Interpolationspolynome

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Agnes Hoch
vor 5 Jahren
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1 Iterpolatospolyome Ac Gegebe sd +1 Stützstelle x 0 bs x zusamme mt hre Stützwerte y 0 bs y. Durch de Pukte ( x / y ) soll e Polyom p(x) -te Grades gelegt werde : p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + + a x = Das Bld zegt e Bespel für = 3! x 0 = 0 x 1 = 6 x 2 = 8 x 3 = 9 y 0 = -3 y 1 = 0 y 2 = 3 y 3 = 9 Da alle Stützpukte auf dem Polyomgraphe lege, å = 0 a x folgt : p(x ) = y für = 0 bs Es ergebe sch somt +1 Glechuge mt +1 Ubekate a, mt edeutger Lösug. Etwcklug der Formel: p(x 0 ) = y 0 a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 ² a x 0 = y 0 p(x 1 ) = y 1 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 0 ² a x 1 = y 1 p(x ) = y a 0 + a 1 x + a 2 x ² a x = y Awedug auf das Bespel vo obe: Stützpukte (0 ; -3) (6 ; 0) (8 ; 3) (9 ; 9) Wr habe her 4 Stützpukte ( = 0 bs 3), was e Polyom 3.Ordug ahelegt. Das 4 mal 5 - LGS lautet da folgedermaße: a 0 + 0a 1 + 0²a 2 + 0³a 3 = -3 a 0 + 6a 1 + 6²a 2 + 6³a 3 = 0 a 0 + 8a 1 + 8²a 2 + 8³a 3 = 3 a 0 + 9a 1 + 9²a 2 + 9³a 3 = 9 Verefachtes LGS als Schema: a 0 a 1 a 2 a De Lösug ka durch schrttweses Esetze bestmmt werde: a 0 = -3 a 1 = 85/12 a 2 = -145/72 a 3 = 11/72 Das gesuchte Polyom st da: p(x) = 11/72x³ 145/72x² + 85/12x 3

Weteres Bespel (8 Pukte): x 0 2 4 5 7 10 15 20 y 0 3,8 8,5 9,6 15,4 20 29,1 39 LGS (Schema): a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 *1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 8 16 32 64 128 3,8 1 4 16 64 256 1024 4096

2 Weteres Bespel (8 Pukte): x y 0 3,8 8,5 9,6 15, ,1 39 LGS (Schema): a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 * , , , , , Lösug für das Polyom 7. Grades : a 0 = 0 a 1 = / , a 2 = / , a 3 = / , a 4 = / , a 5 = / , a 6 = / , a 7 = / , Der Graph des Polyoms st auffällg wellg!

3 Java-Methode zur Berechug der a ( vo 0 bs -1 ) : // double[] datx, double[] daty sd gegebe t = datx.legth; double[][] matrx = ew double[][ + 1]; // Matrx(,+1) zur Bestmmug des Iterpolatospolyoms aufbaue for (t ze = 0; ze < ; ze++) { matrx[ze][] = daty[ze]; // rechte Sete des LGSs matrx[ze][0] = 1.0; // lke Spalte für de Faktore vo a0 for (t sp = 1; sp < ; sp++) { double xpotez = datx[ze]; // blde datx[ze]^sp for (t k = 1; k < sp; k++) xpotez = xpotez * datx[ze]; matrx[ze][sp] = xpotez; } } // matrx(,+1) auf rref-form (reduced row echelo) brge MatrxAc matrref = ew MatrxAc(matrx).rref(); // der Lösugsvektor (0..-1) steht da der rechte Spalte vo matrref double[] loesvektor = ew double[]; for (t ze = 0; ze < ; ze++) loesvektor[ze] = matrref.getelem(ze, ); Java-Methode zur Berechug vo Fuktoswerte f(x 0 ) mt dem HORNER-Schema : // double[] x, double[] a sd gegebe fx = a[]; for (t = -1; >= 0; --) fx = fx * x0 + a[];

4 E alteratver Asatz für das Iterpolatospolyom p(x) geht auf NEWTON zurück : p(x) = a 0 + a 1 (x-x 0 ) + a 2 (x-x 0 )(x-x 1 ) + a 3 (x-x 0 )(x-x 1 )(x-x 2 ) + + a (x-x 0 )(x-x 1 ) (x-x -1 ) kurz: å -1 Õ p( x) = a ( x - x ) = 0 k= 0 k Newtosches Iterpolatospolyom Deser Asatz führt auf e gestaffeltes LGS für de a, welches sch lecht löse lässt : p(x 0 ) = y 0 a 0 = y 0 p(x 1 ) = y 1 a 0 + a 1 (x 1 -x 0 ) = y 1 p(x 2 ) = y 2 a 0 + a 1 (x 2 -x 0 ) + a 2 (x 2 -x 0 )(x 2 -x 1 ) = y 2 p(x 3 ) = y 3 a 0 + a 1 (x 3 -x 0 ) + a 2 (x 3 -x 0 )(x 3 -x 1 ) + a 3 (x 3 -x 0 )(x 3 -x 1 )(x 3 -x 2 ) = y 3 p(x ) = y a 0 + a 1 (x -x 0 ) + a 2 (x -x 0 )(x -x 1 ) a (x -x 0 ) (x -x -1 ) = y Für das obge Bespel 1 mt 4 Stützstelle (0 ; -3) (6 ; 0) (8 ; 3) (9 ; 9) ergbt sch da: a 0 = -3 a 0 + 6a 1 = 0, also a 1 = 1/2 a 0 + 8a a 2 = 3, also a 2 = 1/8 a 0 + 9a a a 3 = 9, also a 3 = 11/72 Das Newtosche Iterpolatospolyom st folgerchtg p(x) = /2(x-0) + 1/8(x-0)(x-6) + 11/72(x-0)(x-6)(x-8) verefacht: p(x) = /2x + 1/8x(x-6) + 11/72x(x-6)(x-8) Umformug de Normalform: p(x) = /2x +1/8x² - 3/4x +11/72x(x²-14x+48) = /4x + 1/8x² + 11/72x³ 77/36x² + 22/3x Ergebs Normalform: p(x) = /12x 145/72x² + 11/72x³ Des etsprcht dem m obge Verfahre ermttelte Polyom! Bespel 2 mt 8 Stützstelle (0 0) (2 3,8) (4 8,5) (5 9,6) (7 15,4) (10 20) (15 29,1) (20 39) : p(x 0 ) = y 0 a 0 = 0 p(x 1 ) = y a 1 2 = 3,8, also a 1 = 19 / 10 p(x 2 ) = y ,9 4 + a = 8,5, also 8a 2 = 0,9 ud somt a 2 = 0,9/8 = 9 / 80 p(x 3 ) = y , , a = 9,6, also 15a 3 = -1,5875 a 3 = -127 / 1200 p(x 4 ) = y , , / a = 15,4, also 210a 4 = 371/40 a 4 = 53 / 1200 p(x 5 ) = y , / / / a = 20, also 83, a 5 = a 5 = -632/10 a 5 = -632/72000 = -79 / 9000 Aalog errechet ma: a 6 = / a 7 = /

5 Der Vortel der Newto-Methode legt der recht efache Berechug (ohe rref) sowe der Tatsache, dass ohe komplette Neuberechug eue Stützstelle hzugeomme werde köe. De vorherge Rechug ka da efach ohe Äderug überomme werde. Be der Berechug der Koeffzete a des Newtosche Iterpolatospolyoms trete Dvsoe ud Dffereze auf, dere Auswertug rekursv erfolge ka. De dvderte Dffereze für de a see mt f [ x 0, x 1,, x ] bezechet. Se werde folgedermaße rekursv berechet: Für vo 0 bs : f [ x ] = y Für k vo 1 bs : Für vo 0 bs -k: f [ x, x +1,, x +k ] = ( f [ x +1, x +2,, x +k ] - f [ x, x +1,, x +k-1 ] ) / ( x +k - x ) Das folgede Schema zegt de Awedug deser Rekursosformel: x y f [ x, x +1 ] f [ x, x +1, x +2 ] f [ x, x +1, x +2, x +3 ] = f [ x 0 ] 0-(-3) = 0,5 = f [ x 0, x 1 ] 6 0 1,5-0, = 0,125 = f [ x 0, x 1, x 2 ] ,5 0, = 1,5 = f [ x 1, x 2 ] = = f [ x 0,x 1,x 2,x 3 ] , = 1,5 = f [ x 1, x 2, x 3 ] = 6 = f [ x 2, x 3 ] Rot egezechet sd de errechete Koeffzete a. We ma seht, lässt sch das Schema ach ute durch Hzuahme euer Stützstelle erweter. Java-Methode zur Berechug der a ( vo 0 bs -1 ) : // double[] x, double[] y sd gegebe double[] a = ew double[]; for (t = 0; < ; ++) a[] = y[]; for (t ze = 1; ze < ; ze++) for (t sp = -1; sp >= ze; sp--) a[sp] = (a[sp] - a[sp - 1]) / ( x[sp] - y[sp - ze]); Java-Methode zur Berechug vo Fuktoswerte f(x0) mt dem HORNER-Schema : // double[] x, double[] a sd gegebe fx = a[]; for (t = -1; >= 0; --) fx = fx * (x0 - x[]) + a[];

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