(8) FOLGEN und REIHEN

Transkript

1 Folge ud Reihe ÜBUNGEN Bestimme die gegeseitige Lage der Ebee ud gib die gemeisame Pukte bzw. Gerade a. x+4y - 6z= x + y - z = 4x - 4y+4z=0 x + y z = 0 x - y+z = x + y + z = x+y -5z= 4x - 7y+z= -x+y -z=8 (8) FOLGEN ud REIHEN a) Der VECTOR-Befehl Um Folgeglieder zu bereche oder eizele Werte eier Folge zu bestimme eiget sich besoders der VECTOR-Befehl. Er hat eigetlich ichts mit eiem Vektor im geometrische Sie zu tu, trotzdem ka ma die VECTOR-Fuktio als mehrdimesioale Vektor auffasse. Folgede Parameterwerte ka die VECTOR-Fuktio beihalte: VECTOR(u,x,) u ist ei Term vo x, x ist die (Lauf)variable (wird immer um erhöht) ud ist die größte gaze Zahl vo begied. VECTOR(x-,x,0) liefert ach Eigabe i die Authorezeile VECTOR immer groß geschriebe ud Vereifache die Reihe [,, 5, 7, 9,,, 5, 7, 9] VECTOR(u,x,m,) u ist ei Term vo x, x ist die (Lauf)variable (wird immer um erhöht) ud läuft vo m bis. VECTOR(x-,x,4,0) liefert die Folgeglieder ab Idex 4 bis 0. [7, 9,,, 5, 7, 9] Die Eigabe VECTOR(x-,x,0,0) liefert das 0. Folgeglied, ämlich 9! VECTOR(u,x,m,,s) u ist ei Term vo x, x ist die (Lauf)variable ud läuft vo m bis mit der Schrittweite s. VECTOR(x-,x,4,0,) liefert alle Folgeglieder mit geradem Idex, also [7,, 5, 9] D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite 7 vo 4

2 FOLGEN ud REIHEN Will ma Folgeglieder grafisch darstelle so ka dies ebefalls mit dem Vektorbefehl geschehe oder mit der Tabellefuktio Aalysis/Tabelle. Der Befehl VECTOR([x,x-],x,0) liefert eie Tabelle der erste 0 Folgeglieder ud ka im Grafikfester dargestellt werde. b) Arithmetische Folge Gegebe sid die die Glieder eier arithmetische Folge a =5, a 5 =0 - Bereche de Folgeterm - Bereche das. Glied der Folge - Überprüfe, ob a 9 =4 dieser arithmetische Folge agehört. - Stelle die Folgeglieder a a 0 grafisch dar. Um de Folgeterm zu bereche, müsse wir ei Gleichugssystem i Variable löse (Löse/Gleichugssystem): 5=k +d 0=5k +d Wir erhalte als Lösuge für k=5 ud d=5 Nu köe wir ach dem Gesetz der arithmetische Folge a =k+d die Folge defiiere als a:=5+5 Das. Glied der Folge bereche wir mit dem Vektorbefehl VECTOR(a,,,) ud erhalte 0. Das 9. Glied wir aalog überprüft mit VECTOR(a,,9.9) ud erhalte 50. Also ist a 9 =4 kei Folgeglied. Die grafische Darstellug erfolgt mit VECTOR([,a],,0) ud aschließedem Zeiche. Lösug als Derive-File ÜBUNGEN: a 6 =-, a 0 =-7 Fragestelluge wie im Beispiel obe Gegebe ist die Folge a = - Gib eie rekursive Darstellug der Folge i Form a =a +(-)k a. Bereche die Folgeglieder a 5..a 5 Ist 7 ei Glied der Folge? We ja, welche Idex hat 7? D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite 8 vo 4

3 FOLGEN ud REIHEN c) Geometrische Folge Gegebe sid Glieder eier geometrische Folge: b =4, b 6 = - Gib eie rekursive Darstellug der Folge a - Gib eie explizite Darstellug der Folge a - Bereche die erste 0 Glieder der Folge - Stelle die erste 0 Glieder grafisch dar. - Überprüfe, ob ei Glied der Folge ist. 8 - Stelle eie Vermutug über die Mootoie der Folge a ud beweise sie (schriftlich formuliere). Wir stelle als Eigabeformat auf Wort (Extras/Eistelluge/Eigabe) ud defiiere b:=4 ud b6:=. Aus der Gleichug b6=b*q^ bereche wir q=0.5 ud köe die rekursive Darstellug b + =b *0.5 eigebe. Für die explizite Darstellug bereche wir b aus b=b*q^ ud erhalte b=96. Damit ist die explizite Darstellug der Folge gegebe durch: b :=96*0.5^(-). Die erste 0 Folgeglieder bereche wir wieder mit Hilfe der VECTOR-Fuktio: VECTOR(b,,,0). Ob ei Glied der Folge ist überprüfe wir mit der Gleichug =b*0.5^ ud bereche. Ist 8 8 eie atürliche Zahl, da gehört 8 der Folge a. Wir löse die Gleichug ach ud erhalte =. Somit ist 8 das. Glied der Folge. Wir vermute, dass die Folge streg mooto falled ist. Also setze wir statt de Term + ei ud schreibe die Gleichug 96*0.5^(-)= 96*0.5^ i die Authorezeile. Vereifache liefert de Wert true. Also ist usere Vermutug richtig. Warum das so ist hägt mit dem Wert 0.5 i der Formel zusamme. Lösug als Derive-file ÜBUNGEN Vo eier geometrische Folge ket ma das. Glied b =8 ud q=. Gib eie rekursive ud explizite Darstellug der Folge a, bereche die erste 0 Glieder der Folge, stelle eie Vermutug über die Mootoie auf ud beweise sie Utersuche, ob die agegebee Glieder eier geometrische Zahlefolge agehöre: b =0., b 5 =0.00, b 7 = We ja, gib eie explizite ud rekursive Darstellug der Folge a. D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite 9 vo 4

4 FOLGEN ud REIHEN d) Mootoie ud Grezwert eier Folge Will ma etwa de Folgeterm auf Mootoie utersuche, so hat ma beim + Beweis das Problem, dass Derive Ugleichuge mit Bruchterme icht weiter vereifacht. Also ist ma gezwuge, de gemeisame Neer wegzumultipliziere. Natürlich uter der Voraussetzug, dass der Neer stets >0 ist, was ja bei εn meist der Fall ist. Auch bei de weitere Äquivalezumformuge verhält sich Derive icht so, wie vo us gewüscht. Daher müsse wir Derive eher zwige, was zu tu ist. Für die Bestimmug des Grezwert hat Derive die Fuktio vorgesehe. Es erscheit das abgebildete Fester, wo die gewüschte Variable ud die Aäherug a die Variable eigesellt werde ka. Für die Aäherug a gibt es i der like utere Zeichetafel das etsprechede Symbol i der obere Reihe. Sehe wir us also das Beispiel x = + geauer a. Gebe wir die Folge x:= + ei ud bereche die erste 5 Glieder der Folge, so vermute wir, ( + ) dass die Folge streg mooto steiged ist. Also setze wir die Ugleichug > a. + + Drücke wir Vereifache, tut sich gar ichts. Wir müsse also hädisch mit dem gemeisame ( + ) ( + )( + ) > ( + )( Neer multipliziere. Der Ausdruck sieht da so aus: ). Diese Ausdruck vereifacht Derive zu (+) > (+) Nach Vereifache/Multipliziere bekommt ma + ++> +. Nu erket ma dass diese Ugleichug für alle εn Gültigkeit hat. Will ma dies aber och deutlicher zeige, etwa mit ++>0 so muss ma wieder hädisch auf beide Seite - eitippe ud aschließed Vereifache. So kompliziert der Nachweis der Mootoie war, so eifach ist das Auffide des Grezwertes der Folge für ->. Wir markiere de Folgeterm klicke auf das Ico, gebe im aschließede Dialogfester bei Grezpukt ei ud erhalte als Ergebis. Begrüdug durch Dividiere jedes Termglieds durch die höchste vorkommede Potez vo. D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite 0 vo 4

5 FOLGEN ud REIHEN Beispiel Gegebe ist die Folge x = - Stelle Vermutuge über die Mootoie a, i dem du die erste 0 Glieder der Folge berechest ud beweise die Mootoie. - Bereche de Grezwert der Folge (Begrüdug!!) - Ab welchem Idex liege alle Folgeglieder ierhalb eier Umgebug vo ε= 00 Wir stelle die Eigabe wieder auf Wort (Extras/Eistelluge/Eigabe) ud tippe de Folgeterm x : = ei. Mit VECTOR(x,,,0) vermute wir fest, dass die Folge streg mooto steiged ( + ) ist. Die Ugleichug > muss gelöst werde. Wir multipliziere beide Seite der ( + ) Ugleichug mit (+)*^ ud erhalte > Ziehe wir vo beide Seite ab, so ergibt sich >-0.5 ud das ist für alle εn gültig. DerGrezwert wird über das etsprechede Ico agewählt ud liefert. Um de Idex des Folgegliedes zu bestimme, ab welchem alle Werte ierhalb vo liege, 00 muss ma die Ugleichug < 00 x. Ma erhält zwei Lösuge (<-0, >0), wo ur die. Lösug zutreffe ka. Also ist der Idex ab dem alle Folgeglieder ierhalb vo /00 liege. Berechug der Euler sche Zahl e Die Folge + liefert für -> die Euler sche Zahl e ( ) Wir wolle die erste 0 Folgeglieder bereche. VECTOR( +,,,0) liefert us Werte vo bis,65 also die Vermutug, dass die Folge streg mooto steiged ist. Wede wir die Limes-Fuktio vo Derive a, so sehe wir, dass ach Vereifache ud Approximiere, der Wert agezeigt wird. Bereche u das 00 ud das 0.000te Glied der Folge. 00. Glied: Glied: Die Aäherug wird immer besser ud die Folgeglieder steige weiter streg mooto. ÜBUNGEN: I de folgede Übuge soll die Mootoie bewiese, der Grezwert agegebe ud für e=/00 der Idex, ab welchem alle Folgeglieder um de Grezwert liege, berechet werde: + 6 x =, x =, x =, x + = + D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite vo 4

6 FOLGEN ud REIHEN e) REIHEN Reihe sid bekatlich ichts aderes als die Summe der eizele Folgeglieder eier Reihe. Derive hat dafür ei eigees Symbol parat, ämlich das große griechische Sigma Σ, das ja auch gere i de Mathematikbücher als Summesymbol diet. Wolle wir z.b. die Reihe der arithmetische Folge a =+ für die erste 5 ( a Folgeglieder bestimme, so brauche wir icht auf die Summeformel S= + a ) zurückgreife, soder köe direkt das Summesymbol Σ i der Symbolleiste awähle. Also a =+ Bereche die erste 5 Folgeglieder ud daach die arithmetische Reihe Nachdem wir die Folge über a:=+ defiiert habe ud über de Befehl VECTOR(a,,,5) die Werte [5, 7, 9,, ] erhalte habe, markiere wir i der Defiitio der Folge a:=+ de Folgeterm ud tippe aschließed auf das Summezeiche Σ.. Es öffet sich das utestehede Fester. Im Feld Variable soll markiert sei, im Feld Summe brauche wir die bestimmte Summe die obere Greze ist 5, die utere. Nach Bestätigug mit der Eter-Taste zeigt us Derive die Summeeigabe a ud ach Klicke auf Vereifache (=) erhalte wir 45. ( a Wir köe dies auch mit der Formel + a ) überprüfe! Aalog köe wir atürlich auch geometrische Reihe bilde Bereche die Summe der folgede Reihe: +0,+0, +0,.+0, 7 = Hier ist es vorteilhaft das Bildugsgesetz zu bestimme: Die Folgeglieder gehöre eier geometrische Reihe b mit q=0, a, Also lautet b =0, -. Defiiert ma u b:=0,^(-), markiert de Term 0,^(-), tippt auf das Σ ud gibt für die D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite vo 4

7 FOLGEN ud REIHEN 95 obere Greze 7 ei, so erhält ma ud ach Approximiere, Überprüfe dies auch 565 q mit der Formel b. q Nu zu eiem Beispiel für uedlich geometrische Reihe Ei Gummiball fällt aus m Höhe, steigt da um 0,8m wieder auf, steigt ach dem ächste Hiuterfalle um 0,64m auf, usw Die Höhe bilde dabei eie geometrische Folge. Welche Weg legt der Ball isgesamt zurück? Wir sehe, dass die Höhe immer um 0,8 kleier werde. Allerdigs legt der Ball auch de gleiche Weg wieder ach ute zurück. Also lautet das Bildugsgesetz für die zugehörige geometrische Folge: b:=*0,8^(-). Dabei ist aber die Starthöhe vo m och icht berücksichtigt. Also defiiere wir die geometrische Folge derart: b= ud b=*0,8^(-), wobei =,,.. Zur Kotrolle userer Überleguge defiiere wir die geometrische Folge b:= *0,8^(-) ud die erste 5 Glieder der Folge über VECTOR(b,,,5). Achte auf de Startwert =! Es ergebe sich die Folgeglieder [.6,.8,.04, 0.89]. Für die Reihe markiere wir wieder de Term *0,8^(-), wähle das Σ-Symbol a, als utere Greze gebe wir ei ud als obere Greze. Wir bestätige mit Eter ud sehe die Summeformel markiert im Algebrafester. Mit F kopiere wir sie i die Authorezeile ud addiere das. Folgeglied hizu. Bestätige mit Eter liefert im Algebrafester die Summeformel (i Klammer) vermehrt um ud ach Vereifache das gewüschte Ergebis, ämlich 9. ÜBUNGEN: Arithmetische Reihe: 0,5++,5+ +0= (t-)+t= Geometrische Reihe: 0+0*.+0* *. 9 = +b+b +.+b k- = Uedliche Reihe: Durch forlaufedes Aeiaderfüge vo Quadrate etsteht eie Treppe mit uedlich viele Stufe. Die Seiteläge der Quadrate verkürze sich bei jedem Schritt m ei Viertel. Das erste Quadrat hat eie Seiteläge vo 0,5m. Bereche die Gesamtläge der Trittfläche Eiem Kreis vom Radius r=0 wird ei Quadrat eigeschriebe, diesem wieder ei Kreis, dem Kreis wieder ei Quadrat usw Bereche die Summe der Flächeihalte der Quadrate. Bereche die Summe der Umfäge aller Kreise. Spezielle Reihe: der Folge /! der Folge (-) *5/ D:\Derive\DERIVE_Eif.doc Seite vo 4