Fachhochschule Jena University of Applied Sciences Jena Grundbegriffe. Fachhochschule Jena University of Applied Sciences Jena Ereignisse

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1 Grudbegrffe Grudbegrffe Zufallsexpermet uter gleche Bedguge wederholbarer Vorgag (geplat, gesteuert, beobachtet oder auch ur gedalch) Mege der möglche Versuchsausgäge st beat oreter Ausgag st ugewss Das Ergebs ees Zufallsexpermets et ma (zufällges) Elemetareregs, de Chace des Etretes bezechet ma als Wahrschelchet. Dese Aspete etspreche folgede Baustee des gesuchte mathematsche Modells: Grudraum/ Mege aller möglche Versuchsausgäge / Mermalsraum/ Elemetareregsse ω Eregsraum Ω E Eregs st ee Mege vo solche Elemetareregsse. Berechug der Wahrschelchet ees zufällge Eregsses erfordert e Modell. E Modell ethält folgede Aspete. de Mege der möglche Versuchsausgäge 2. Eregsse, de de pratsch relevate Fragestelluge etspreche 3. de zugehörge Wahrschelchete Eregs Eregssystem Wahrschelchet P Telmege vo Ω, Mege bestmmter Elemetareregsse Mege der beobachtbare Eregsse Telmege vo Ω mt bestmmte Egeschafte Wahrschelchete der beobachtbare Eregsse SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 2 Mermalsraum Eregsse Ma sagt, das Eregs A trtt e, we e Wert ω als Versuchsausgag beobachtet wrd, der zu A gehört. Bespel 3 Kompoete sd we ebestehed verschaltet, jede ezele Kompoete a de Zustäde (defet) bzw. (o.) habe. Versuchsausgag [ ] steht z.b. für K ud K3 defet, K2 o. Pratsch relevat st das Eregs W: Schaltug futoert. Beobachtet ma das Elemetareregs [ ], da st W egetrete. Bespel 2 Eergesparlampe solle ach Herstelleragabe ee Mdestbredauer vo 6 Stude als Normwert habe. Für deses Krterum sd also relevat de Eregsse N: Norm erfüllt A: Norm cht erfüllt Messergebs 55: Eregs A egetrete N ethält alle Bredauer ab 6 h. A ethält alle Bredauer uter 6 h. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 3 K K2 K3 3. Besodere Eregsse A = umöglches Eregs, wel e Elemetareregs ω ethalte st A = Ω scheres Eregs, da alle Elemetareregsse Ω ethalte sd Elemetareregsse sd alle eelemetge Eregsse A = {ω} Eregssystem : Telmege vo Eregsse mt de Egeschafte (), (2) A, (3) A, A2,... A De Potezmege als Gesamthet aller Telmege vo Ω st e solches Eregssystem. De Potezmege st aber als Eregssystem cht mmer geeget, + Bsp.2 der Eergesparlampe: Bredauer = Ω=, Potezmege st uötg groß. Da sucht ma e leeres System mt de Egeschafte (), (2), (3). Bespel 3 Ω = {,, 2}, da st e möglches Eregssystem de Mege aller Telmege = {, {}, {}, {2}, {,}, {,2}, {,2}, {,,2} } = (Ω) Hat Ω Elemete, da hat de Potezmege 2 Elemete. E Modell bestmmt für jedes deser Elemete see Wahrschelchet P. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt

2 Verüpfuge vo Eregsse - Megeoperatoe Verüpfuge vo Eregsse - Megeoperatoe Das Verüpfe vo Eregsse etsprcht de Operatoe mt Mege. Eregs A B (Veregug) trtt e, we mdestes es der Eregsse A, B etrtt, logsch A B Komplemetäreregs A trtt geau da e, we A cht etrtt. Eregs A B (Durchschtt) trtt e, we bede Eregsse A, B etrete, logsch A B Eregs A \ B (Dfferez) trtt e, we A etrtt, B cht etrtt. Zwe Eregsse A, B heße uverebar oder dsjut, we se ee gemesame Elemetareregsse bestze, A B =. Eregs A zeht Eregs B ach sch, we A B glt. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 5 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 6 Recheregel für Megeverüpfuge Wahrschelchetsbegrffe Es gelte folgede Gesetze: Kommutatvtät: A B = B A, A B = B A Assozatvtät: Dstrbutvtät: Regel vo de Morga ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = A ( B C) A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) A A... A = A A... A 2 2 A A... A = A A... A 2 2 Wahrschelchet P bestmmt de Chace des Etrete ees Eregsses. Es gbt verschedee Asätze zum Bestmme vo P. Bespel 4 Ee bestmmte Sorte vo Eergesparlampe errecht bsherge Beobachtuge mt eem Atel vo % de Bredauer vo 4 h cht. Ma sagt, de Wahrschelchet, dass de Bredauer < 4 st, legt be.. Solche Aussage beruhe auf der Aalyse der Bredauer der Vergagehet. De beobachtete relatve Häufget wrd als (geschätztes) Maß für de Wahrschelchet des Ausfalls vor 4h geomme. Ee Wahrschelchet vo. besagt aber cht, dass uter Lampe stets geau ee mt Bredauer < 4 st (zu urze Beobachtugssere!) Relatve Häufgete (beobachtet) bezehe sch auf de Atel der Stchprobe, Wahrschelchete (Modell) bezehe sch auf de Grudgesamthet. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 7 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 8

3 Expermetelle Wahrschelchet Expermetelle Wahrschelchet Emprsches Gesetz der große Zahle Wrd e Zufallsexpermet zur Beobachtug ees Eregsses A -mal uter gleche Bedguge wederholt, da stablsere sch de relatve Häufgete h ( A ) = ( Azahl des Auftretes vo A) für Es glt h (A) P(A). Deser expermetelle Zugag zur Bestmmug vo Wahrschelchete lefert 'ur' Schätzwerte (m Expermet st stets edlch). Bezechug: Expermetelle/ statstsche Wahrschelchet Nachtel: de Folge der h stablsert sch cht mmer zu eem Grezwert SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 9 Emprsches Gesetz der große Zahle = = = Smulato des Würfels mt Wederholuge Zufallsgeerator rad erzeugt Zufallszahle zwsche ud Mt hst erhält ma Häufgetsauszählug SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. = MATLAB-Smulato vo Würfe ud Darstellug als Hstogramm outcomes = []; = for = : outcomes = [outcomes cel(6*rad)]; ed hst(outcomes,6) Wahrschelchet ach Laplace Kombatorsche Formel(Auswahl) Laplace: Voraussetzuge: ur edlch vele Elemetareregsse alle mt glecher Chace (z.b. dealer Würfel) Defto Laplace - Wahrschelchet für Etrete des Eregsses Azahl der Elemetareregsse vo A A PA= = Azahl der Elemetareregsse vo Ω Ω A Ω Wahrschelchete ach Laplace öe somt durch Auszähle der Elemetareregsse berechet werde. Für omplzerte Sachverhalte braucht ma ombatorsche Formel. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. Zählprzp Mege M ethalte m verschedee, Mege N ethalte verschedee Elemete, da ethält de Mege der geordete Paare M N geau m verschedee Elemete. Permutatoe ohe Wederholug Für verschedee Objete gbt es geau! Möglchete der Aordug, we jedes Elemet verwedet werde muss. Kombatoe ohe Wederholug Aus eer -elemetge Mege verschedeer Objete werde ausgewählt ohe Wederholug ohe Berücschtgug der Rehefolge. Ma erhält für de Azahl solcher - elemetge Telmege! geau = Möglchete.!( )! SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt

4 Axomatscher Wahrschelchetsbegrff Wahrschelchetsbegrffe De folgede Axome für Wahrschelchete gehe zurüc auf Kolmogorov. Se sd verträglch mt der Laplace- ud der statstsche Wahrschelchet, se gelte gaz allgeme, auch be Modelle mt uedlch vele ud cht glechwahrschelche Versuchsausgäge. Axom Jedem zufällge Eregs A Ω st ee Zahl P(A) zugeordet mt PA, de ma Wahrschelchet vo A et. Axom 2 Das schere Eregs hat de Wahrschelchet. P( Ω ) = Axom 3 Für dsjute Eregsse A glt A2 = P( A A ) = P( A ) + P( A ) 2 2 Be eer uedlche Ergebsmege st Axom 3 auf uedlch vele paarwese dsjute Mege zu erweter: P A = P( A) = = SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt () Laplace-Modell Voraussetzuge: ur edlch vele Elemetareregsse alle mt glecher Chace (z.b. dealer Würfel) (2) Statstsche/expermetelle Wahrschelchet P( A) ( Azahl des Auftretes vo A) für (3) Wahrschelchet ach Kolmogorov De ach Laplace-Modell berechete bzw. expermetell gewoee Wahrschelchete sd oform zu de Axome vo Kolmogorov. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 4 Reche mt Wahrschelchete Bedgte Wahrschelchet ud Uabhägget Rechegesetze Scheres Eregs Ω P( Ω ) = Umöglches Eregs Ø P( ) = Mootoe A B P( A) P( B) Addtossatz P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Spezalfall: dsjute P( A B) = P( A) + P( B), falls A B = Eregsse PA =ΣP( ω ) Spezalfall: Ω dsret ω A Komplemetäres Eregs P( A) = P( A) Dfferez P( A\ B) = PA PA ( B) SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt Bespel 4 Lostrommel ethalte 5 Lose, davo see 2 weß, de restlche 3 blau. Uter de weße Lose see Gewe, uter de blaue see 2 Gewe. Welche Losfarbe würde Se ach deser Kets zehe? W: zufällg gezogees Los weß B: zufällg gezogees Los blau G: zufällg gezogees Los st e Gew Nur weße Lose P(G) = 3/5=.6 G W : Los st weß ud e Gew P(G W) = /5 =.2 P(W) = 2/5 =.4 Gewchace PG ( W) / 5 = =.5 PW 2 / 5 Gewchace ohe Farbfo Nur blaue Lose G B : Los st blau ud e Gew P(G B) = 2/5 =.4 P(B) = 3/5 =.6 Gewchace PG ( B) 2/5 = =.6 PB 3 / 5 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 6

5 Bedgte Wahrschelchet Totale Wahrschelchet Bedgte Wahrschelchet ees Eregsses A uter der Bedgug B PA ( B) PAB ( / ) = PB Dabe st A, B Ω ud P( B) > Iterpretato De Berechug eer bedgte Wahrschelchet bedeutet de Eschräug der gesamte Ergebsmege Ω auf de durch de Bedgug deferte Telmege B. Im Bespel: PG ( B) Gewchace uter der Bedgug blau : PG ( / B) = =.6 PB PG ( W) Gewchace uter Bedgug weß PG ( / W) = =.5 PW Totale Wahrschelchet für Gew aus bedgte Wahrschelchete PG = PG ( W) + PG ( B) = PG ( / W)P(W) + PG ( / B)P(B) SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt De Formel des Bespels a auf ee Zerlegug vo Ω dsjute Mege verallgemeert werde. Satz der totale Wahrschelchet Ω= B B2... B, alle B see paarwese dsjut Da glt PA = PAB ( / ) PB = Bedeutug des Satzes Das Eregs A a zuächst Subpopulatoe beobachtet werde. Der Satz der totale Wahrschelchet ermöglcht daraus de Berechug der Wahrschelchet für de Gesamtpopulato. Es erfolgt dabe ee Wchtug der Subpopulatoswahrschelchete mt dem Atel der Subpopulato a der Gesamtpopulato. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 8 Bedgte Wahrschelchet Bayessche Formel Bespel 5 Ee Fußballmaschaft spelt mt 2 Stürmer A ud B. Vo Stürmer A omme 5% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrschelchet 7%. Vo Stürmer B omme 4% aller Schüsse auf das Tor, Trefferwahrschelchet 8%. De restlche Speler R habe ee Trefferwahrschelchet vo 3%. Mt welcher Wahrschelchet st e Schuss auf das Tor e Treffer? Ergebsmege Ω : alle Schüsse auf das Tor Eregs T : Schüsse auf das Tor, de e Treffer sd Eregsse A, B, R: Schüsse auf das Tor vo Stürmer A, B bzw. vom Rest P(A) =.5 P(T/A) =.7 Trefferwahrschelchet vo A P(B) =.4 P(T/B) =.8 Trefferwahrschelchet vo B P(R) =. P(T/R) =.3 Trefferwahrschelchet vo R Satz der totale Wahrschelchet PT = PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + PT ( / R) PR PT = =.7 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 9 Veräderter Fragestellug Bespel 5: E Tor wurde erzelt. Mt welcher Wahrschelchet am der Schuss vo Stürmer B? d.h. Eschräug der Grudgesamthet auf de Schüsse mt Torerfolg T. durch de Bedgug e Tor wurde erzelt Eregs st u Schüsse vo B, de zu eem Tor führte (gelbe Fläche). PT ( / B) PB PBT ( / ) = PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + PT ( / R) PR PBT ( / ) = = = Egeschräte Grudgesamthet T : Schüsse auf das Tor, de e Treffer sd De gesuchte Wahrschelchet st der gelbe Atel P(B/T) der Gesamtfläche T. SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 2

6 Bayessche Formel Totale Wahrschelchet Satz (Bayessche Formel) Ω= B B2... B, alle B see paarwese dsjut Da glt PAB ( / ) PB ( ) PAB ( / ) PB ( ) PB ( / A) = = PA PAB ( / ) PB = SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 2 Bedeutug des Satzes Es erfolgt gewssem S de Umehr vo Ursache-Wrugs-Bezehuge. Ma et de Wahrschelchet P(Wrug/Ursache), mt der ee Ursache ee bestmmte Wrug ach sch zeht. Oft fragt ma bem Beobachte eer Wrug, mt welcher Wahrschelchet ee bestmmte Ursache vorgelege hat, d.h. ma sucht P(Ursache/Wrug). So wrd der Medz oft aufgrud eer Wrug (Testergebs, Befud) auf das Vorhadese eer Krahet geschlosse. Alteratv: Berechug mt Pfaddagramm Aufbau ees Pfaddagramms Wahrschelchete ach eem Kote summere sch stets zu. Pfad symbolsert de Durchschtt der Eregsse, de er durchläuft. Pfadwahrschelchet = Produt der Wahrschelchete etlag des Pfads, z.b. P( A) P( T / A) = P( A T) Totale Wahrschelchet: Wahrschelchet ees Ederegsses = Summe aller Pfadwahrschelchete zu desem Ederegs, z.b. P( T) = P( T / A) P( A) + P( T / B) P( B) + P( T / C) P( C) Im Bespel PT = =.7 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 22 Bayessche Formel Uabhägget vo Eregsse Bayessche Formel mt Pfaddagramm Eschräug der Grudgesamthet auf e Ederegs: ma betrachtet ur de Pfade zu desem Ederegs PT ( / B) P( B) PB ( / T) = = PT PT ( / B) PB PT ( / A) P( A) + PT ( / B) PB + P( T / R) PR P(B/T) st der Quotet der Pfadwahrschelchet des Pfades ach T über B ud der Summe aller Pfadwahrschelchete ach T. A, B sd uabhägg, we PAB ( / ) = PAB ( / ) = PA Nach Defto der bedgte Wahrschelchet st PA ( B) PAB ( / ) =, somt muss gelte PA PB = PA ( B) PB Defto A, B sd paarwese stochastsch uabhägg, we glt PA ( B) = PA PB A,,A sd total uabhägg, we für alle ud A, A glt PA (... A ) = PA... PA Multplatossatz PA ( B) = PAB ( / ) PB PA ( B) = PA PB, falls A, Buabhägg 3.7 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 23 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 24

7 Uabhägget vo Eregsse Reche mt Wahrschelchete K2 Wahrschelchet für Futoere W der Schaltug aus Bsp., K we de Kompoete uabhägg mt de Wahrschelchete K3.9,.8 ud.7 futoere W = K ( K2 K3) PK ( 2 K3) = PK ( 2 K3) PW = PK ( ) PK ( 2 K3) = P( K2 K3) =.9 ( (.8) (.7) ) =.846 = P( K 2) P( K3) Wahrschelchet für Futoere W folgeder Schaltug, we alle Kompoete uabhägg mt der Wahrschelchet.9 futoere W = K K2 ( K3 K4) PW = PW = P K K2 ( K3 K4) = P K K2 ( K3 K4) = ( P(K) ( P(K2) PK ( 3) PK ( 4) =.. (.9.9) = 998 SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 25 K3 K K2 K4 3.8 Bedgte Wahrschelchet PA ( B) PAB ( / ) =, falls P(B)> PB Uabhägget P( A/ B) = P( A) PA ( B) = PABPB ( / ) Multplatossatz Satz der totale Wahrschelchet Ω = B B2... B, paarwese dsjut Bayessche Formel Ω = B B2... B, paarwese dsjut PA ( B) = PA PB falls A, Buabhägg P( A) = P( A/ B ) P( B ) SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 26 = PB ( / A) = = PAB ( / ) PB P( A/ B ) P( B ) Smulato We ee Kompoete K mt Wahrschelchet p futoert, wrd ma eer Versuchsrehe der Läge ( groß) = p % mal das Futoere beobachte. Computer erzeuge (Pseudo-)Zufallszahle, de zwsche zwsche ud lege ud dort glechvertelt sd, z.b. MATLAB mt dem Kommado rad. Setzt ma eem Vetor X der Läge jede Kompoete auf, de eer Zufallszahl leer als p etsprcht, de adere auf Null, ethält deser Vetor etwa p % Ese bzw. es glt PX ( = ) p. Der Vetor X ethält de Realseruge vo uabhägge Zufallsexpermete. = p =.9 X = zeros() for = : u=rad; X() = (u < p); ed Sum(X)/ * Kotrolle: sollte glech p se SS 28 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW Wt. 27