Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

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1 Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-, Wurzel-, Vergleichs-, Leiiz-Kriterium auf asolute Kovergez: a d g 3 l e h 3! c l + f si i Lösugshiweise: a Quotietekriterium QK: a + a + QK: a + a 3+ +! + + 3! 3 c Alterierede Reihe: l 0, l > l + 0 l + > <, koverget e >, diverget., koverget Leiitz-Kriterium. d QK: a + a l l + l l l + l + l +, icht + l + l etscheidar. Notwedige Kovergezedigug a 0 ist erfüllt. Jedoch gilt l > diverget, harmoische Reihe ist divergete Mio- l < rate. + e QK: a + l + + a l + l l l l l + + l + l e, icht etscheidar. Notwedige Kovergezedigug + l e a 0 ist erfüllt. Die direkte Berechug der -te Partialsumme ergit S l + k l k+ k l k + l k + l +, d.. S wächst mit ueschräkt. f QK: a + a > 0! 0 < < a + <, koverget. a a + a, icht etscheidar; direkt +, estimmt diverget.

2 > a + a , icht etscheidar; jedoch gilt a +, otwedige Kovergezedigug icht erfüllt, diverget. + g Die Reihe ist diverget, wege lim a lim ist die otwedige Kovergezedigug icht erfüllt. h Wege si < N gilt a si Reihe asolut koverget ach Vergleichskriterium, de Vorlesugseispiel. + i QK: a + + a si < ud folglich ist die etrachtete + ist eie kovergete Majorate , icht etscheidar. Notwedige Kovergezedigug a 0 ist erfüllt. Jedoch gilt für > > + + > ud folglich ist die etrachtete Reihe diverget ach Vergleichskriterium, de die hale harmoische Reihe ist divergete Miorate Vorlesugseispiel.. Bereche Sie Reihesumme: a k k+ 3 k c k k k Lösugshiweise: k a k lim lim k lim der Summeformel für die Glieder eier geometrische Folge c k k+ lim 3k k k lim lim k 4 k 4 k k lim [ + k 3 lim k k k lim , uter Verwedug q k q q lim [ k k ]. ] k 4 7 lim.. 3. a Begrüde Sie die Kovergez vo S Utersuche Sie Lösugshiweise: p k 8 k 3 k+ ud ereche Sie S. auf Kovergez i Ahägigkeit vo p R.

3 a S 8 k 3 k+ 4 8 k k k S 3. Mit der Berechug vo S ist auch die Kovergez der Reihe achgewiese. Nur Kovergez erhält ma z.b. aus dem Quotiete-Kriterium: a k+ a k 8k 3k+ 3k+3 8 k 8 < koverget. Quotiete-Kriterium: a k+ a k p k+ k + 4 p k p k + 4 p koverget, falls p <, diverget, falls p >. p, diverget, harmoische Reihe. p k, koverget, Leiiz-Kriterium. 4. Gegee sei die Reihe a k p k + 5k ud Für welche reelle p kovergiere die Reihe? Bereche Sie für die Reihe aus die Reihesumme für p 3. 3 k+ p k. Lösugshiweise: a k p k + 5k Quotietekriterium: a + a + p p p p p. Demach kovergiert die Reihe für p < p < ud divergiert für p >. Die Pukte mit p, d.. p ± sid gesodert zu utersuche: p ± : k ± k + 5k k + 5k. Die Reihe alteriert, die Beträge der Glieder sid mooto falled. I eide Fälle kovergiert die Reihe ach dem Leiiz-Kriterium. Die gegee Reihe kovergiert also für p zw. p ud ist sost diverget. Bemerkug: Owohl die Reihe für p 0 alteriered ist, sollte ma hier icht versuche, Kovergezutersuchuge allei mit dem Leiiz-Kriterium durchführe zu wolle. Wege der Ahägigkeit vo dem Parameter p ist die Utersuchug darauf, o ud für welche p die

4 Beträge der Glieder eie mootoe! Nullfolge ilde, icht so eifach durchzuführe wie etwa die Awedug des Quotietekriteriums. Dazu kommt och, dass das Leiiz-Kriterium ur hireiched ist. Für eie Divergezachweis ist es deshal icht geeiget, weil eie alterierede Reihe auch da koverget sei ka, we die Beträge der Glieder eie Nullfolge ilde, die icht mooto ist. Ist die Folge der Glieder keie Nullfolge, so divergiert die Reihe atürlich, aer das wege der otwedige Kovergezedigug ud icht ach dem Leiiz-Kriterium. 3 k+ p k 3 3 p k ist das -3-fache eier geometrische Reihe der Form q k, die ekatlich für q < kovergiert ud da die Summe q esitzt. Folglich kovergiert die gegeee Reihe für 3 p 3 p < p > 3 p ; 3 3 ; ud esitzt für p 3 die Summe S 3 3 k 6 3 k Lösugsvariate für Kovergezutersuchug: Quotietekriterium: a + a 3 + p + p p 3 p <. 3 Wurzelkriterium: a + p p p <. Da sid aer och die Pukte mit p 3 : 3 k+ 3 k 3 p, p ±3 3, p 3 : gesodert zu utersuche: 3 k+ 3 k k+ 3. I eide Fälle liegt Divergez vor, weil die otwedige Kovergezedigug lim a 0 icht erfüllt ist. Bemerkug: Für p < 0 ist die etrachtete Reihe keie alterierede Reihe! Ma sollte hier icht versuche, Kovergezutersuchuge allei mit dem Leiiz-Kriterium durchführe zu wolle. Vergleiche dazu auch die Bemerkuge zur Lösug der Aufgae a 5. Zeige Sie mit Hilfe des Majoratekriteriums, daß die alterierede Reihe a mit positive a 3 + asolut kovergiert, owohl die Folge a der Beträge ihrer Glieder keie mootoe Nullfolge ist. Ei Beispiel dafür, daß das Leiiz-Kriterium ur hireiched ist. Lösugshiweise: Es gilt a 3 + 4, gerade, ugerade die Folgeglieder sid also positiv ud wege a a 4 ist die Reihe asolut koverget ach Majoratekriterium die Reihe 4 ist kovergete Majorate.

5 Weil u für gerade gilt aer für ugerade 3 gilt ist die Folge der a a + a a + a + 4 icht mooto falled. < >, + Die letzte Aschätzug ist icht offesichtlich, folgt aer z.b. daraus, daß + > + > > + > >,4