Standardnormalverteilung. Normalverteilung. Verteilungsfunktion. Intervallwahrscheinlichkeiten

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1 Normalvertelug Stadardormalvertelug Normalvertelug N(μ, ) mt chte : Gaußche Glockekurve μ μ μ+ μ >, f ( ) = ( μ) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV π Egechafte der chte: - Mamum μ - mmetrch zu μ - Wedepukte μ ± Form der chte Abhäggket vo de Parameter - Je größer der Abtad vo μ, deto elteer lege de Werte - Je kleer, deto eger t de Kurve Werte d mehr um μ kozetrert Erwartugwert: E X = μ Varaz: Var X = ² e Berechug vo Wahrchelchkete be NV zu Fuß cht möglch, da de chte kee gechloe dartellbare Stammfukto betzt ( μ) b P( a < X b) = e d a π =Φ ( b) Φ ( a) ( μ, ) ( μ, ) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV a b chte Mt Computerprogramme t Vertelugfukto für belebge μ, abrufbar Zu Fuß : tabellert t ur Stadardormalvertelug Φ ( ) = Φ,( ) Berechug vo für belebge μ, durch Traformato Φ μ, ( ) ( μ, ) μ Φ =Φ b μ a μ Pa ( < X b) = Φ Φ Vertelugfukto Itervallwahrchelchkete Stadardormalvertelug Φ() (Auchtt au Vertelugtabelle),,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86, Φ( ) tabellert Normalvertelug N(μ, ) Berechug vo Itervallwahrchelchkete für X ~ N( μ, ) b μ a μ Pa ( < X b) = Φ Φ b μ PX ( b) =Φ al Fläche uter der chte Ableebepele: ( 3) ( 43)=.6664 Φ (,).4 =Φ. Φ (. 5) = (Umkehrfukto, 5%-Quatl) Wege Smmetre der chte zu Null ethalte Tabelle ur Φ( für. Für < erfolgt ee Berechug ach folgeder Bezehug: Φ ( ) = Φ( ) Ableebepel: Φ (.8) = Φ (.8) =.788 =.9 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 3 a μ Pa ( < X) = Φ abe ka durch < ud umgekehrt eretzt werde. MATLAB: ( < = ormcdf (b, μ, ) - ormcdf (a, μ, ) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 4

2 Quatle der Normalvertelug Kofdeztervall für Parameter der Normalvertelug a -Quatl der Stadardormalvertelug t der Schwellwert, für de glt, da uterhalb vo % ud oberhalb (-) % der Werte der Zufallgröße X lege: = PX ( < z) =Φ ( z), << z Berechug mt Umkehrfukto: z =Φ ( ) Smmetre der chte bewrkt Smmetre der Quatle z =z z z e Quatle der Normalvertelug erhält ma z.b. mt MATLAB (ormv(,μ,) bzw. au eer Vertelugtabelle für Φ ( z.b. Formelammlug), m Iere der Tabelle achchlage, Quatl z etpreched auf dem Rad ablee Spezelle Quatle: z.95 =.64, z.5 =.64, z.975 =.96, z.5 =.96, z.99 =.33, z. =.33 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV 5 z z f ( ) Φ( ) Kofdeztervall für Parameter μ Augagpukt: Vertelug der Schätzfukto X X ~ N( μ, ) da t X = X ~ N, μ = X μ Traformato Stadardormalvertelug ~ N(,) / X μ P( z / < < z /) = / Umtelle der Uglechugkette führt zu X z < μ < X + z / / z / Kofdeztervall KI für Parameter μ zur Scherhet - Quatl der Stadardormalvertelug N(,) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 6 Kofdeztervall für Parameter der Normalvertelug Kofdeztervall für Parameter der Normalvertelug KI für Erwartugwert μ be bekater Stadardabwechug zum Kofdezveau - : Zweetg Eetg obe offe Eetg ute offe z /, + z / z,, + z KI für Erwartugwert μ be ubekater Stadardabwechug zum Kofdezveau - Zweetg Eetg obe offe t, /, + t, / t,, Eetg ute offe + t,, Quatle der Ordug q der t-vertelug mt - Frehetgrade t, q. KI für Parameter Zweetg, q,, /, / Eetg obe offe,, Eetg ute offe, Quatle der ²-Vertelug der Ordug q mt - Frehetgrade MATLAB Kofdeztervalle für μ, : [m,, CIm, CI] = ormft(x, alpha) mt X: atevektor, alpha: Rko,. WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 7 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-KI 8

3 Stattche Tet für Parameter der Normalvertelug Ablauf ee tattche Parametertet (am Bp. für Erwartugwert be NV) Ja-Ne-Etchedug darüber, ob der ubekate Parameter eer Vertelug glech eem gegebee kokrete Referezwert t z.b. Tet, ob der ubekate Erwartugwert μ eer Grudgeamthet glech μ t, Etchedug wrd ahad eer zufällge Stchprobe getroffe daher ur mt vorgegebeer Scherhet bzw. Rko/Irrtumwahrchelchket H : μ = μ Nullhpothee H: μ μ Alteratvhpothee Irrtumwahrchelchket X μ Tetgröße mt bekater Vertelug, we H tmmt / her t be Gültgket vo H T tadardormalvertelt T > z / Ablehberech vo H be Rko, z /Quatl der Stadardormalvertelug der Ordug / Ablehberech be Rko für H: μ = μ Ablehug - chte der Tetgröße T, we Nullhpothee glt we Nullhpothee wahr t, legt T deem Itervall mt Wkt. - Ablehug Rko : Irrtumwahrchelchket für Ablehug der Nullhpothee, obwohl e rchtg t Fällt der au der Stchprobe berechete Wert der Tetgröße de Ablehberech, paert da uter der Nullhpothee ur mt Wahrchelchket. Leht ma deem Fall de Nullhpothee ab, t demach de Irrtumwahrchelchket glech. WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 9 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet Tetetchedug mt p-wert Computer gbt al Tetreultat de Wahrchelchket a, mt der etremere Werte al der berechete Wert der Tetgröße uter H ageomme werde köe. ee Wahrchelchket heßt p-wert. Ablehug - Ablehug Eetge ud zweetge Tet Zweetger Tet Nullhpothee: μ = μ gege Alteratvhpothee: μ μ It der p-wert kleer al da Rko, da wrd de Nullhpothee abgeleht. Berecheter Wert vo T -T au de Stchprobewerte p-wert = Summe deer Fläche Eetge Tet Nullhpothee: μ μ gege Alteratvhpothee: μ > μ oder Nullhpothee: μ μ gege Alteratvhpothee: μ < μ WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet

4 Tet über Mttelwerte ormalvertelter Zufallgröße () Etchprobetet Gauß-Tet Verglech μmt Referezwert μ; bekat Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehkrterum H : μ = μ H : μ μ X μ T > z / H : μ μ H : μ < μ / T < z H : μ μ H : μ > μ ~ N(, ) T > z e Irrtumwahrchelchket beagt, da ma be Tet mt der Ablehug der Nullhpothee ach deem Verfahre etwa Fälle ee Fehler macht. MATLAB Tet auf Vorlege de Erwartugwert μ be bekatem : [h, p, CI] = ztet(x, μ, ) X: atevektor, μ Referezwert WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 3.3 Fehlermöglchkete be der Tetetchedug H rchtg H falch H abgeleht Fehler. Art rchtge Etchedug H cht abgeleht rchtge Etchedug Fehler. Art β E gbt alo zwe möglche Fehletcheduge. a Rko der Etchedug gege H, obwohl H tmmt (Fehler. Art), t über de Fetlegug de Ablehberech durch begrezt. a Rko der Bebehaltug vo H, obwohl H falch t (Fehler. Art) ergbt ch da automatch. Nur durch Vergrößer vo ka β be glechem verkleert werde! Berechug de erforderlche Stchprobeumfag: Veruchplaug WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 4 Tet über Mttelwerte ormalvertelter Zufallgröße () Etchprobetet T-Tet Verglech μmt μ ; ubekat Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehkrterum H : μ = μ H : μ μ X μ T > t, / H : μ μ H : μ < μ / T < t, H : μ μ H : μ > μ ~ t T > t, Mttelwertvergleche be zwe ormalvertelte Zufallgröße bher Etchprobetet: er Erwartugwert eer Grudgeamthet wrd mt eem vorgegebee Referezwert μ verglche Zwetchprobetet: e Erwartugwerte μ ud μ vo zwe Grudgeamthete werde verglche. Be Zwetchprobetet uterchedet ma och zwche verbudee (gepaarte) ud cht verbudee (cht gepaarte) Stchprobe. MATLAB Tet auf Vorlege de Erwartugwert μ be ubekatem : [h, p, CI] = ttet(x, μ) X: atevektor, μ Referezwert verbude: cht verbude: de Stchprobewerte lege Paare vor, de jewel a de gleche Objekte gemee wurde (z.b. vor ud ach eer Behadlug) de Stchprobe wurde djukte Grudgeamthete erhobe (z.b. Geude ud Krake) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 5 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 6

5 Tet über Mttelwerte ormalvertelter Zufallgröße (3) Zwetchprobetet für verbudee Stchprobe Verglech mt ; ubekat,, verbude, d =, d d μ = μ μ X Y = X Y Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehkrterum H : μ = H : μ d T > t, / H : μ H : μ T : d arthmetche Mttel, emprche Stadardabwechug der ffereze d = ( ) = < : > H μ H μ ~ t < t, > t, WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 7 T Tet über Mttelwerte ormalvertelter Zufallgröße (4) Zwetchprobetet oppelter T-Tet Verglech μ mt μ ; ubekat, aber glech; cht verbude, X, Y Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehkrterum H μ = μ : H : μ μ X Y > T t +, H : μ μ H : μ < μ g + T < t +, H : μ μ H : μ > μ ~ t + T > t +, / t mq, Quatl der Ordug q der t-vertelug mt m Frehetgrade (m gazzahlg) ( ) + ( ) gemeame (gepoolte) Varaz g = + MATLAB Tet auf Glechhet der Erwartugwerte μ ud μ be glechem ud [h, p, CI] = ttet(x,y), X,Y : atevektore WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 8 Tet über Mttelwerte ormalvertelter Zufallgröße (5) Zwetchprobetet Welch-Tet Verglech μ mt μ ; ubekat, verchede; cht verbude, X, Y Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehkrterum H : μ = μ H : μ μ T > t f, / ( X Y ) / + H : μ μ H : μ < μ < T t f, H : μ μ H : μ > μ ~ t f T > t f, t f, q Quatl der Ordug q der t-vertelug mt f Frehetgrade, wobe ( / + / ) f = (abrude!) ( / ) /( ) + ( / ) /( ) MATLAB Tet auf Glechhet der Erwartugwerte μ ud μ be uglechem ud [h, p, CI] = ttet(x,y, vartpe, uequal ), X,Y : atevektore.4 WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet 9 Tet über Varaz ormalvertelter Zufallgröße Zwetchprobetet Verglech mt Nullhpothee Alteratvhpothee Tetgröße Ablehberech : H = H : T F,, / : H : / H < T < F H,, : H : ~ F, H > T > F,, > oder T < F,, / Fmq,, : Quatl der F-Vertelug mt m, Frehetgrade der Ordug q eer Tet zum Verglech vo Varaze wrd auch al Vortet geutzt für de Wahl de paede Tet zum Mttelwertverglech, d.h. Etchedug zwche doppeltem T-Tet (be gleche Varaze) Welch-Tet (be verchedee Varaze). MATLAB Tet auf Glechhet der Stadardabwechuge ud [h, p, CI] = vartet(x,y), X,Y : atevektore WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV-Tet.5