Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen

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Jacob Grosse
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1 Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge Varable,,, auf dem Deftosberech D( f Dabe heßt z de abhägge Varable Ma schrebt f : D( f R, D( f R oder = = (,( (,,, z f f,,, D( f, D( f R, z R B De graphsche Darstellug eer Fukto mehrerer Varable st ur m Fall = möglch Be > sd alle Utersuchuge auf de aaltsche Darstellug z = f (,,, oder auf ee tabellarsche Erfassug agewese D (Graph eer Fukto Be eer Fukto f : D( f R, D( f R zweer Varable ud heßt de Puktmege {( z,, R z= f (,, (, Df ( } der Graph vo f B Ee wetere Möglchket, ee Fukto f(, zweer Varable graphsch zu veraschaulche, st de Darstellug mttels Isohöhele D (Isohöhele Ist f : D( f R, D( f R, ee Fukto zweer Varable, so heße de Puktmege {( } M : =, D( f f(, = c R c

2 Isohöhele vo f (mt der Höhe c R D 3 (Stetgket Ee Fukto f : D( f R, D( f R, heßt a der Stelle D( f stetg, falls zu jeder Umgebug ( ε ( ee Umgebug ( U f R D 4 (Grezwert { δ } Ee Fukto f : D( f R, D( f R Grezwert a, we glt Uδ D( f estert, so dass glt: z R z = f(, U ( U ( f( ε, hat a eer Stelle ( =,,, D( f de lm f(,, = a,,,, U ( D( f für e geegetes ε > erfüllt se muss wobe ( ε B 3 Der Grezwert eer Fukto mehrerer Varable ka bezüglch eer oder mehrerer Varable gebldet werde Wll ma be der Grezwertbldug z B ur de te,,, betrachte, so schrebt ma Kompoete { } lm f(,,,,,, + Ma et des de Grezwert vo f bezüglch S Ee Fukto f : D( f R, D( f R, st a eer Stelle D( f geau da stetg, we f a der Stelle ee Grezwert a R hat ud darüber haus glt: a = lm f(,, = f(,, D 5 (Partelle Abletug Se f : D( f R, D( f R ( Estert für e {,,, } =,,, t D( f der Grezwert a eer feste Stelle lm f(,, +,, f(,,,

3 so wrd deser Grezwert de partelle Abletug vo f a der Stelle (,,, ud mt geat f f (,, = (,, bezechet Ma sagt, dass de Fukto f da a der Stelle (,,, dfferezerbar ach st Ist f ach jeder Stelle eer offee Puktmege D D( f st, so heßt f partell ach dfferezerbar über D partell partell ach dfferezerbar B 4 Estert der Grezwert D 5 a alle Stelle D( f, so st f weder ee Fukto vo uabhägge Varable auf D( f Se wrd de partelle Abletug vo f ach geat D 6 (Dfferezerbarket Estere für ee Fukto f : D( f R, D( f R alle partelle Abletuge f, =,,, auf eem Berech D D( f als stetge Fuktoe, so heßt f auf D (stetg dfferezerbar Im Falle D = D( f sprcht ma vo Dfferezerbarket der Fukto schlechth S De Fuktoe : (, ( ud f D f R D f R : (, ( see über g D g R D g R D D( f D( g,,,, De Fukto h ( = c f(, c R, st über D partell dfferezerbar ach, ud es glt: partell dfferezerbar ach { } h ( = c f ( (Faktorregel De Fukto h ( = f( + g ( st über D partell dfferezerbar ach, ud es glt: h ( = f ( + g ( (Summeregel 3 De Fukto h ( = f( g ( st über D partell dfferezerbar ach, ud es glt: h ( = f ( g( + f( g ( (Produktregel f( 4 De Fukto h ( = st über D partell dfferezerbar ach, g ( falls g ( für alle Dud es glt: 3

4 h ( = f ( g( + f( g ( (Produktregel f ( g( f( g ( h ( = (Quoteteregel [ g ( ] D 7 (Gradet Ist ee Fukto f : D( f R, D( f R a eer Stelle dfferezerbar, so heßt der Vektor D( f partell der Gradet vo f a der Stelle BS Gegebe se de Fukto ( ( (,, f = gradf = f f f(, = Wr bestmme de Gradetevektor deser Fukto a der Stelle( ( (, (, ( 4, 4 (, f = + + f = B 5 Der Gradet eer Fukto a eer Stelle Graphe der Fukto = 4 4 : west Rchtug des stelste Astegs (des 4

5 D 8 (Partelles Dfferetal Se f : D( f R, D( f R, ee dfferezerbare Fukto, Da heßt de reelle Zahl D( f ud R das partelle Dfferetal vo f bezüglch : = ( df f a der Stelle, {,,, } B 6 Das partelle Dfferetal bezüglch st ee Näherug a de Zuwachs der Fukto, de ma erhält, we ma de Kompoete um verädert D 9 (otales Dfferetal Se f : D( f R, D( f R, ee dfferezerbare Fukto, ud R, =,,, Da heßt de reelle Zahl D( f : ( = df = f das totale Dfferetal vo f a der Stelle B 7 Aalog de partelle Dfferetale beschrebt das totale Dfferetal a eer Stelle = (,,, de äherugswese Äderug des Fuktoswertes be Veräderug der Kompoete um, =,,, Das totale Dfferetal df hägt ählch we de partelle Dfferetale vo der Stelle ud de Äderuge, =,,,, ab Zur Bestmmug vo Näherugswerte für ee Fuktoswert eer Stelle = ( +, +,, + der Nähe vo = (,,, det de Näherugsformel (,,, (,,, f f + df Je kleer de Äderuge, =,,,, sd, umso kleer st der absolute Fehler, de der Näherugswert gegeüber dem eakte Fuktoswert hervorruft BS Gegebe se de Fukto f(, = + + 4, D( f = R Bereche Se de absolute Fehler der Näherugswerte f(4 +, 3 + der achfolgede abelle: 5

6 Äderuge Eakter Wert Näherugswert f 4,3 f 4, 3 + df ( + + ( Absoluter Fehler D (Partelle Abletug Ordug Se f : D( f R, D( f R, ee auf D( f dfferezerbare Fukto der uabhägge Varable,, ud bezeche f (,, de Abletugsfukto vo f ach Estert de partelle Abletug der Abletugsfukto f (,, ach der Varable, j {,, }, a der Stelle ( j Ordug vo f ach ud,, =, so heßt se de partelle Abletug j a der Stelle Ma schrebt: f j (,, = j (,, f Falls f auf dem gazem Deftosberech estert, so wrd j Ordug ach ud j vo f geat f partelle Abletug j B 8 Ee zwemal partell dfferezerbare Fukto vo Varable hat also partelle Abletuge Ordug Für geüged oft dfferezerbare Fuktoe köe sukzessv partelle Abletuge belebg hoher Ordug defert werde Be Varable hat ma r partelle Abletug r -ter Ordug S 3 Sd de partelle Abletuge Ordug eer Fukto stetge Fuktoe, so glt : (, (, f D f R D f R f = f j j 6

7 B 9 Ma et Im Falle f auch de gemschte partelle Abletuge Ordug, falls j j = j schrebt ma astelle vo f mest De partelle Abletuge Ordug fasst ma auch der sog Hessesche Matr zusamme: f H f f : = f f D (Implzte ud eplzte Fuktoe Se f : D( f R ee Fukto der Varable ud Ee Fukto g(, D( g R =, de der Form f(, = f(, g( = vorlegt, heßt mplzt Legt g der Form = g( vor, da heßt g eplzt B Jede eplzt gegebee Fukto = g( ka als mplzte Fukto ( f, = g( = geschrebe werde Dagege ka ee ur eplzt gegebee Fukto cht auf ee eplzte Form gebracht werde Der Graph der Fukto g etsprcht der Isohöhele vo f mt der Höhe c = S 4 Se f : D( f R, D( f R ee auf D( f dfferezerbare Fukto Se de Fukto, durch de Glechug f (, = mplzt gegebe Da glt für alle Stelle (, Df ( mt f (, : (, (, f g'( = f Ist = h( de zu = g( gehörede Umkehrfukto, da glt für alle Stelle (, Df ( mt f (, : (, (, f h'( = f 7

8 BS 3 Bestmme Se de Abletug der Fukto = g( a der Stelle, de we folgt mplzter Form agegebe sd: (, ( 3 3, (, ( = + =, = f g = + = =, f g Lösug: Für = ergbt sch f(, g( = + = ud = 3 Als erfüllt der Pukt (, (, = de Glechug 3 3 (, f = + = Damt glt ( ( f, 3 g'( = = = f, 3 Für = ergbt sch = 7als Lösug vo + 7=, =, -7 erfüllt de Glechug Der Pukt ( ( (, f = + = Es glt 4 g'( = = 8 De Fukto = g( st auch eplzter Form darstellbar: ( = g = + De Abletug der eplzte Fukto bestätgt das obge Ergebs BS 4 Gegebe se de Fukto f(, 5, D( f R = + = 8

9 Schräke Se de Deftosberech D( f so e, dass durch f(, = mplzt ee Fukto = g( defert wrd ud bestmme Se de Abletug g'( für = Lösug: De Isohöhele f(, = c = sd Krese um de Nullpukt De Glechug M c vo f mt 5 beschrebt somt kee Fukto mplzter Form: 5 =± Bespelswese sd dem Wert = de Werte =, = zugeordet Wr mache also de Eschräkuge ud 5, + 5 Es ergbt sch der egeschräkte Deftosberech {(, 5 5, } De Abletug vo = g( a der Stelle = lautet: g'( = = = 4 D (Homogetät, Homogetätsgrad Ee Fukto f heßt homoge vom Grade r, we für alle D( f ud alle λ R, λ > glt: r λ ud f ( λ λ f( D( f = Dabe heßt r der Homogetätsgrad vo f R BS 5 De Produktosfukto ees Uterehmes für de Herstellug eer Ware aus de Produktosfaktore Arbetskraft ( ME ud Rohstoff r ( ME wurde zu (, h = + + ermttelt Es glt 3 3 ( ( ( ( h( λ, λ = λ + λ + 5 λ λ (, 3 = λ h Ma seht, dass be Vervelfachug der uabhägge Varable ud um de gleche 3 Faktor λ de Produkto h (, auf das λ -fache stegt Der Homogetätsgrad der Fukto st also glech 3 9

10 B Der Homogetätsgrad ka jede belebge reelle Wert aehme Im edmesoale Fall sd de Potezfuktoe r (,, f = a a R a `, homogee Fuktoe vo Grade r S 5 De Fukto f : D( f R, D( f R se homoge vom Grade r Da glt de Eulersche Formel: r f (,, = f (,, = Glt umgekehrt de obge Bezehug für ee Fukto f a alle Stelle hres Deftosbereches, so st f homoge vo Grade r BS 6 Für de Fukto (, h = + + glt: 3 h (, 6 = +, 3 h (, 3 5 = + De Addto beder Glechuge ergbt ( 3 3 (, (, , h + h = + + = h D 3 (Kovetät, Kokavtät Der Deftosberech D( f R eer reellwertge Fukto f se ee kovee Puktmege Da heßt de Fukto f kove, falls für alle Stelle, D( f λ, glt: ud für alle [ ] ( λ ( λ λ ( ( λ ( f + f + f, kokav, falls für alle Stelle ud für alle λ [, ], ( D f glt: ( λ ( λ λ ( ( λ ( f + f + f, 3 streg kove bzw streg kokav, falls für alle Stelle, λ ], [ glt:, D( f, ` ud für alle

11 ( λ + ( λ < λ ( + ( λ ( f f f bzw ( λ + ( λ > λ ( + ( λ ( f f f (Letzte Aktualserug:556

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