Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen

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1 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie l x 50 löse (Fixpukt-Iteratio) x ka ma äherugsweise über Folge Jede Simulatio im Computer zerlegt die Zeit i kleie Schritte ud berechet somit Folge f(t 0 ) f(t ) f(t )... >> WPF Spiele Simulatio ud Dyamische Systeme. Laufzeit vo Algorithme Worst-case-Abschätzug durch obere Abschätzug zu bekate Folge. Oftmals schreibt ma ei Programm ud ka es für kleie Mege (z.b. =0) austeste aber i der Praxis wird es mit viel größere Mege (z.b. = ) laufe. Wie ist das Verhalte im Grezwert großer Zahle? Dies führt auf Folge ud die Ladausche O()-Notatio. Ü Erstes Beispiel: Für dieselbe Aufgabe braucht ei Algorithmus A 00 + Schritte ei Algorithmus B braucht 5 Schritte. Welcher Algorithmus ist für große scheller? Zweites Beispiel: Ei Mitarbeiter Ihrer Abteilug hat herausgefude dass es für ei bestimmtes Optimierugsproblem zwei mögliche Algorithme gibt dere Laufzeit i Abhägigkeit vo der Problemgröße wie folgt skaliert: Algorithmus C: C ( )! Algorithmus D: D 000 ( )!( ) Welche Algorithmus ehme Sie we Sie für sehr große scheller sei wolle? Die Sache ist schwierig zu überblicke wie löst ma Aufgabe dieser Art systematisch? Lösug i Vorlesug (am Ede des Kapitels ).. Defiitio ud Eigeschafte vo Folge Wir hatte ja bereits zur Defiitio reller Zahle de Begriff der Zahlefolge beötigt. I diesem Kapitel soll der Begriff weiter vertieft werde. Def D-: Zahlefolge Uter eier (uedliche) Zahlefolge versteht ma eie eideutige Abbildug der Mege N der atürliche Zahle auf eie Zahlebereich. ( a ) N aa a... Die Zahle a a a... heiße Glieder der Folge a ist das -te Glied. Beispiel: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 4

2 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS ) a N d.h. ( a ) (Bem.: a 0) 4 Weitere Beispiele i Vorlesug Def D-: Mootoie vo Folge Eie Folge heißt: mooto wachsed () falls für alle N gilt: a a streg mooto wachsed falls für alle N gilt: a a mooto falled () falls für alle N gilt: a a streg mooto falled falls für alle N gilt: a a Def D-: Beschräktheit vo Folge Sei N. Eie Folge heißt: ach obe beschräkt (.o.b.) falls ei K R existiert so daß für alle gilt: a K ach ute beschräkt (.u.b.) falls ei k R existiert so daß für alle gilt: a k beschräkt falls sie ach obe ud ute beschräkt ist. Beispiele:.) a N d.h. ( a ) Die Folge ist streg mooto wachsed ud beschräkt z.b. k = 0 K =..) a N d.h. ( a ) Die Folge ist mooto falled ud beschräkt z.b. k = 0 K =. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 5

3 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS Grezwert eier Zahlefolge Eiführugsbeispiel (a ) ( ) i Vorlesug Def D-4: Grezwert eier Folge g heißt Grezwert (Limes) der Folge (a ) falls es zu jedem > 0 eie atürliche Zahl o () gibt so daß für alle ( ) gilt: o a g Existiert der Grezwert eier Folge da heißt die Folge koverget. Ma schreibt: lim a g oder a g Eie Folge die keie Grezwert besitzt heißt diverget. Aschaulich: Gibt es eie "-Schlauch" i dem schließlich alle Folgeglieder liege? BEACHTE: Grezwert ud (obere/utere) Schrake sid icht dasselbe!! Die Folge (a )=(-) / =... hat die utere Schrake - die obere Schrake +/ ud de Grezwert 0: Es gilt: Satz S- Eie kovergete Folge ist beschräkt. ur muss ebe der Grezwert icht mit oberer/uterer Schrake zusammefalle. We allerdigs die Folge mooto wachsed ist da stellt ei Grezwert auch eie obere Schrake dar: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 6

4 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS (Dass diese Folge mooto ist ist icht selbstverstädlich wir werde es weiter ute zeige) Die logische Umkehrug des Satzes ist machmal auch ützlich: Satz S- Eie ubeschräkte Folge ist diverget. Beispiele für Grezwerte:.) a N d.h. ( a ) 4 Beweis i Vorlesug lim = 0 " Nullfolge".) a N d.h. ( a ) lim a =.) a ( ) N d.h. ( a ) (a) ist diverget BEACHTE: Nicht jede divergete Folge ist auch ubeschräkt (!!) W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 7

5 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS ) a 5 N d.h. ( a ) (a) ist ach Satz S- diverget weil (a ) icht beschräkt ist. Ma sagt da (a) besitzt de ueigetliche Grezwert oder bzw. die Folge geht gege oder. (a) ist bestimmt-diverget. Schreibweise: lim a oder lim a 5.) lim lim 0 falls > 0 falls > 0 Beweis folgt weiter ute mit Satz S -4 d)e). 6.) lim q 0 für für für q q q "geometrische Folge" Beweis s. [Stigl S. 9] Satz S - Fudametale Nullfolge lim =0 lim q 0 für q lim 0 für >0 Aus de elemetare Folge lasse sich durch folgede Rechegesetze auch die Grezwerte aderer Folge bereche: Satz S -4 Rechegesetze für Grezwerte Seie (a ) (b ) kovergete Folge mit de Grezwerte a ud b.. Da sid auch die a r Folge ( a b )(a b ) für(b 0b 0) ud (a ) b für rr koverget ud es gilt: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 8

6 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS a) lim (a b ) a b b) lim (a b ) a b c) lim (c a ) ca d) e) a lim b lim (a ) a b r a r Rechetechisch: Ma ka de Limes i aller Regel auf die Eizelterme "durchziehe". Die Regel vo Satz S -4 sid auch utzbar we Folge a oder b gege "kovergiere" we ma folgede Regel verwedet Satz S -5 c = c = (c>0) + = = c 0 ( ) c (c>0) Dies ist so zu verstehe: Eie Folge die gege c kovergiert plus eie Folge die bestimmt diverget gege geht ergebe eie Folge die bestimmt diverget gege geht. Dagege sid achfolgede Ausdrücke "uetscheidbar" d.h. ohe weitere Utersuchug ka NICHTS ausgesagt werde: 0 0???? 0 Da muss ma durch geeigete Umformuge versuche zu eier etscheidbare Situatio zu komme. I Vorlesug werde Folgeruge aus Satz S -4 ud Satz S -5 gezeigt. Regel für die Berechug vo Grezwerte: Komplizierte Ausdrücke auf Summe / Produkt / Quotiet bekater Folge (meist Nullfolge) zurückführe. D.h. we möglich de Limes "ach ie ziehe". Bei Brüche durch die größte Potez im Neer dividiere (g.p.i.n.). We eie Summe vo Terme die Situatio - ergibt da schaue ob eie Zusammefassug (z.b. auf gemeisame Haupteer) Klärug brigt. Schreibweise: Für lim 7 7. fidet ma auch die "Pfeildarstellug" Wa ist "ach ie ziehe" für Limes NICHT möglich? We dadurch eie "uetscheidbare" Situatio (s. gelbe Tabelle ach Satz S -5) etsteht. Da muss ma versuche erst aderweitig zu vereifache. Beispiele: W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 9

7 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS ) lim lim lim ( ) lim ( lim (8) lim ( 5 7 ) lim ( ) lim ( ) ) Hier habe wir zuerst g.p.i.n. beutzt damit kostate Folge oder Nullfolge etstehe ud wir so de Limes ach ie ziehe dürfe. 8 4 Ü Zur Übug: 7 ) lim ) lim k k ) lim k k k Regel: Bei Grezwert-Betrachtug sid bei Summe die Terme iedriger Ordug uwichtig. Weitere Beispiele i Vorlesug: ) Die Folge ist koverget. Der Grezwert heißt e (Eulersche Zahl). ) Rekursive Folge a a a a (sog. Fixpukt-Iteratio). Die Fixpukt-Iteratio ist eie "quick-&-dirty"-methode um vo icht eifach lösbare Gleichuge (sog. traszedete Gleichuge) eie Lösug zu bestimme:. Ma brigt die Gleichug i die Form a = f(a). (Hierfür gibt es oft zahlreiche Möglichkeite ud ma muss probiere welche Lösug zum Ziel führt). Jetzt startet ma mit eiem Wert a ud bestimmt a = f(a ) a = f(a )... usw.. We die Folge (a ) eie Grezwert a besitzt da ist a eie Lösug der traszedete Gleichug.... Ladausche O()-Notatio [Teschl Bd. S. 04-0] oder [Hacheberger05 S. 8-87] I der Iformatik muss ma oft die Laufzeit vo Algorithme abschätze. Beispiel Matrixmultiplikatio: Ma braucht Multiplikatioe ud (-) Additioe also isgesamt a = [Hartma04 S ] brigt die O()-Notatio auch allerdigs Schreibweise etwas upräzise. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 40

8 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS Operatioe. Wie wächst die Laufzeit we die Matrixgröße (Zeilezahl) steigt? Oft iteressiert ma sich für das Grezwertverhalte großer ud hier ist der domiate Term : Def D-5: Ladausche O()-Notatio Sei B=(b ) b 0 eie Folge. Wir defiiere die Mege "Groß-O" vo B durch O(B) = O(b ) = { Folge A=(a ) Der Quotiet a b ist beschräkt }. Ma sagt da: Die Folge A ist "vo der Ordug O(B)" als Formel: A O(B). Für A O(B) schreibt ma üblicherweise (we auch ugeau) A = O(B). Beispiele: de. O( ). O( ) aber auch O( ) oder O(4). 6log 70 4O( log). WARNUNG: Das Gleichheitszeiche i Aussage mit der O()-Notatio ist NICHT das Gleichheitszeiche der Arithmetik soder ur eie (ugeaue) Abkürzug für " O(B)". De aus A=O(B) ud C=O(B) folgt NICHT A=B ud NICHT A=C. Mit der O()-Notatio drückt ma aus dass das die Folge A B ud C für große zur selbe Wachstumsklasse (Mege) gehöre. Eie weitere ugeaue Schreibweise: a O( ) für de Sachverhalt a O( ) d.h. der führede Term ist die achfolgede Terme gehöre zur Wachstumsklasse O( ). Ü Übug: (a) Orde Sie de Folge ei möglichst eifaches ud "billiges" O(B) zu. (b) Schreibe Sie die Folge i der Form "führeder Term + O(B)". Folge (a) (b) O( ) + O( ) log() ( ) W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 4

9 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS I Vorlesug oder Übug: Tabelle mit Vergleich verschiedeer Laufzeitverhalte weiteres Bsp. zu Fixpukt-Iteratio. Ü Übug: Löse Sie die Aufgabe aus de Eigagsbeispiele ud etscheide Sie für die Fälle ud : Welcher Algorithmus ist jeweils für große scheller? Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus Fall A 00 B 5 Fall Fall A' C 00 0! B' 5 0! ( )! 40 D ( )!( ) Schreibe Sie alle Folge i der Form "X = führeder Term + O(Y)" W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 4

10 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS Fazit zu Folge Wir habe i diesem Kapitel folgede Begriffe keegelert: Grezwert: we schließlich alle Folgeglieder i eiem "-Schlauch" liege kovergete Folge: hat ei edliche Zahl als Grezwert (Limes) divergete Folge: das Gegeteil bestimmt-divergete Folge: hat + oder als Grezwert (ueigetlicher G.) Wichtiges Resultat: Mit Grezwerte ka ma reche: Operator Grudrecheoperatioe. lim vertauschbar mit de meiste Wir köe folgede Systematik für Folge erstelle: koverget diverget beschräkte Folge ubeschräkte Folge beschräkt + koverget (leer) beschräkt + diverget ubeschräkt + diverget Ü Nachfolged Ü-Frage: jeweils DEM NACHBARN ERKLÄREN: Übug: Gebe Sie für jede der mögliche Quadrate ei Beispiel a! Übug: Wahr oder falsch? (Begrüde Sie Ihre Atwort): o Jede bestimmt-divergete Folge ist diverget. o Jede divergete Folge ist bestimmt-diverget. o Eie Folge ist etweder koverget oder sie strebt gege + oder gege -. W. Koe ZDgesamt-ext.docx Seite 4