ() <> Stadardfehler des Mttelwertes (Maß für Zuverlässgket des Mttelwertes) ---> S <> = s - be ormalvertelte Meßwerte legt <> mt eer Wahrschelchket vo 68% cht weter als ee Stadardfehler S<> vom wahre Mttelwert etfert Stadardfehler (Stadardabwechug) des Mttelwertes wrd als Schätzwert des zufällge Meßfehlers verwedet Bsp.: Erythrozyte - Stadardfehler S<> ~ 1 s = 0,0864 µm (Varaz) s = 0,94 µm (Stadardabwechug) s<> = 0,0849 µm (Stadardfehler) aber : Aufwad wächst quadratsch! - be streuede Meßwerte sollte mmer Stadardfehler agegebe werde! (z.b. Form vo Fehlerbalke) Bsp.: Erythrozyte mttlerer Durchmesser = 7,71 µm + 0,09 µm <> + S<>

21 - be Agabe vo + m legt Wert mt 95% ger Wahrschelchket m agegebee Itervall (oft etsprcht m dem MAXIMALFEHLER ) Fehlerfortpflazug: - gesuchte Größe ergbt sch oft aus Formel, de sch aus mehrere Meßgröße zusammesetzt; we de Meßgröße ( s,t,...,y,z) selbst, hat auch der Ergebswert X e bestmmtes Fehlertervall X = f (s,t,...,y,z) - um zu eer efache Berechugsvorschrft für de Ergebsfehler zu gelage, werde de Fehler als Dffereze m Se der Dfferetalrechug betrachtet - für hreched klee Dffereze (mest gegebe be Probleme der Fehlerrechug läßt sch Dfferezquotet X/ durch de etsprechede Dfferetalquotete aäher X dx ~ = f`() ----> X d ~ f () für ee Varable - be Abhäggket vo mehrere Varable wrd og. Ausdruck durch partelle Abletuge erwetert Fehlerfortpflazugsgesetz für Mamalfehler δx δx δx X = + y + z δ δy δz glt ur uter der Aahme, daß de Meßfehler, y, z voeader uabhägg sd - auf der rechte Sete muß u.u. och e systematscher Fehler der Formel X = f (s,t,...,y,z) addert werde z.b. Versuch zur Brewetebestmmug vo Lse; Formel st ur ageähert ud mt systematschem Fehler behaftet ( ) f = 1 - f l h ; h... Lsedcke f ~ s (l-s ) M M l

22 - der mttlere Ergebsfehler m vo X berechet sch ach dem Gauß sche Fehlerfortpflazugsgesetz ( ) δx m δx δx = ( m + m + δ) δy ( y δz) m z Soderfälle ud Verefachuge - für de Fall, daß f(,y,z) ee Summe oder Dfferez st, addere sch de absolute Meßfehler zum absolute Ergebsfehler X= + y+...+ z Bsp.: X=+y-z ---> X = + y + z - hat f (,y,...,z) de allgemee Form ees Potezproduktes α β γ X = y...z ( α,β,γ belebg postv oder egatv), da addere sch de mt de Epoete multplzerte relatve Fehler zum relatve Fehler des Ergebsses X X y = α + β γ y z z Bespele 3 X = y/z ----> X X y = y 3 z z - für Poteze, Produkte ud Quotete aus Fuktoe, de de Meßwerte ethalte, wrd Rechug oftmals erlechtert, we der relatve Fehler umttelbar ach y- fürx= z > Y = X X ----> X X wrdy=lx=l(y-)-l(z-) X X = y-z (y-)(z-) = lx= Y 1 + y + y- 1 z- z