Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen

Transkript

1 Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede. Aufgabe I der Vorlesug habe Se folgede dsrete Verteluge ee gelert: Zweputvertelug, Dsrete Glechvertelug, Geometrsche Vertelug, Bomalvertelug Gebe Se a, welche der 4 Verteluge (mt de zugehörge Vertelugs-Parameter) de Zufallsgröße X folgede Expermete bestzt: a) X Azahl der Würfelversuche bs zum Würfel eer 6 b) X Azahl der Sechse bem vermalge Würfel c) X Augezahl bem emalge Würfel Hwes: Überlege Se sch zuächst, we das etsprechede Versuchsschema a), b) bzw. c) ausseht. Etschede Se da auf deser Bass, welche Vertelug X bestzt. Aufgabe I eem große Los vo N 00 Tele sd 5% Ausschuss. Be eer Qualtätsotrolle werde der Rehe ach Tele aus dem Los gezoge ud geprüft, wobe das gezogee Tel ach jeder Zehug weder das Los zurücgelegt wrd (zehe mt Zurüclege, de Grudgesamthet ädert sch vo eer zur ächste Zehug cht). We groß st de Wahrschelchet dafür, a) dass be eer Zehug e Ausschusstel gezoge wrd b) dass bem Zehe eer Stchprobe vom Umfag 4, mdestes e Ausschusstel gezoge wurde c) erst der 30. Zehug e Ausschusstel gezoge wurde Hwes: Überlege Se sch zuächst, um welche Zufallsgröße X es a), b) bzw. c) geht ud we das etsprechede Versuchsschema ausseht. Etschede Se auf deser Bass, welche Vertelug X bestzt ud bereche Se da de gewüschte Wahrschelchete.

2 Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Aufgabe 3 Vo der Fertgug ees asseartels st beat, dass de Grudgesamthet ee Fehleratel vo p 0,5% ethält. We groß st de Wahrschelchet dafür, a) I eer Stchprobe (Zehe mt Zurüclege) vom Umfag 00 höchste fehlerhafte Ehete zu fde? b) I eer Stchprobe (Zehe mt Zurüclege) vom Umfag 500 geau 3 fehlerhafte Ehete zu fde? Aufgabe 4 I der begefügte Tabelle fde Se ee Überscht über dsrete Verteluge ud de zugehörge Erwartugswerte ud Varaze der etspreched vertelte Zufallsgröße. Beatworte Se uter Verwedug der Tabelle folgede Frage. Vo der Fertgug ees asseartels st beat, dass de Grudgesamthet ee Fehleratel vo p 0,5% ethält. a) mt we vele defete Ehete st eer Stchprobe (mt Zurüclege) vo 500 m Schtt zu reche? b) We vele Zehuge (mt Zurüclege) muss ma m Schtt mache, bs zum erste mal ee defete Ehet gezoge wurde?

3 Ahag Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Dsrete Verteluge Wahrschelchetsverteluge dsreter ud stetger Zufallsgröße- Überscht Dsrete Zufallsgröße Stetge Zufallsgröße Werteberech χ Wahrschelchetsvertelug P χ{a,...,a } edlch oder abzählbar vel Werte Wahrschelchetsvertelug vo X: Gesamthet aller Ezelwahrschelchete p X a ),,..., (a,b) R, a < b, mt (a,b) χ vele Werte Wahrschelchetsvertelug wrd durch ee Dchtefuto f : χ R R defert: Dchtefuto f Egeschafte: f ( x) 0 x χ, f ( x) Egeschafte: 0 p, p Vertelugsfuto (Summehäufgetsfuto) F F( a) : X < a) : a < a X a ) a F ( a) : X < a) f ( x) (F: Stammfuto vo f) Egeschafte: ) 0 F(x), ) F(x) mooto cht falled 3) lm F( x) 0, lm F( x) x x Berechug vo Wahrschelchete X A) : a A z.b.: X a) X a ) : a a a X b) X a ) : a a b X a ) P ( X A) f ( x) z.b.: A a X b) a < X < b) b a f ( x) F( b) F( a) 3

4 Ahag Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Dsrete Verteluge x : X x ) max X a ) a χ x : f ( x ) max f ( x) x χ odalwert x α-quatl x α x α : F ( xα ) α < F ( xα + ε ) x : F( x ) α α α Erwartugswert EX EX a X a ) EX xf ( x) Varaz Var(X) Var( X ) ( a EX ) X ) Var(X) ( x EX ) f ( x) a Bespelverteluge -Put-Vertelug, Bomalvertelug Possovertelug, Dsrete Glechvertelug Normalvertelug, Log-Normalvertelug Expoetalvertelug, Stetge Glechvertelug 4

5 Ahag Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Dsrete Verteluge Zusammehag zwsche I Häufgetsverteluge ud Wahrschelchetsverteluge be dsrete Zufallsgröße Se X dsret, X { a, a,..., a } desrptve Statst Wahrschelchetsrechug a h (a ) a p X a ) a h (a ) a p a h (a ) h ( a ) p a h (a ) a p rel. Häufgetsvertelug Wahrschelchets -vertelug Aus der Kovergez der relatve Häufget gege de Wahrschelchet ergbt sch: arthm. ttel: x x a h ( a ) EX a p Erwartugswert vo X Streuug: s ( x x) ( a x) H ( a ) ( a x) h ( a ) Emprsche Vertelugsfuto: ( ) ( ) F x h a : a x Atel aller Beobachtuge x, j,..., mt x x j j 5 ( ) Var( X) a EX p ( ) ( ) F x p P X x : a x -Vertelugsfuto vo X - Varaz vo X

6 Ahag Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Dsrete Verteluge Tabelle: Spezelle dsrete Wahrschelchetsverteluge Vertelug vo X Parameter Bezechug Ezelwahrschelchete EX Var(X) Versuchsschema (Awedugsgebet) Bomal- vertelug, p,,... 0<p< X~B(,p) Bomalvertelug Für : Zweputvertelug X ) p ( p) für 0,,..., p p(-p) Wahrschelchet dafür, dass be -ma-lger uabhägger Wederholug ees zweputvertelte Versuches mt der Erfolgswahrschelchet p de Azahl der Erfolge X glech st. (Bsp: Zehe eer Stchprobe vom Umfag mt Zurüclege aus eer Grudgesamthet. p Ausschussatel der Grudgesamthet, X Azahl der defete Tele der Stchprobe). Posso- vertelug λ>0 X~λ) X ) λ λ e! für 0,,... λ λ We be der Bomalvertelug; aber p ud /oder ubeat ud EXp λ beat. Beschrebt Azahl vo Eregsse a eem Objet. Bsp: Azahl X vorbefahreder Autos pro Zetehet, Azahl vo Astlöcher eem Brett, Azahl vo Bltzeschläge eem Gebet pro Jahr Wrd für große ud lee p als Näherug der B(,p)-Vertelug verwedet: B(,p) λp) (>0, p<0,0) 6

7 Ahag Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Dsrete Verteluge Hypergeo- metrsche Vertelug N,,...,,...,N,,...,N X~Hyp(N,,) X ) N N N ( ) N N N N Wahrschelchet dafür, aus eer Grudgesamthet vo N Objete, vo dee e ermal A aufwese, be eer Stchprobe vom Umfag (Zehe ohe Zurüclege) X Objete mt ermal zu zehe. für 0,,..., m{,} Wrd für < N/0 durch de B(,p/N)-Vertelug ageähert: Hyp(N,,) B(, p/n) Geometrsche Vertelug 0<p< X~Geo(p) X ),,3,... p ( p) p p p Wahrschelchet dafür, be -malger Wederholug ees -Putvertelte Versuchs mt Erfolgswahrschelchet p erst bem.te al Erfolg zu habe. Dsrete Glechvertelug auf eer ege ℵ {a,...,a } {a,...,a } R X~G({a,...,a }) X a ),,..., a a a Wahrschelchet dafür, dass be emalger Durchführug ees Versuches ees vo glechberechtgte Eregsse etrtt. Wrd be Glücsspele verwedet. Bsp.: X zufällge Augezahl bem Würfel. 7