Fakultät und Binomialkoeffizient Ac

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1 Faultät ud Biomialoeffiziet Ac Die Faultät (atürliche Zahl): Die Faultät Faultät ist so defiiert:! = ( - 1), wobei 0! = 1 Die reursive Defiitio ist: Falls = 0, da! = 1; sost! = ( - 1)! Die Ergebisse für! wachse eorm star, wesetlich stärer als die der Expoetialfutioe. 100 So übertrifft bereits 70! = 1, das Fassugsvermöge gewöhlicher Tascherecher. JAVA-Methode(iterativ): public static log Fa(it ) { log fa = 1; for ( it i = 2; i <= ; i++ ) fa = fa*i; retur fa; public static BigIteger FaBig(it ) { //! = 1*2*3*... * BigIteger fabig = BigIteger.ONE; for ( it i = 2; i <= ; i++ ) fabig = fabig.multiply(bigiteger.valueof(i)); retur fabig; Die reursive Methode ist achteilig wege eies mögliche Stac-Overflows! public static log FaRe(it ) { log fa = ; if ( == 0 ) retur 1; else FaRe = *FaRe(-1);

2 Azahl der Ziffer eier Faultät Will ma die Azahl der Ziffer eier Faultät herausfide, so gibt es u.a. folgede 2 Möglicheite, die auf die Logarithmierug zurücgehe: 1) Aus obiger Defiitio ergibt sich durch Logarithmiere der beide Seite: lg(!) = lg( ( - 1) ) = lg(1) + lg(2) + lg(3) lg( - 1) + lg( ) Wege lg(1) = 0 folgt da: lg(!) = ålg( i) i= 2 Aus dem Ergebis für lg(!) a ma sofort auf die Azahl der Stelle vo! schließe, de es gilt: (*) Azahl der Stelle vo! = (it)[1+å lg( i)] Am.: it bedeutet "Vorommaateil". i= 2 2) Stirlig-Formel: l(2 p ) 1 l(!)» (l( ) - 1) + + ( modifizierte Stirlig-Formel) 2 12 Auch hier wird Formel (*) agewadt, ur dass statt der Summe der Term der Stirlig-Formel eigesetzt werde muss! Währed Formel (1) exat gilt, jedoch für große aufwedig zu bereche ist, gilt Formel (2) ur äherugsweise, ist aber auch für große schell zu bereche. Die folgede Tabelle gibt eie Eiblic i die Brauchbareit der beide Formel uter Awedug vo Formel (*) : Azahl der Ziffer! Summeformel 1) mod. Stirlig-Formel 2) Beide Formel sid also sehr brauchbar! Eie Formel für die Azahl der Edulle vo! ist: (it)log 5 Azahl der Edulle vo! (it) = 1 5 = å Beispiel: =125: Azahl Edulle vo 125! = [125/5] + [125/25] + [125/125] = = 31.

3 Der Biomialoeffiziet: Der Biomialoeffiziet über ist für so defiiert: æ ö! ç = è! ( - )! mit æ ö æ ö ç = ç è - è æ ö æ ö ud ç = ç = 1 è 0 è. Durch Kürze vo! gege (-)! lässt sich die Formel och vereifache: æ ö! ( -1)( - 2)... ( - ( - 2)) ( - ( -1)) ç = = = è! ( - )! ( - 2) ( - 1) ( - + 1) ( - + 2)... ( - + ( - 1)) ( - + ) - + i = Õ ( - 2) ( - 1) i i = 1 Der Vorteil ist, dass hier alle Zwischeergebisse atürliche Zahle sid ud die Rechug schell ist. Reursiv gilt: æ ö æ -1ö æ -1 ö - ( -1) æ ö æ ö ç = ç + ç = ç, > 0 ; ç = 1 è è -1 è è -1 è 0 JAVA-Methode(iterativ): public static log UeberK(it,it ) { if (<) retur 0; if (<2*) = -; if (==1) retur ; if (==0) retur 1; log bi = -+1; for (it i=2; i<=; i++) bi = bi*(-+i)/i; retur bi; public static BigIteger UeberKBig(it, it ) { if (<) retur BigIteger.ZERO; if (<2*) = -; if (==1) retur ew BigIteger(Strig.valueOf()); if (==0) retur BigIteger.ONE; BigIteger bibig = BigIteger.valueOf(-+1); for (it i=2; i<=; i++) bibig = bibig.multiply(bigiteger.valueof(-+i)).divide(bigiteger.valueof(i)); retur bibig; JAVA-Methode(reursiv): public static log UeberKRe(it,it ) { if (<) retur 0; if (<2) = -; if (=1) retur ; if (=0) retur 1; else retur UeberKRe(-1,-1)+UeberKRe(-1,);

4 Approximative Berechuge (STIRLING-Formel): Nicht immer sid atürliche Zahle zur Berechug vo Faultät oder Biomialoeffiziet geeiget. Selbst der JAVA-Datetyp BigIteger tut sich bei große Zahle (15 oder mehr Stelle) schwer. Als Ausweg öe Approximatioe mithilfe der Stirlig-Formel diee: Stirlig-Reiheetwiclug für! : l(2 p ) (- 1) B l(!) = (l( ) - 1) (2-1) B 2 ist hierbei die so geate 2-te Beroullizahl ( = 1 gilt für 1/(12) ) j æ + ö 1 æ + 1- j + i ö B ist reursiv defiiert wie folgt: B0 = 1 ; B = - åç Bj = - åç Õ B j + 1 j= 0 è j + 1 j= 0 è i= 1 i Achtug: B 2+1 = 0 ab = 1!! Berechug eiiger Beroullizahle durch reursive Java-Methode mit Bruchlasse : B 0 = 1 B 1 = -1/2 B 2 = 1/6 B 3 = 0 B 4 = -1/30 B 5 = 0 B 6 = 1/42 B 7 = 0 B 8 = -1/30 B 9 = 0 B 10 = 5/66 B 11 = 0 B 12 = -691/2730 B 13 = 0 B 14 = 7/6 B 15 = 0 B 16 = -3617/510 B 17 = 0 B 18 = 43867/798 B 19 = 0 B 20 = /330 B 21 = 0 B 22 = /138 Nu wieder zurüc zur Stirlig-Reihe: Bricht ma die Reihe ach dem zweite Summade ab, so ist der absolute Fehler leier als 1/(12). Für >1000 geügt der erste Summad, um de relative Fehler leier als 1% zu halte! Für sehr große wird der relative Fehler och leier. Wie erhält ma u!? Es ist icht möglich, 10^lg(!) für sehr große zu bereche, weil diese Zahl für ormale Recher zu groß ist. Ma muss stattdesse eie Umformug vorehme, um vo l(!) auf das gesuchte! zu schließe. Ma bildet zuächst: l(!) / l(10) = lg(!). Jetzt hat ma eie eue Dezimalzahl, dere Vorommastelle de Expoete der Zeherpotez vo! azeigt. Der Expoet ist also expo := it(lg(!)). Ma otiert da eifach de Strig 10^expo. Die Matisse stect im Nachommateil vo lg(!), ud zwar berechet ma: mat = 10^frac(lg(!)). Der gesuchte Gesamtstrig setzt sich da zusamme aus: mat ud *10^expo. Ergebis:! = 10^frac(lg(!)) * 10^it(lg(!)) Beispiele: l(56!) 56 (l(56)-1) + l(112π)/2 + 1/672 1/ , Also ist 56! 7, *10 74 l(500!) 500 (l(500)-1) + l(1000π)/2 + 1/6000 1/4,5* , Also ist 500! 1, * l(12000!) (l(12000)-1) + l(24000π)/2 + 1/6,2208* /3, * ,5584 Also ist 12000! 1, * Ebeso 50000! 3, *

5 Stirlig-Reiheetwiclug für über : Uter Verwedug der Stirlig-Formel für! l(2 p ) (- 1) B l(!) = (l( ) - 1) (2-1) a ma auch eie Approximatiosformel für de Biomialoeffiziete über l herleite. Nimmt ma obige Reihe bis zum Glied 1/(12), so ergibt sich! l æ ç ö = l l(!) l(!) l(( )!)! ( ) = = è -! l() + l(2π)/2 + 1/(12) - l() + - l(2π)/2-1/(12) - (-) l(-) l(2π(-))/2 1/(12(-)) = l() - l() - (-) l(-) + ( l(2π) - l(2π) l(2π(-)) ) / 2 + (1/ 1/ 1/(-)) / 12 = l() - l() - (-) l(-) + ( l(2π)+l() - l(2π)-l() l(2π)-l(-) ) / 2 + (1/ 1/ 1/(-)) / 12 = l() - l() - (-) l(-) + ( l() - l() l(2π) - l(-) ) / 2 + (1/ 1/ 1/(-)) / 12 Also erhalte wir die Näherugsformel: æ l ö ç» è (+0,5) l() (+0,5) l() (-+0,5) l(-) l(2π) / 2 + (1/ 1/ 1/(-)) /12 gültig für, > 0 ud > æ ö Auch hier wird wieder die Beziehug l ç verwedet. æ ö lg = è ç è l(10) Die weitere Vorgehesweise ist aalog zu der bei de Faultäte. Beispiele: æ300ö l ç» è ,5 l(300) 150,5 l(150) 150,5 l(150) l(2π) / 2 + (1/300 1/150 1/150 ) /12 204, æ300ö l ç / l(10)» è150 88, æ300ö ç» è150 9, *10 88 Ebeso æ15000ö ç» è , * ( mit BigIteger berechet)