2. Zusammenhangsanalysen: Korrelation und Regression

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1 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Dowloads zur Vorlesug 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2

2 Grudbegrffe zwedmesoale Stchprobe De Gewug vo mehrere Merkmale vo eer Beobachtugsehet führt zu mehrdmesoale Stchprobe. ur zwe Merkmale zwedmesoale Stchprobe Schrebwese (, ) (, ),( 2, 2),,(, ) Bespele Körpergröße () ud Gewcht () ph-wert () ud Sauerstoffsättgug () des Blutes Plaquede () ud Paplleblutugsde () 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 3 Bespel Ierhalb eer zahärztlche Stude wurde vo 24 zufällg ausgewählte Erwachsee sowohl = Plaquede (PI) als auch = Paplleblutugsde (PBI) bestmmt. Dabe wurde der PI zuächst pro Zah gemesse, dem jede Zahoberfläche 9 Segmete utertelt ud der mt Plaque befallee Oberflächeatel ach Afärbe regstrert wurde. Der PI war da der mttlere Atel über alle m Gebss vorhadee Zähe. Zur Bestmmug des PBI wurde mamal 4 7+2=30Iterdetalräume m Gebss mt Hlfe eer Sode auf Zahfleschblute utersucht. Der PBI war da der Atel der blutede Iterdetalräume pro Gebss. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 4 2

3 Bespel De Utersuchug ergab folgedes Resultat: Pat PI PBI Pat PI PBI Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 5 Grafke Streudagramme Streudagramme möglchst m Vorfeld weterer Aalse betrachte! 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 6 3

4 Streudagramm mt Regressosgerade korrekter Vorhersageberech! 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 7 Korrelato / Regresso Korrelatosaalse -Besteht Zusammehag zwsche zwe Merkmale ud? -Welcher Art st der Zusammehag? -Welche Stärke hat er? -We st er gerchtet? Regressosaalse -Bestmmug ees fuktoelle Zusammehags Wrkugsrchtug bekat / vorgegebe f ( ), abhägges Merkmal, uabhägges Merkmal -multple Regresso f,,, ) ( 2 m 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 8 4

5 Bespel Folgede Fragestelluge sd vo Iteresse:. Besteht e Zusammehag zwsche bede Beobachtugsmerkmale = PI ud = PBI ud we stark st deser Zusammehag? (Korrelatosaalse) 2. Lässt sch = PBI m Mttel aus = PI vorhersage? (Regressosaalse) 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 9 Korrelato Gbt es Zusammehäge? Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 0 5

6 Korrelato Korrelato -Bezehug zwsche mdestes zwe Merkmale -Abletug ees kausale Zusammehags auf Bass der Korrelatosaalse ur uter Kets der Wrkugsrchtug möglch -zusätzlches Problem: vorgetäuschte/vermttelte Korrelatoe verdeckte, cht mt erfasste Ursache Z Z 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso Korrelato Z Z Z vorgetäuscht / über vermttelt Z 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 6

7 Korrelato etwa kresförmg ukorrelert adere Eflüsse überwege etwa ellptsch mttel korrelert je größer, desto kleer etwa geradlg stark korrelert je größer, desto größer 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 3 Korrelato lear mooto je größer, desto größer chtlear mooto je größer, desto größer chtlear cht mooto Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 4 7

8 8 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 5 Korrelato gesucht: geegete Zusammehagsmaße - es estere verschedee Korrelatoskoeffzete gebe ee gewsse Aufschluss über de Abhäggketsgrad zweer Merkmale/Zufallsgröße Wederholug metrsches Merkmal : Varaz s s s 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 6 Korrelato metrsche Merkmale ud Stchprobevaraz vo Stchprobevaraz vo Stchprobekovaraz vo ud s 2 2 s 2 2 s

9 Korrelato Kovaraz vo ud Werteberech st gaze reelle Achse abhägg vo Varaz vo erfordert Normerug Varaz vo Stärke ud Rchtug des leare Zusammehags zwsche ud Maßkorrelatoskoeffzet ach Pearso r p s rp s s 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 7 Korrelato Maßkorrelatoskoeffzet ach Pearso r p -Werteberech st Itervall [-, ] -abhägg vo Stärke ud Rchtug des leare Zusammehags zwsche ud -dmesoslos -msst Grad des leare Zusammehags -r p = vollstädger learer Zusammehag, = a + b, a > 0 geau da we, de Pukte auf eer stegede Gerade lege -r p = - -vollstädger learer Zusammehag, = a + b, a < 0 -geau da we, de Pukte auf eer fallede Gerade lege 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 8 9

10 Korrelato Maßkorrelatoskoeffzet ach Pearso r p -r p ahe de Pukte häufe sch um ee (gedachte) stegede Gerade -r p ahe - de Pukte häufe sch um ee (gedachte) fallede Gerade -r p glech 0 Es besteht ke learer Zusammehag (Kausaltät offe). chtlearer Zusammehag ka trotzdem bestehe -r p st ebefalls Puktschätzwert uterlegt zufällge Schwakuge Estez vo Kofdeztervall ud Tests empfdlch gegeüber Ausreßer 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 9 Korrelato -0,07-0,69 0,99 0,99 0,76-0,08 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 20 0

11 Bestmmthetsmaß E beobachteter Zusammehag glt als: -schwach, falls: 0 < r p 0,3 -mttel, falls: 0,3 < r p 0,7 -stark, falls: 0,7 < r p Das Quadrat r² des Korrelatoskoeffzete r p heßt Bestmmthetsmaß. We de Wrkugsrchtug bekat st, gbt das Bestmmthetsmaß Auskuft darüber, we vel der Varaz der abhägge Größe () durch de Eflussgröße () erklärt werde ka. r² = 0,75: 75% der Varato vo werde durch erklärt; 25% werde durch adere (zufällge) Eflüsse verursacht. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 2 Korrelato Ragkorrelatoskoeffzet ach Spearma r s -Werteberech st Itervall [-, ] -abhägg vo Stärke ud Rchtug des mootoe Zusammehags zwsche, -dmesoslos -msst Grad des mootoe Zusammehags -berechebar für mdestes ordale Merkmale -formal Maßkorrelato auf der Bass der Ragzahle = (2, 7, 0,, 5, 4) = (3, 6,, 2, 5, 4) = (4, 49, 0,, 25, 6) = (3, 6,, 2, 5, 4) = 2 = Maßkorrelato < Maßkorrelato = Ragkorrelato = Ragkorrelato = 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 22

12 Korrelato -0,07-0,0-0,69-0,68 0,99 0,99 Maßkorrelato Ragkorrelato 0,99 0,99 0,76 0,97 mooto aber cht lear! 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 23-0,08 0,08 Maßkorrelato Ragkorrelato Korrelato Ragkorrelatoskoeffzet ach Spearma r s -r s ahe de Pukte häufe sch um ee mooto wachsede Fukto -r s ahe - de Pukte häufe sch um ee mooto fallede Fukto -r s glech 0 es besteht ke mootoer Zusammehag (Kausaltät offe). aderer chtlearer Zusammehag ka trotzdem bestehe -r s st ebefalls Puktschätzwert uterlegt zufällge Schwakuge Estez vo Kofdeztervall ud Tests relatv uempfdlch gegeüber Ausreßer 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 24 2

13 Korrelato omaler Merkmale Ph-Koeffzet ud mt je zwe Auspräguge Kotgeztafel Hstor of Dabetes at Basele * Hstor of Hperteso at Basele Kreuztabelle A, A bzw. B, B Azahl Hstor of Hperteso at Basele No es Gesamt Hstor of Dabetes No d 84 c at Basele es b 6 a Gesamt a d b c ( a b) ( c d) ( a c) ( b d) a: A ud B trete e d: weder A och B , Maßzahl für Stärke ud Rchtug des Zusammehages zwsche dem Etrete vo A ud B der Stchprobe 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 25 Korrelato omaler Merkmale Ph-Koeffzet ahe A trtt sehr häufg glechzetg mt B e ahe - A trtt sehr selte glechzetg mt B e ahe 0 Es besteht ke Zusammehag zwsche dem Etrete vo A ud B. -schwach, falls: 0 < 0,3 -mttel, falls: 0,3 < 0,7 -stark, falls: 0,7 < -Häufge Alteratve: Odds-Rato 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 26 3

14 Korrelato Überscht zur Korrelatosaalse Merkmalstpe vo ud Tabelle / Graphk Maßzahl metrsch Streudagramm r p, r s ordal mt vele möglche Werte appromatves Streudagramm r s omal oder ordal mt wege möglche Werte Kotgeztafel, or 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 27 Regresso Regresso -Bestmmug ees fuktoelle Zusammehags Wrkugsrchtug bekat / vorgegebe: f ( ), abhägges Merkmal (Wrkugsgröße), uabhägges Merkmal ( Eflussgröße) -a pror Aahme über Fuktostp -leare, quadratsche, epoetelle, logarthmsche Fukto -Fuktosbeschrebug mt (ubekate) Parameter a b, a b c, a 2 b -Zel: Bestmmug der Parameter auf Grudlage eer kokrete Stchprobe Mmerug ees geegete Fehlerkrterums c 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 28 4

15 Regresso leare Regresso Aahme: für jedes lässt sch E m Mttel durch ee leare Fukto a + b bereche: ( ( )) a b emprsche Regressosgerade Schätzug vo a ud b aus kokreter Stchprobe ˆ ( ) a ˆ bˆ Methode der kleste Quadrate 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 29 Leare Regresso Regressosaalse [kg] Modellvorstellug = a + b Asteg Offset Parameter a ud b müsse bestmmt werde [cm] 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 30 5

16 Leare Regresso Methode der kleste Quadrate Datepukt (, ) Abstad d zwsche Modell ud Datepukt zu gehörger Pukt auf der Gerade: = a + b d a 2 2 b Summe der quadratsche Abstäde zwsche Date ud Ausglechsgerade d 2 ( a, b) 2 d a b 2 muß mmert werde st Fukto vo a ud b 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 3 Leare Regresso Maß für Apassugsgüte Gütemaß für Vorhersage durch de Glechug: ˆ ( ),2300,20 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 32 6

17 Leare Regresso leare Regresso -Asteg der emprsche Regressosgerade heßt (emprscher) Regressoskoeffzet beschrebt Äderug vo ŷ, we sch um ee Ehet erhöht -Regressosgerade laufe mmer durch de Schwerpukt der Puktwolke -Asteg ud Absolutgled der Fukto sd Puktschätzer Schätzfehler: Estez vo Kofdeztervalle ud Tests ˆ ( ) 0,867 0,746 [0,829; 0,906] [7,683; 3,808] 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 33 Bespel De emprsche Regressosgerade ka zur Vorhersage des mttlere PBI aus dem PI verwedet werde, da folge R-Quadrat (BM) =0,839 aäherd 84% der Varabltät der beobachtete PBI-Werte durch de berechete Abhäggket vom PI erklärt werde ka. Folglch ergbt sch für = PBI de emprsche Regressosgerade PBI = PI. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 34 7

18 Regresso multple leare Regresso -ageommee leare Abhäggket vo vo,, m metrsch metrsch oder bär (.d.r. durch 0 ud codert) -Aahme: für jedes lässt sch m Mttel durch ee leare Fukto b 0 + b + + b m m bereche. -Zele: Idetfkato progostscher Faktore (Relevaz vo Eflussgröße) Schätzug des Effektes vo Eflussgröße Verbesserug der Vorhersage (m Verglech zur efache Regresso) -Bespel: : Körperfettatel : z. B. Alter, Geschlecht, BMI 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 35 AUFGABE (KORRELATION) Welche Aussage über de Puktwolke bs 3 trfft zu? Der Maßkorrelatoskoeffzet beträgt etwa: 2 3 (A) (B) (C) (D) (E) Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 36 8

19 AUFGABE 2 (KORRELATION) Welcher der folgede Maßkorrelatoskoeffzete ach Pearso r p beschrebt de stärkste leare Zusammehag? A B C D r p r p r p r p 0,00 0,45 0,79 0,60 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 37 AUFGABE 3 (KORRELATION) Welcher der folgede Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma r s beschrebt de stärkste mootoe Zusammehag? A B C D r s r s r s r s 0,80 0,45 0,78 0,87 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 38 9

20 AUFGABE 4 (KORRELATION / REGRESSION) Mttels Korrelatos- ud learer Regressosaalse ˆ bˆ bˆ 0 wrd e learer Zusammehag zweer metrscher Merkmale ud utersucht. Welche der folgede Aussage st rchtg? A Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de Stärke ud Rchtug des l. Zusammehages vo ud. B Der Korrelatoskoeffzet st stets größer oder glech Null. C De Summer vo Regressoskoeffzet ˆb ud Korrelatoskoeffzet st mmer Es. D We der Regressoskoeffzet ˆb glech Es st, so st auch der Korrelatoskoeffzet glech Es. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 39 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) De Zusammesetzug des meschlche Körpers st Folge geetscher ud Erährugsfaktore. Se ka durch äußere Eflüsse we Trag, Krakhet, Dät beeflusst werde. Isbesodere st e hoher Fettgehalt e Rskofaktor für vele Erkrakuge. Zur Rskoquatfzerug oder Itervetoskotrolle st es otwedg, de relatve Körperfettgehalt möglchst geau zu bestmme, z.b. über de BMI, Hautfaltemessug, Bompedaz. Gesucht wrd e efaches, gut passedes Modell zur Vorhersage des relatve Körperfettgehaltes. Dazu lege Körperfettdate vo 8 gesude Erwachsee m Alter vo 23 bs 6 Jahre vor. Ee vsuelle Edruck über de Efluss des Alters vermttelt das Streudagramm (Puktwolke). De Zelgröße (abhägg) wrd auf der - Achse, de Eflussgröße (uabhägg) auf der -Achse aufgetrage. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 40 20

21 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION). Schrtt: Welche Efluss hat das Alter? Prob. Nr. Alter %- Fettatel Mttel wert: Das Streudagramm lässt vermute, dass de Abhäggket durch e efaches leares Modell mt der Geradeglechug = b 0 + b beschrebe werde ka. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 4 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) Um we vel Prozet erhöht sch der Körperfettatel zwsche dem 30. ud 40. Lebesjahr: 5% pro Lebesjahr: 0,5%? 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 42 2

22 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) Be welchem Körperfettwert würde de Gerade de -Achse schede? 3% Welche Werte etspreche b 0 ud b der Geradeglechug? b : Asteg (mttlere Zuahme vo, we um ee Ehet stegt); b 0 : be =0 (oft cht m Vorhersageberech, deshalb cht terpretert) (mttlerer Körperfettatel %) = 0.5 (Alter Jahre) Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 43 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) 2. Schrtt: E leares Modell apasse Mt dem Statstkprogramm SPSS werde de Regressoskoeffzete b 0 ud b der Geradeglechug ach eer ehetlche Vorschrft, der Methode der kleste Fehlerquadrate, aus de Date geschätzt: Modell (Kostate) Alter (Jahre) Ncht stadardserte Koeffzete a. Abhägge Varable: Körperfett (%) Koeffzete a Stadardserte Koeffzete B Stadardfehler Beta T Sgfkaz 3,22 5,076,635,535,548,06,792 5,9,000 Regressoskoeffzete b 0 ud b Sgfkaztest: H0: b = 0, HA: b 0 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 44 22

23 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) Ergäze Se de geschätzte Koeffzete auf 2 Kommastelle gerudet mt hre Maßehete ( Klammer) der Glechug ud beschrebe Se de Zusammehag quattatv. mttlerer prozetualer Körperfettat.(%) 0.55(%/Jahr)Alter (Jahre) (%) Amerkug: Mt eem statstsche Test über de Regressoskoeffzete b für das Alter wrd geprüft, ob e sgfkater Zusammehag zwsche Alter ud Körperfett besteht. De Kostate wrd der Regel cht terpretert. Gbt es ee statstsch sgfkate Efluss des Alters auf das Körperfett (α=0.05)? Da p<0.05 (p st cht 0, soder <0.00!), st mttlerer Asteg des Körperfetts vo 0.55 Prozetpukte pro Lebesjahr sgfkat (verschede vo Null). 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 45 AUFGABE 5 (LINEARE REGRESSION) 3. Schrtt: Prüfe, we gut das Modell passt We gut das efache leare Modell auf de Date passt, wrd durch das Bestmmthetsmaß (Quadrat des Maßkorrelatoskoeffzete R) beschrebe. E Bestmmthetsmaß vo wrd errecht, we alle Datepukte auf der Gerade lege, das leare Modell also perfekt passt. Modell Modellzusammefassug Korrgertes Stadardfehler R R-Quadrat R-Quadrat des Schätzers,792 a,627,604 5,7536 a. Eflußvarable : (Kostate), Alter (Jahre) E Bestmmthetsmaß vo = 0.792² besagt, dass äherugswese 62.7% der Varato des prozetuale Körperfettatels durch das Alter erklärt werde ka (ud 37.3% durch adere Eflüsse). Das Vorhersagemodell köte also durch wetere Eflussfaktore och verbessert werde. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 46 23

24 AUFGABE 5 (MULT. LIN. REGRESSION) 4. Schrtt: Das Modell verbesser multples leares Regressosmodell Bod mass de as a measure of bod fatess: Age- ad se- specfc predcto formulas Deureberg et al. Brtsh Joural of Nutrto 99, 65: 05-4(0) Abstract: I 229 subjects, 52 males ad 708 females, wth a wde rage bod mass de (BMI; kg/m2), ad a age rage of 7 83 ears, bod composto was determed b destometr ad athropometr. The relatoshp betwee destometrcall-determed bod fat percetage (BF%) ad BMI, takg age ad se (males =, females = 0) to accout, was aalsed. I adults the predcto formula was: BF% =.20 BMI age 0.8 se 5.4 (R2 = 0.79). Iteral ad eteral cross-valdato of the predcto formulas showed that the gave vald estmates of bod fat males ad females at all ages. I obese subjects however, the predcto formulas slghtl overestmated the BF%. The predcto error s comparable to the predcto error obtaed wth other methods of estmatg BF%, such as skfold thckess measuremets or boelectrcal mpedace. 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 47 AUFGABE 5 (MULT. LIN. REGRESSION) Deureberg et al. habe e multples leares Regressosmodell für de Vorhersage des Körperfettatels etwckelt. Lese Se de Zusammefassug. BF% =.20 BMI age 0.8 se 5.4 (R2 = 0.79). Welche zusätzlche Merkmale wurde berückschtgt ud welche Efluss hat das auf de Güte der Vorhersage? Geschlecht, Körpergröße, Gewcht; Modellgüte wrd besser, 79% erklärte Varabltät Bodmaß-Ide BMI = (Körpergewcht kg) / (Körperläge m)2 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 48 24

25 AUFGABE 5 (MULT. LIN. REGRESSION) 5. Schrtt: Das Modell awede Bereche Se ach der Deureberg-Formel (BF% =.20 BMI age 0.8 se 5.4 ) de mttlere Körperfettatel für: ee 27 jährge Ma (BMI 23 kg/m2) =.2* *27-0.8* 5.4 = 7.6 ee 25 jährge Frau (BMI 2 kg/m2) =.2* *25-0.8*0 5.4 = 25.5 We groß st der Utersched m vorhergesagte mttlere Körperfettatel zwsche Mäer ud Fraue gleche Alters mt glechem BMI? 0.8 % gerger be Mäer 2. Zusammehagsaalse: Korrelato ud Regresso 49 25