Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung

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1 8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher Hypothekarzs, jährlche Tlgug (Abzahlug eer Schuld) Fragestelluge: Edwert: Kaptal mt Zseszs ach Zahluge? Barwert: Welche emalge Zahlug st Zahluge äquvalet? Mathematsche Grudlage: Summeformel der geometrsche Rehe Begrffe: Be vorschüssge Rete erfolge de Zahluge am Afag der Perode, be achschüssge am Ede der Perode. Zur Abkürzug schrebe wr für p / 00 Aufgabe: Bereche de Edwert vo achschüssge Zahluge Skzze: = 6 Zetpukt Zahlug Wert am Ede des -te Jahres R R 2 R R 2 - R R R R Für de Edwert vo achschüssge Zahluge glt damt: E R R Erfolge de Zahluge vorschüssg, so multplzert sch der Edwert mt E mt B: Göttbatze am Jahresede: = 20, R = 00, = E Fr FOLG2b/ul

2 9 Bespel Pesoskasse Überscht 3 - Säuleprzp der Vorsorge AHV 2 Pesoskasse (PK) 3 Prvates, telwese steuerbegüstgtes Spare Verscherugslestuge der PK: Alter ud Ivaldtät der verscherte Perso, des Eheparters ud der Kder Austrttslestug be Stellewechsel (Frezüggket) Fazerug vo Wohegetum Apassuge be Äderuge des Lohs (real oder Ausglech der Iflato) oder des Beschäftgugsgrades durch Ekauf resp. Frezüggket Verfahre: De Mdestaforderuge sd m Berufsvorsorgegesetz (BVG) festgelegt. Im Gegesatz zum Umlageverfahre be der. Säule werde de Präme kaptalsert. Bem Betragsprmat wrd der Betrag festgelegt, de Lestug (Peso) ergbt sch aus dem Edwert der Beträge. Bem Lestugsprmat wrd de Lestug festgelegt. Daraus werde de Beträge berechet. Der "Techsche Zssatz" beträgt 4% (Stad 2008) Es besteht der Tred vom Lestugsprmat zum Betragsprmat, de Apassuge sd be Lestugsprmat komplzert ud "gute" Lestuge sd teuer. Betragsberechug bem Lestugsprmat Gegebe: Jährlche vorschüssge Rete R währed Jahre. Gesucht: Jährlche achschüssge Präme P währed m Jahre. De Präme st so festzulege, dass der Barwert der Rete mt dem Edwert der Präme überestmmt. Bespel: We hoch st de währed 35 Jahre zu bezahlede Präme für ee Rete vo Fr. 36'000.-, de währed 5 Jahre bezoge wrd (Zssatz = 4%) Barwert vorschüssg: B v r r r r r r r r... r r r r r B v Edwert achschüssg: E P Bv P FOLG2b/ul

3 20 Flexbles Retealter (Retekürzug be vorzetger Pesoerug) Bespel: Jahrespräme P = Fr., Jährlche Rete: R = 48'000.- Fr. währed 5 Jahre, Zssatz: = 4%. Um welche Betrag st de Rete zu kürze, we de Rete 2 Jahre früher bezoge wrd? Be der Berechug des Barwerts der Rete sd zu berückschtge: () 2 fehlede Präme ud de Verzsug des Kaptals (2) Der Retebezug verlägert sch um 2 Jahre () Bsherger Barwert: B v ' Bv P P Neuer Barwert. B eu 495' (2) Neue Rete: R eu '050 R 7 eu 39' Des bedeutet ee Kürzug vo ugefähr 8%. Zum Verglech: Gemäss de Vorschläge der. AHV-Revso soll de Kürzug ab eem Ekomme vo 72'000.- % betrage (Ugekürzte Rete 24'000.-) FOLG2b/ul

4 2 Effektver Zssatz be Klekredte Aufgabe: Be eem Kredt vo 0000 Fr. se ee Laufzet vo 5 Jahre ud ee jährlche Rückzahlrate am Jahresede vo 2500 Fr. verebart. Für de Aufzsfaktor p r muss da gelte: r 2500( r r r r ) Dese Glechug st cht elemetar lösbar. E Näherugsverfahre z.b. das Newtoverfahre ergbt als effektve Zssatz 7.9% Iterpretato : De Lestug der Bak ud de Lestug des Kude werde auf getrete Kote mt glechem Zssatz geführt. De bede Kotostäde müsse ach 5 Jahre überestmme. Iterpretato 2: De jährlche Zahluge des Kude werde eem Koto jährlch gutgeschrebe, das zu Beg mt 0000 Fr. belastet war. Verzst wrd de Restschuld, de ach 5 Jahre zu Null werde soll. Be Klekredte werde üblcherwese moatlche Zahluge verlagt, de erste Rate R = 480 Fr. ee Moat ach Auszahlug des Kredtbetrags D = 0000 Fr. Für de effektve Jahreszssatz p glt da be eer Laufzet vo 24 Moate de Glechug: D q R q R q R q R R q q p mt dem moatlche Wachstumsfaktor q (*) 00 Auch dese Glechug st cht elemetar lösbar. E Näherugsverfahre ergbt als effektve Zssatz 4.9% (*) We de folgede Tabelle zegt (000 Fr. am Jahresafag, Jahreszssatz 6%), bedeutet p%- Wachstum m Jahr ebe cht auch ½p %-Wachstum m halbe Jahr. Der Zsfaktor st der 2 p etwas kleere Faktor q (das Wachstum m zwete Halbjahr vo 030 auf wäre sost kleer (2.9%) als das des erste Halbjahrs). Verzstes Geld st als ee stetg expoetell wachsede Grösse zu betrachte. Zu jedem Zetpukt wrd der gesamte bs dah agewachsee Geldbetrag clusve Zs mtverzst FOLG2b/ul

5 22 Zetpukt lear exp. Wachstumsfaktor Dff Emssospres eer Oblgato am Bespel der CoY-Alehe der Belage (Quelle: Erw W. Her: Was Aleger auch och wsse sollte, Helblg u. Lchtehah 996) De Alehe (Oblgato, Bod) versprcht jährlche Zszahluge (Autäte) vo C = 5000 Fr. ud = 0 Jahre de Rückzahlug vo T = 00'000 Fr. (Tlgug) Der Barwert der Zszahluge (Autäte) beträgt C E C C t A t Der Barwert der Rückzahlug beträgt T ET Für de Emssospres E glt damt: C C T C T C E E E A T Coupozahlug C = 5000 Fr., Tlgugsbetrag T = 00'000 Fr., Laufzet = 0 Jahre. Marktzs. Der vom Marktzs (Dskotsatz) abhägge Marktpres etsprcht also dem Barwert aller zuküftge Zahlugsverspreche (dem sogeate abdskoterte Wert deser Zahluge). Deser Grudsatz hat be der Bewertug vo fazelle Verträge Gültgket. Im Bespel ergbt sch be eem Marktzs vo = der Emssospres vo Fr., was eem Emssoskurs vo 00.25% etsprcht. I der Praxs st umgekehrt der Marktpres der Oblgato gegebe ud der Marktzs gesucht. De Glechug (*) st allerdgs ur mt Näherugsverfahre lösbar. Be Erhöhuge des Zsveaus ske de Bodprese (de zuküftge Zahlugsströme werde stärker abdskotert). Etspreched stege be skedem Zsveau de Bodprese (zuküftge Zahlugsströme werde gerger abgezst) FOLG2b/ul

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