1 Analysis T1 Übungsblatt 1

Transkript

1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer. Scho halb verdurstet kommt ma zu dieser Weggabelug ud weiß geau: Eier der beide Wege führt zu eier Oase, der adere higege immer tiefer i die Wüste hiei. Ma darf aber ur eiem der Brüder ma weiß icht, welcher es ist) geau eie Frage stelle. Was muß ma frage, um sicher de Weg zur Oase zu fide? Beweise Sie die Abtreregel modus poes): A A B)) B Beweise Sie die Äquivaleze A B) A B) ud A B) A B). Sie habe eie Satz Karte, jeweils mit eiem Buchstabe auf der eie ud eier Zahl auf der adere Seite. Wie viele ud welche der rechts dargestellte Karte müsse Sie midestes umdrehe, um die Aussage We auf eier Seite eier Karte ei Vokal ist, da ist auf der adere Seite eie gerade Zahl zu überprüfe? Diskutiere sie a) die Aussage des Kreters Epimeides Alle Kreter sid Lüger, b) die Aussage Diese Aussage ist falsch. Wo liegt ei echtes, wo ur ei scheibares Paradoo vor ud wie läßt sich zweiteres auflöse? Ma löse die folgede Gleichuge ach auf: a) + = a, b) + =, c) = a, d) + + = Ma fide alle reelle Lösuge der folgede Gleichuge: a) 3 3 =, b) =, c) + = 6. Gegebe sid die drei Mege M = {a, b, c, d, e}, M = {e, f, g, h, i} ud M 3 = {a, c, e, g, i}. Ma bilde die Mege M M, M M, M M 3, M M 3, M M 3 ud M M 3 sowie M \ M, M \ M, M \ M 3, M \ M 3, 3 = M ud 3 = M Beweise Sie die Absorptiosgesetze M M M ) = M ud M M M ) = M! Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html

2 Aalysis T Übugsblatt Ma bestimme alle R, für die gilt: < Ma bestimme alle reelle, für die gilt: > Ma bestimme alle R, für die gilt: + ) < Ma beweise die kleie Schwarzsche Ugleichug a b + a b a + a b + b. *) K sei ei Körper. Beweise Sie, daß das kartesische Produkt K K mit de Operatioe a, b) + c, d) = a + c, b + d) ud a, b) c, d) = ac + λbd, ad + bc) eie Körper bildet, sofer λ für alle K! Ma beweise durch vollstädige Iduktio: k ) < 3 3 k= für alle atürliche. *) Ma beweise für atürliche Zahle : k= ) = + ) k k + ) 3 Ma zeige für N: + k) k) = k= + ) 4 ) 6 Ma beweise, dass 5 durch 4 teilbar ist. Ma beweise für alle N die Formel k k = + + ). k= Scheitert der Beweis vo + ist gerade für alle am Iduktiosafag, am Iduktiosschritt oder a beidem? Fide Sie selbst ei Beispiel für eie Aussageform A), die für alle N falsch ist, für die sich der Schluß + aber durchführe läßt. Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger ud als Ergäzug für jee zu verstehe, die sich itesiver mit dem Stoff beschäftige wolle.

3 3 Aalysis T Übugsblatt 3 Ma bereche de Grezwert der Folge a = +. Ma bereche de Grezwert der Folge a = 4 ) ) 3 + 3). Ma utersuche die Folge a = ) + ) ud b = auf Kovergez ud bereche gegebeefalls die Grezwerte. Ma bereche de Grezwert der Folge a = ). Ma bereche de Grezwert der Folge a = +. *) Gegebe ist a = ) ) + ) ). Ma bestimme lim sup a ud lim if a. *) Ma zeige, daß die Folge a = +a) a! Grezwert. für jede reelle Zahl a kovergiert ud bestimme de {a } ist defiiert durch a =, a =, a + = a + + a. Ma beweise: ) 3 a Ma utersuche a + = + + a, a = auf Kovergez ud bestimme ggf. de Limes. Ma utersuche a + = a + a, a = 4 auf Kovergez ud bestimme ggf. de Grezwert. *) Gegebe ist die Folge a + = a mit a = a R. Ma bestimme ei eplizites Bildugsgesetz für die Folgeglieder ud utersuche, für welche a R die Folge kovergiert. Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger ud als Ergäzug für jee zu verstehe, die sich itesiver mit dem Stoff beschäftige wolle. 3

4 4 Aalysis T Übugsblatt 4 *) Der Erwartugswert eier Größe ist die Summe aller Möglichkeite gewichtet mit jeweils der Wahrscheilichkeit für ihr Eitrete. So ist der Erwartugswert eies faire) -seitige Würfels W = ) = + ) = + Bereche Sie, wie sich dieser Wert durch die Zusatzregel ädert, dass beim Würfel der höchste Zahl jeweils weitergewürfelt ud das Ergebis immer zum bisherige addiert wird. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: + ) a), b) +, c) ) 3 = = = Ma utersuche die Reihe = )! auf Kovergez. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: a) ) si 5/, b) 3 3, l c ) 5/4 = = = Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: + ) a) + 5, b ) ) 3 + ), c ) = Ma utersuche die Reihe = ) [e = Ma bestimme alle π, π), für die die Reihe + ) ] ud = = si ) kovergiert. = si π + 4 )) ) 4 auf Kovergez. 3 Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger oder gehe über de bisher behadelte) 4

5 5 Aalysis T Übugsblatt 5 Gegebe sid die beide Fuktioe f ud g: 5 3 < + < f) = < = + < + 3 < ; + g) = + < + + < 9 3 mit de Defiitiosbereiche D f = [ 3, ] ud D g = [ 3, 3] \ { }. Ma überprüfe beide Fuktioe auf Stetigkeit ud skizziere ihre Graphe. Ma bereche die erste Ableitug f der folgede Fuktioe: ) f) = e a +b+c ) f) = l 4) f) = cosh ) f) = e 5) f) = arcsia + b) 6) f) = e + + Ma bereche die erste Ableitug f der folgede Fuktioe: ) f) = l ) f) = 3) f) = g) ; g) D g + cos 4) f) = cosl )) 5) f) = 6) f) = ) Ma bereche die erste vier Ableituge f bis f 4) der Fuktio f) = +. Weiters stelle ma eie allgemeie Formel für die -te Ableitug f ) auf, überprüfe, ab wa diese git ud beweise sie mittels vollstädiger Iduktio. Eiem Halbkreis mit Radius a ist das flächegrößte Rechteck so eizuschreibe, daß zwei der Eckpukte auf der Kreisliie ud zwei auf der -Achse liege. Ma diskutiere die Fuktio f) = l + l Defiitiosmege, Nullstelle, Etrema, Wedepukte, Bildmege, Asymptote, Skizze) Gegebe ist die Fuktio f) = sih. Ma bestimme Defiitiosbereich, Nullstelle, Etrema ud Mootoieverhalte! Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger oder gehe über de bisher behadelte) 5

6 6 Aalysis T Übugsblatt 6 Ma ermittle die folgede Grezwerte: sih lim 3 4 lim + e ) e ) lim + ) lim l ) + Ma bereche die folgede Grezwerte: ) lim + le + ))/ ) lim 4) lim cos cos si 7) lim cos cos 5) lim l + si cos 8) lim e + e cos ) 3) lim l ) e 6) lim cosh ) / si 9) lim ) 3/ Ma bestimme das Taylorpolyom zweite Grades der Fuktio f) = cosh ) mit Etwicklugsmitte = Ma bestimme T ; π) der Fuktio f) = e si). Nach der spezielle Relativitätstheorie ist die Eergie eies mit der Geschwidigkeit v bewegte Körpers gegebe durch: m c Ev) = ), v c wobei c die kostate Vakuumlichtgeschwidigkeit ist. Ma ermittle eie Näherug für kleie Geschwidigkeite, also v c bzw. v c. Ma bestimme die Taylorreihe vo f) = Ma bestimme die Taylorreihe vo f) = + mit Etwicklugsmitte = 3. + ) e um =. Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger oder gehe über de bisher behadelte) 6

7 7 Aalysis T Übugsblatt 7 Ma bereche das Itegral I = si d. Ma bereche das Itegral I = cosh d. l ) Ma bereche das Itegral I = d. Ma bereche das Itegral I = π/ π/6 si d. Ma bereche das Itegral I = r r dr. Ma bereche das Itegral cos e si d. Ma bestimme das Itegral I = Ma ermittle das Itegral I = e d + l ) d e + e ) d Ma überprüfe die folgede ueigetliche Itegrale auf Kovergez ud gebe gegebeefalls eie Abschätzug a: I = I 4 = d I = d I 5 = + d I 3 = + d I 6 = + d e + d I 7 = e + d Ma bestimme de Wert des ueigetliche Itegrals I = e + e 3 + e 4) d. Amerkug: Die Übugsblätter zur Aalysis T diet allei Ihrer Übug ud Selbstkotrolle; später zum Teil im Tutorium Aalysis T vorgerechet; teilweise werde auch Lösuge ut.html Beispiele, die mit eiem *) markiert sid, sid schwieriger oder gehe über de bisher behadelte) 7