Klausur Statistik IV Sommersemester 2009

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1 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar vollstädg st. De Klausur besteht aus ver Aufgabe, eem Deckblatt, eer Possovertelug ud der Stadardormalvertelug m Ahag. Kotrollere Se Ihre Name ud de Matrkelummer. ˆ Verwede Se für Ihre Lösuge ausschleßlch de Klausurboge (Vorder- ud Rücksete), Zusatzblätter werde auf Afrage ausgetelt. ˆ Als Hlfsmttel zugelasse sd alle Mtschrfte der Vorlesug ud der Übug, das ausgedruckte Skrpt sowe Bücher ud e Tascherecher. ˆ De Bearbetugszet beträgt 10 Mute. Ich b damt everstade, daß das Klausurergebs uter Agabe meer Matrkelummer auf der Sete hothor veröffetlcht wrd. (Be Nchtzutreffe btte streche.) Vel Erfolg! Pukte: Note: 8. Jul 009 LMU Müche

2 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Aufgabe 1 a) Wa glt I T (X) (θ) = I X (θ)? (1 Pkt.) b) Es se T = X ebefalls suffzet? (4 Pkt.) T 1 = X mt X = 1 T = T T 3 = T 4 = X exp (T ) 1 + exp (T ) ee suffzete Statstk für θ. Sd de folgede Statstke X c) Der Test φ für das Testproblem H 0 : θ = θ 0 vs. H 1 : θ θ 0 st uverfälscht. We groß st dβ φ(θ) dθ? ( Pkt.) θ=θ0 d) Ist de Glechvertelug U(a, b) Fsher-regulär (Kurze Begrüdug ötg)? ( Pkt.) 8. Jul 009 Aufgabe 1, Blatt 1 LMU Müche

3 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Lösug a) Es glt I T (X) (θ) = I X (θ) we T (X) ee suffzete Statstk st. b) Nur T ud T 4 sd eedeutge (bjektve) Traformatoe vo T ud somt sd se auch suffzet. Des glt für T 1 ud T 3 cht. c) dβ φ(θ) dθ = 0 θ=θ0 d) Der Träger der Glechvertelug U(a, b) st cht Fsher-regulär, da er vo a ud b abhägt ud somt st R3 der Regulartätskrtere verletzt. 8. Jul 009 Aufgabe 1, Blatt 1 LMU Müche

4 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Aufgabe Gegebe se ee..d. Stchprobe X = (X 1,..., X ) vo stetge Zufallsvarable X mt folgeder Dchte f(x ; θ) = 1 π θ 3 x exp Weter glt: E(X ) = 0 ud V(X ) = 3θ. ( ) x, θ > 0, = 1,...,. (1) θ a) Ma bestmme de Maxmum-Lkelhood-Schätzer für θ. (5 Pkt.) Hwes: Be der Optmerug der Lkelhoodfukto muss cht gezegt werde, dass es sch tatsächlch um e Maxmum hadelt. b) Für de gegebee Vertelug (1) gelte de Fsherregulartätskrtere. Zege Se, dass für de erwartete Fsher-Iformato I X (θ) = 1.5 glt. (3 Pkt.) c) Ma bestmme de approxmatve Vertelug der folgede Statstk: ( Pkt.) T (X) = X θ 3 θ. d) Bereche Se e approxmatves (1 α)-kofdeztervall für θ ahad des folgede Zahlebespels (α = 0.05): ( Pkt.) Lösug x = (, 1, 0, 0.5,, 1, 0, 0.5,, 1, 0, 0.5,, 1, 0, 0.5). θ a) f(x; θ) = f(x ; θ) ( ) 1 = θ 3 x exp x π θ = (π) / θ 3/ x exp x θ = L(θ; x) l(θ; x) = log π 3 log θ + log x S(θ; x) = 3 θ + 0 =! 3 θ + x θ x θ x θ 3 = ˆθML = x θ x 3 8. Jul 009 Aufgabe, Blatt 1 LMU Müche

5 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame b) ( ) I X (θ) = E S(θ; X) θ = E 3 X θ θ 3 = 3 θ + θ 3 E(X }{{ 1) } V(X 1 )=3θ = 3 θ P X c) De agegebee Statstk T (X) = θ glt (Satz.7 Vertelug der Scorefukto) 3 θ T (X) D N(0, I X (θ)) = N st geau de Scorefukto ud somt ( 0, 3 ). θ d) E (1 α)-kofdeztervall für θ bldet ma z.b. ahad des Wald-KI: [ˆθ ML ± z 1 α/ I 1 X (ˆθ ML ))] = 16, 16 x = 4( ) = = 1 ˆθ ML = = I X (ˆθ ML ) = I 1 X (ˆθ ML ) Wald-KI für θ: [ ± ] [0.64, 0.615] 8. Jul 009 Aufgabe, Blatt 1 LMU Müche

6 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Aufgabe 3 Gegebe se das folgede..d. Stchprobe X = (X 1,..., X ) mt Posso-vertelte Zufallsvarable X P (λ). a) Ma gebe ee radomserte Nveau-α-Test für das Testproblem H 0 : λ λ 0 vs. H 1 : λ < λ 0. a.( Pkt.) Als Teststatstk verwede ma de suffzete Statstk Se auch a, we sch γ berechet. (3 Pkt.) b) Ma führe de Test φ(x) für das folgede Zahlebespel durch: ( Pkt.) α = 0.1, = 0, x = 30 λ 0 = 1.7. X. Gebe c) Bereche Se de Gütefukto des Tests für das Zahlebespel aus Tel b) ud de umersche Wert für γ. ( Pkt.) Welche der ver ute agezechete Fuktoe etsprcht der Gütefukto deses Bespels? Begrüde Se Ihre Etschedug.( Pkt.) d) Gebe Se auch de Gestalt des dazugehörge, auf der Normalapproxmato beruhede, asymptotsche Tests φ (x) a ud führe Se dese Test für = 00 ud x = 300 durch (α ud λ 0 sd mt de Telaufgabe b) gegebee Werte detsch).(3 Pkt.) G1 G β ϕ 0.5 β ϕ λ G λ G β ϕ 0.5 β ϕ λ λ 8. Jul 009 Aufgabe 3, Blatt 1 LMU Müche

7 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Lösug a) X = (X 1,..., X ) mt Posso-vertelte Zufallsvarable X P (λ). H 0 : λ λ 0 vs. H 1 : λ < λ 0. T (X) = 1 φ(x) = γ 0 X P (λ 0 ) X < k α X = k α X > k α mt k α -α-quatl vo P (λ 0 ). Klee Werte vo T (X) spreche gege H 0. Der Test muss radomsert werde, da de Teststatstk T (X) ur dskrete Werte ammt. Ma bestmmt γ durch: β φ (λ 0 ) = P( X < k α ) + γ P( X = k α ) = P( X k α 1) + γ P( X = k α ) = F (k α 1) }{{} Vertelugsfukto vo P (λ 0 ) +γ f(k α ) }{{} Dchte vo P (λ 0 ) = α γ = α F (k α 1) f(k α ) b) α = 0.1, = 0, x = 30 λ 0 = 1.7 k α = 7 < 30 = T (X) De Null-Hypothese H 0 ka cht abgeleht werde. c) Ma bestmmt γ durch: γ = α F (k α 1) f(k α ) = α F (k α 1) F (k α ) F (k α 1) = = Jul 009 Aufgabe 3, Blatt 1 LMU Müche

8 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame De Gütefukto st da β φ (λ) = F (k α 1) }{{} Vertelugsfukto vo P (λ) + γ f(k α ) }{{} Dchte vo P (λ) = F (k α 1) f(k α ) Abbldug G1 zegt de ezg möglche Verlauf der Gütefukto für das gegebee Testproblem. Abblduge G ud G3 etspreche de Verlauf eer Gütefukto ees esetge Tests, der das folgede Testproblem löst: H 0 : λ λ 0 vs. H 1 : λ > λ 0. Im Gegesatz zum G3, st der Test Abbldug b) radomsert. Abbldug G4 veraschaulcht de Verlauf eer Gütefukto ees (ascheed chtradomserte) zwesetge Tests für de Problemstellug H 0 : λ = λ 0 vs. H 1 : λ λ 0. d) E( X ) = λ 0 V( X ) = λ 0 T (X) = X λ 0 λ0 a N(0, 1) φ (x) = { 1 T (X) < zα 0 T (X) zα mt z α = z 1 α = α-quatl der Stadardormalvertelug. T (x) = =.16 < 1.8 De Null-Hypothese H 0 ka abgeleht werde! 8. Jul 009 Aufgabe 3, Blatt 1 LMU Müche

9 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame Aufgabe 4 Gegebe se das folgede..d. Stchprobe X = (X 1,..., X ) mt Posso-vertelte Zufallsvarable X P (λ). Zur Schätzug vo h(λ) = e λ betrachte ma dre Schätzfuktoe: ( ) X 1 T 1 (X) = T (X) = e X 1 mt X = T 3 (X) = 1 Y mt Y = X { 1 falls X = 0 0 falls X > 0 Ma zege, dass T 1 (5 Pkt.) ud T 3 (4 Pkt.) erwartugstreu sd, ud begrüde, dass T cht erwartugstreu st. (3 Pkt.) Hwes: De Dchte vo X = X lautet (λ) x e λ f( x; λ) =. x! Zweter Hwes: De Expoetalrehe st defert als k=0 z k k! = ez. Lösug X = (X 1,..., X ) mt X P (λ) X P (λ) [ ( ) X] 1 E(T 1 (X)) = E ( ) P X = E 1 [ ( ) ] k 1 (λ) k e λ = k! k=0 = e λ (( 1)λ) k k! k=0 = e λ e ( 1)λ = e λ Erw. treu 8. Jul 009 Aufgabe 4, Blatt 1 LMU Müche

10 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame [ ] E(T (X)) = E e X [ = E e 1 P X ] [ ] = e k (λ) k e λ k! k=0 ( ) λe 1/ k = e λ k! k=0 = e λ e (λe 1/ ) = e λ(e 1/ 1) Ncht erw. treu! E(T 3 (X)) = E [ 1 ] Y = 1 E(Y 1) = 0 λk e λ k! + 1 (λ)0 e λ 0! = e λ Erw. treu! 8. Jul 009 Aufgabe 4, Blatt 1 LMU Müche

11 Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame x F (x) x F (x) x F (x) Tabelle 1: Vertelugsfukto der Possovertelug P (34) (Ausschtt). x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) Tabelle : Vertelugsfukto der Stadardormalvertelug (Ausschtt). 8. Jul 009 Ahag LMU Müche