Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übungen

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1 Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 3 (aus: K. Hefft, Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 3.1: Graphische Darstellug vo Folge Veraschauliche Sie sich die besprochee Folge durch graphische Darstellug. Projiziere Sie die Pukte auf die 2-Achse. F1) () ǫn F2) [( 1) +1 ] ǫn F3) ( ) 1 ǫn F4) ( ) 1 ǫn F5) ( ) +1 ǫn F6) (q ) ǫn,qǫr ( ) F7) ( 1) +1 F8) ( 1 2 )ǫn ǫn F9) ( q ) ǫn F10) [( ) ] ǫn

2 Aufgabe 3.2: Beschräktheit vo Folge Utersuche Sie die besprochee Folge auf Beschräkheit. Eie Folge hei t ach obe bzw. ach ute beschräkt we gilt: B : a B N bzw. A : A a N Für ( ) ist A = 1/2 ud B = 1. Für (q ) ist die Folge für q < -1 ubeschräkt, ist A = q ud B = q 2 für -1 < q < 0, ist A = 0 ud B = q für 0 < q < 1 ud ist A = q für q > 1. Mathematisch exakte Beweise dafür lasse sich dadurch gebe, dass ma die globale Maxima der Folge, sowie das Verhalte für betrachtet.

3 Aufgabe 3.3: Mootoie vo Folge Utersuche Sie die besprochee Folge auf Mootoie. ist streg mooto steiged, da für aufeiader folgede Folge- ( ) glieder gilt: + 2 = 1 ( + 2)() > 0 N (q ) ist für q < 0 eie alterierede Folge ud daher icht mooto, ist für 0 < q < 1 streg mooto falled, ist für q = 1 mooto ud ist für q > 1 streg mooto steiged. Alle Fälle lasse sich aus der Differez vo zwei aufeiader folgede Folgeglieder mathmatisch beweise: q +1 q = q (q 1) q R N Aufgabe 3.4: Kovergez vo Folge a) Utersuche Sie die besprochee Folge auf Kovergez. ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 = (q ) { 0 für q < 1 icht kov. für q > 1 b) Bereche Sie, damit Sie vorsichtig werde, die erste zeh Glieder der Folge a = 0.9 ud vergleiche Sie mit a 60. Bereche Sie die erste zeh Glieder der Folge a = 10 ud vergleiche Sie auch hier mit a 60. a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 0, 9 0,9 1,62 2,19 2,62 2,95 3,19 3,35 3,44 3,39 3, ,1 0,02 0,006 0,0024 0,0012 0,0007 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 a a 60 0, 9 0, ,

4 c) Die Folge, die abwechseld aus de Glieder vo (F1) ud (F3) besteht, also a 2+1 = ud a 2 = 1 hat ur eie eizige Häufugspukt, ämlich 0. Kovergiert sie gege 0? Nei, die Folge kovergiert icht gege 0, da die Teilfolge a 2+1 icht koverget ist ud sich damit keie Epsilo-Umgebug vo 0 fide lässt, die alle Folgeglieder ab eiem gewisse eischließt. Aufgabe 3.5: Arithmetische Folge Zusatzaufgabe a) Sei (a ) eie arithmetische Folge mit a 2 = 6, a 5 = 15. Gebe Sie a 1 ud d a. Aus der allgemeie Formel a = a 1 + ( 1)d folgt durch Eisetze der gegebee Werte das Gleichugssystem a 2 = a 1 + d = 6 a 5 = a 1 + 4d = 15 d = 3 a 1 = 3 b) Zeige Sie: Ist (a ) eie arithmetische Folge, da gilt: a = a +1 + a 1 2 Awede der Defiitio eier arithmetische Folge führt zu folgedem Gleichugssystem, das durch Elimiatio vo d die Behauptug ergibt: a +1 a = a + d = a 1 + d Aufgabe 3.6: Geometrische Folge Sei (a ) eie geometrische Folge. Alle Glieder seie positiv. Zeige Sie, dass da gilt: a = a 1 a +1 Awede der Defiitio eier geometrische Folge führt zu folgedem Gleichugssystem, das durch Elimiatio vo q die Behauptug ergibt: a +1 a = q a = q a 1

5 Aufgabe 3.7: Geometrische Folge 1 Bei durchdrige eier Glasplatte verliert ei Lichtstrahl seier Heilligkeit. Der 15 Strahl geht durch 10 solcher Platte. Wieviel Prozet seier ursprügliche Helligkeit hat er verlore? Bei eier Ausgagsitesität vo I 0 ist der Lichtstrahl ach Durchdrige vo Platte ur och I = q I 0 mit q = ( ) = I 10 = ( 14 15) 10 I0 = 0, 5016 I 0 Der Strahl verliert demach 49,84% seier Helligkeit. Aufgabe 3.8: Ziseszis Ei Kapital vo K 0 = EURO werde auf ei Sparbuch mit eiem Zissatz vo p = 3.5% agelegt. Auf welche Wert ist das Kapital ach eiem Jahr, zwei Jahre, 10 Jahre agewachse? Aalog zur voragegagee Aufgabe stellt ma das Kapitalwachstum dar als K = q K 0 mit q = (1 + 0, 035) = 1, 035 K 1 = EURO K 2 = 10712, 25 EURO K 10 = 14105, 99 EURO Aufgabe 3.9: Wurzel ( ) Beutze Sie die Iteratiosformel x +1 = 1 x 2 + a x um die Quadratwurzel vo a = 4 bzw. a = 2 äherugsweise zu bereche. Bereche Sie dazu jeweils die erste 5 Folgeglieder ud begie Sie i beide Fälle mit dem Startwert x 0 = 1. x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a = 4 1 2,5 2,05 2, , ,00000 a = 2 1 1,5 1, , , ,41214

6 Aufgabe 3.10: Quotietekriterium Zeige Sie mit dem Quotietekriterium, dass a) die Reihe 2 =0 sowie die Reihe 4 2 =0 kovergiere. 3 lim sup () = lim sup () = lim sup < 1 lim sup () = lim sup () < 1 b) die verallgemeierte Expoetialreihe exp(x) := x =0 für alle reelle x kovergiert. lim sup x +1 ()! x = lim sup x < 1 x R