Die vollständige Induktion - Lösungen 1. Aufgabe: Sind die folgenden Aussageformen in N allgemeingültig?

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1 Start Mathematik Lektioe i Aalysis Aufgabe zur vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio - Lösuge. Aufgabe: Sid die folgede Aussageforme i N allgemeigültig? a) We ei Vielfaches vo ist, da ist eie gerade Zahl. b) We = ist, da ist + =. c) We = + ist, da ist + = +. Lösug: Alle Aussage sid allgemeigültig. zu a) We durch = 3 teilbar ist, da auch durch ( ε N). zu b ud c) Diese Aussage sid beweisbar: Addiere eifach bei der Gleichug der we-aussage, da erhältst Du die da-aussage. Es ist dabei völlig gleichgültig, ob die we-aussage überhaupt für eie Eisetzug erfüllt werde ka. Eie we-da-aussage ist ur da falsch, we die we-aussage wahr ud die da-aussage falsch ist. Der Logiker macht sich das am folgede Schema klar: A B we A, da B wahr wahr wahr wahr falsch falsch falsch wahr wahr falsch falsch wahr Zu b) Ersetzte wir i der Aussageform "We = ist, da ist + = " durch kokrete Werte, da erhalte wir: We = ist, da ist + = (wahr). We = ist, da ist + = (wahr). We 3 = ist, da ist 3 + = (wahr).... (wahr), Bei alle Aussage ist die we-aussage falsch. Somit ist automatisch die we-da-aussage formal richtig. (Deshalb spricht ma auch vo formaler Logik. Nicht immer etspricht sie der Umgagssprache.) Dieselbe Argumetatio gilt bei c: We = + ist, da ist + = + (wahr). We = + ist, da ist + = + (wahr). We 3 = 3 + ist, da ist 3 + = 3 + (wahr).... (wahr). Aufgabe a) Behauptug: = - A() Iduktiosafag: A(): + = - (wahr, Probe stimmt) Iduktiosschritt: + Sei = - A() Daraus ist herzuleite: = - A(+) Herleitug: + Aus = - folgt: = - + = - = - Aufgabe b) Behauptug: A() 3 4 Iduktiosafag: A(): (wahr)

2 Ich zeige och, dass A() ud A(3) wahr sid, obwohl es beim Beweis durch vollstädige Iduktio icht otwedig ist. Ma sieht hier jedoch sehr schö beispielshaft, wie der Schluss vo A() auf A(+) erfolgt. A() = > (- + -) = A(3) = > (- + -) + ( ) > Iduktiosschritt: Sei Da folgt daraus A() (Beachte: = ) = + - = = + (+) - + Ud damit ist gezeigt, dass auch A(+) gilt. Lösug zu Aufgabe 3: Alle Lösuge bis auf e) sid i de Lösuge vo Aufgabe 4 achzuschaue: e) A() <=> = + A() <=> = + (falsch. Deshalb ist A() icht allgemeigültig) A(+) <=> + = + Lösuge zu Aufgabe 4: a) Behauptug: ( - ) = A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A(): = (wahr) Iduktiosschritt: Sei ( - ) = A() Daraus ist herzuleite: ( - ) + ( + ) = ( + ) A(+) Herleitug: Aus ( - ) = folgt: ( - ) + (+) = + ( + ) = (+) b) Behauptug: (+) (5+3 ) = 5(+) + 3 A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A(): = (wahr) Iduktiosschritt: (+) Sei (5+3 ) = 5(+) + 3 A() Daraus ist herzuleite: (+) (+) (5+3 ) + (5 + 3 (+)) = 5(+) + 3 A(+) Herleitug: (+) Aus (5+3 ) = 5(+) + 3 folgt (+) (5+3 ) + (5+3 (+)) = 5(+) (5+3 (+)) 3 3 = ( + ) = Jetzt brauche ich ur och die rechte Seite vo A(+) ausmultipliziere ud orde, um zu zeige, dass dies dasselbe ist. (+) (+) 3 3

3 5(+) + 3 = ( ) = c) Behauptug: (+) a + (a+k) + (a + k) + (a + 3k) (a + k) = a(+) + k A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A(): a + (a + k) = a + k (wahr) Iduktiosschritt: (+) Sei a + (a+k) + (a + k) + (a + 3k) (a + k) = a(+) + k A() Daraus ist herzuleite: a + (a+k) + (a + k) + (a + 3k) (a + k) + (a + (+)k) A(+) (+)(+) = a(+) + k Herleitug: (+) Aus a + (a+k) + (a + k) + (a + 3k) (a + k) = a(+) + k folgt a + (a+k) + (a + k) + (a + 3k) (a + k) + (a + (+)k) (+) k = a(+) + k + (a + (+)k) = a + a + -( + ) + a + k + k k 3 = - + (a + -k) + a + k Jetzt brauche ich ur och die rechte Seite vo A(+) ausmultipliziere ud orde, um zu zeige, dass dies dasselbe ist. (+)(+) k k 3 = a(+) + k = a + a + -( ) = - + (a + -k) + a + k d) Behauptug: + 3 a + ax + ax + ax ax = a A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A(): a + ax = a (wahr, da -x = (+x)(-x)) Iduktiosschritt: 3 Sei a + ax + ax + ax ax = a A() Daraus ist herzuleite: a + ax + ax + ax ax + ax = a A(+) Herleitug: + 3 Aus a + ax + ax + ax ax = a folgt a + ax + ax + ax ax + ax = a + ax x () + x - x = a = a = a f) Behauptug: = - ( + ) ( + ) A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A(): = - 3 (wahr) Iduktiosschritt: Sei = - ( + ) ( + ) Daraus ist herzuleite: = -(+) ( + ) ( + 3) A(+) Herleitug: Aus = - ( + ) ( + ) folgt (+) = - ( + ) ( + ) + (+)

4 = = Jetzt brauche ich ur och die rechte Seite vo A(+) ausmultipliziere ud orde, um zu zeige, dass dies dasselbe ist (+) (+) (+) = -( ) = g) Behauptug: 3-3 ist durch teilbar. Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A() 3-3 ist durch teilbar (wahr, da :=) Iduktiosschritt: Sei 3-3 durch teilbar, d.h. 3-3 = k für ei passedes k ε N, Daraus ist herzuleite: ist durch teilbar. Herleitug: Aus 3-3 = k folgt = 3(3 - ) = 3 (3-3 + ) (Eisamer Trick: Ich muß ubedigt 3-3 durch k ersetzte.) = 3 (k + ) = 8k + = (3k + ) + Also ist 3-3 das (3k+)-Vielfache vo ud damit durch teilbar.. h) Behauptug: Für p > - ud gilt: (+p) > + p A() Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: A() (+p) > +p (wahr, da (+p) = + p + > + p Iduktiosschritt: Sei (+p) > + p A() Daraus ist herzuleite: + (+p) > + (+) p A(+) Herleitug: Aus (+p) > + p folgt (+p) (+p) > ( + p)( + p) + Also: (+p) > ( + p + p + p ) > ( + p + p) = + (+) p. i) Behauptug: x Für f(x) = (x+) e ist die -te Ableitug () x f (x) = (x + + ) e Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: x x x A() Die Ableitug ist f'(x) =e +(x+)e = (x+3)e () x Formel f (x) = (x + + ) e (Formel stimmt für =) Iduktiosschritt: () x Sei f (x) = (x + + ) e Daraus ist herzuleite: A() (+) x f (x) = (x + + 3) e A(+) Herleitug: () x Aus f (x) = (x + + ) e folgt durch Ableite: (+) x x x f (x) = e + (x++) e = (x + + 3)e

5 . j) Behauptug: -x Für f(x) = (x+) e ist die -te Ableitug () -x f (x) =(-) (x + - ) e Beweis durch vollstädige Iduktio: I Iduktiosafag: -x -x -x A() Die Ableitug ist f'(x) =e -(x+)e =-(x + )e () -x Formel f (x) = (-) (x + - ) e (Formel stimmt für =) Iduktiosschritt: () -x Sei f (x) =(-) (x + - ) e Daraus ist herzuleite: A() (+) + -x f (x) =(-) (x + - ) e A(+) Herleitug: () -x Aus f (x) =(-) (x + - ) e folgt (+) -x -x f (x) = (-) (e - (x + - )e ) -x = (-) ( - + )e -x + -x = (-) (-x - +)e = (-) (x + - )e. Lösug zur 5. Aufgabe (Tilgug eies Darlehes): Die Folge (a ) wird rekursiv defiiert durch a = a a = r a + s für (r ) + Behauptug: Für die Folge gibt es eie geschlossee Ausdruck der Form A() a = c r + d ( ) für passede Zahle c ud d. Lösug: Zuerst müsse wir c ud d bestimme. Dies erreiche wir dadurch, dass wir = ud = i A() eisetzte. (Dies war auch der Grud, dass wir diesmal mit = afage. Das folgede Gleichugssystem ist da eifacher lösbar.) A() a = a = c r + d A() a = r a + s = c r + d Löse wir die beide Gleichuge a = c + d ud r a + s = c r +d ach c ud d auf, so erhalte wir s s d= ud c = a - -r -r Folglich müsse wir folgede Formel beweise: s s A() a = (a - ) r + -r -r Iduktiosafag: s s A() a = (a - ) r + (Formel stimmt für =) -r -r Iduktiosschritt: s s Sei A() a = (a - ) r + -r -r Daraus ist herzuleite: s + s A(+) a = (a - ) r + + -r -r Herleitug: s s a = r a + s = r [(a - ) r + ] + s + -r -r s + rs = (a - ) r + + s -r -r s + s rs s = (a - ) r +, da + s = -r -r -r -r.

6 Beispiel: Ei Darlehe vo wird mit 4% (am Ede des Jahres) verzist ud jährlich (am Ede des Jahres) mit getilgt. Wie größ ist die Restschuld ach Jahr, ach, ach 3,..., ach Jahre? Wa ist es getilgt? Lösug: Dies ist ei Folge der Form K = a K = r K + s für (r ) + mit a =, r=,4 ud s = -. Die Lösug lautet also: s s K = (a - ) r + = ( - 5), r -r Somit (alles i ): K =, K = 98, K = 95 9, K = 93 75,8,... 3 Das Darlehe ist getilgt, we - 5,4 + 5 = lg5 =>,4 = 5 => = = 4,35 lg,4 Somit bleibt ach 4 Jahre och eie Restschuld vo K = 34,9, die mit der 4 Rate getilgt werde ka. 4 Bemerkug: Eie eifache Herleitug (ohe vollstädige Iduktio) der Formel ist: Rekursiosvorschrift: a = a a = r a +s + a = a a = r a + s a = r a +r s +s 3 a = r a+r s + r s +s a = r a + r s + r s + r s + s 4... (der kritische Schritt, der icht vollstädig überzeugt) - - a = r a + (r + r r + r + ) s (*) Mit der bekate Formel der geometrische Reihe folgt: - r s a = r a + s = (a - )r + - r -r -r Bemerkug: Für r= ist (*) auch och gültig: a = a + s (für r=) Lösug zur. Aufgabe: (Ei direkter Beweis folgt ach dem Iduktiosbeweis): k k -/ Behauptug: ( ) = (-4) ( ) (kεn ) k k Iduktiosafag: k k -/ -/ Für k= ist ( ) = ( ) = ud (-4) ( ) = (-4) ( ) = = k Die Formel stimmt also für =. Iduktiosschritt: k k -/ sei ( ) = (-4) ( ) (für k>) k k k+ k+ -/ Zu bweise ist: ( ) = (-4) ( ) k+ k+ Nachweis: Zur erste Umwadlug zuächst zwei kokrete Beispiele: k Für k=4 ist ( ) = ( ) = k k ud ( ) = ( ) = = ( ) k k Für k=5 ist ( ) = ( ) = k

7 k ud ( ) = ( ) = = ( ) k Jetzt allgemei: k+ k (k+) (k+) k (k+) ( ) = ( ) = ( ) k+ k (k+) (k+) k k+ Mit dieser Umwadlug ud -/ -/-k -/ -/ -/ k+ -/ - (k+) ( ) = ( ), also ( ) = ( ) =( ) k+ k+ k k k+ -/-k k+ +k k+ (k+) k (k+) k -/ folgt: ( ) = ( ) = (-4) ( ) k+ k+ k k+ k (k+) k -/ - (k+) = (-4) ( ) k+ k+ +k k+ -/ = (-4) ( ) k+. Direkter Beweis (mit de für eie mathematische Puriste verbotee Püktche): -/ 3 5 (k-) ( ) = (- -) (- -) (- -)... (- ) k k! k (k-) =(- -) k! k 3... (k-) k k (k)! =(- -) = (- -) k! 4... k 4 k! 3.. k k (k)! k k =(- -) = (- -) ( ) 4 k! 3.. (k-k) 4 k. (Jutta Gut)