Die effektive Zinssatzberechnung bei Krediten. Dr. Jürgen Faik. - Bielefeld,

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1 Die effektive issatzbeechug bei edite D Jüge Faik - Bielefeld, Eileitug: um isbegiff Ich wede i de kommede Stude zum Thema Die effektive issatzbeechug bei edite votage Nach eileitede Wote zum isbegiff wede ich mich mit Ihe übe die iseszisechug ud de effektive issatz utehalte, ehe ich auf die Reteechug als Gudlage de editechug eigehe wede Gudsätzlich gibt es i de mathematische Fiazieugsechug mehee Basiskozepte Ich ee beispielhaft: die iseszisechug, de Gegewats- bzw Bawet, de apital- bzw eitwet, de Edwet, Redite auf Aktie, Bods ud eale apitalalage sowie de eifache, de effektive issatz, stetige ise ud die itee Etagsate Wi wede us im Folgede mit de editkoste i Fom de iskoste befasse Gaz allgemei fomuliet, ist de is das Etgelt fü ei übe eie bestimmte eitaum zu Nutzug übelassees Sach- ode

2 2 Fiazgut (d h Geld), welches de Empfagede ( de Schulde) dem Übelasse ( dem Gläubige) zahlt De Poduktiosfakto apital hat aalog zum Poduktiosfakto Abeit eie Peis, ud zwa de is E bildet sich duch das usammespiel vo apitalagebot ud apitalachfage auf dem apitalmakt We bei ökoomische Pobleme uteschiedliche eitpukte eie Rolle spiele, ist de is elevat, de duch ih wede die veschiedee ahluge vegleichba gemacht, so dass sie mathematische Opeatioe wie Addiee ode Subtahiee zugäglich sid Hiebei ist de issatz fühee Bezeichug: isfuß eie elative i Pozet bemessee, üblicheweise jahesbezogee Göße, de isbetag higege de absolute Geldbetag, welche sich bei editzise aus de Höhe des aufgeommee apitals ud dem veeibate so geate eifache ode Nomial-issatz * egibt: ( ) Beispielsweise wid ei aufgeommee edit i Höhe vo, welche zu,5 bzw 5 % vezist wid, am Jahesede zu *,5 5 Wid ei edit i dem Sie utejähig aufgeomme, dass u übe eie Teil eies Jahes hiweg apital ausgeliehe wid, ist de issatz och mit eiem Fakto zu multipliziee, de de beteffede Buchteil des Jahes agibt ud zwische Null ud Eis liegt Hat ma ei apital i Höhe vo vom 3 Jaua 26 bis zum 5 Juli 26 mit 5-%-Vezisug ausgeliehe, so sid Tage zu beücksichtige (de 3 Jaua 26 icht mitgeechet) De isbetag beläuft sich da auf: *,5 * 93/365 26,44 ud die gesamte editkoste auf 26,44

3 3 I Deutschlad veeifacht ma sich diese Rechug oft daduch, dass ma das Jah i 2 Moate zu je 3 Tage aufteilt, so dass das etspeched defiiete Rechugsjah 36 Tage aufweist Im Uteschied zum exakte is spicht ma da vom gewöhliche is I useem Beispiel ehielte ma Tage, ud de gewöhliche isbetag lautete: *,5 * 92/36 26,67, was mit editkoste i Höhe vo 26,67 gekoppelt wäe 2 iseszis Wid ei apital läge als ei Jah ausgeliehe, so wede im Allgemeie die jeweilige isbetäge am Jahesede dem apital zugeschlage Mit eiem Fachbegiff spicht ma vo apitalisieug Dies bedeutet, dass die ise im ächste Jah mitvezist wede gemäß dem Aufzisugsfakto ( ) Dies kezeichet de isesziseffekt Eie Tabelle fü veschiedee Aufzisugsfaktoe habe ich vobeeitet (siehe Ahag) Geade we es um die editkoste geht, ist es da iefühed, vo de eigags geate issätze u eifache issätze ute Veachlässigug des isesziseffektes azugebe Dies bedeutet eie Uteschätzug de faktische iskoste, de die Aufzisugsfaktoe ( ) wachse fü ei goßes weit schelle a als die Faktoe ( * ), welche sich bei eiem eifache is egebe wüde

4 4 Die achfolgede Tabelle zeigt a, wie sich de Uteschied zwische eifachem is ud iseszis etwickelt, wobei vo,5 p a ud ausgegage wude: * () 5 2, * ( * ) Nach zwei Jahe z B ehalte wi ohe isesziseffekt fü de eifache issatz 5 % * 2 %, ud die editkoste betage *, Ute Beücksichtigug des isesziseffekts higege beläuft sich de zuückzuzahlede editbetag auf (,5) 2 * 2,5 Dies lässt sich leicht illustiee: Ohe isesziseffekt: *,5 *,5 * (,5,5) * ( 2 *,5) Mit isesziseffekt: *,5 [ *,5] *,5 * (,5) [ * (,5)] *,5 * (,5) * (,5) * (,5) 2 2,5 Die sich bei eiem eifache issatz egebede isbetäge wede gelegetlich auch halbjählich, vieteljählich ode moatlich kapitalisiet Ma spicht da vo utejähige Vezisug Wid das Jah i m gleiche eitäume eigeteilt, so egibt sich i eiem solche eitaum fü das apital de isbetag * /m, wobei /m Peiodezissatz, z T auch elative issatz geat wid wische dem eifache issatz ud dem Peiodezissatz P besteht dabei offekudig folgede tiviale Beziehug: P m P m

5 5 Wid de isbetag * P am Ede des jeweilige eitaumes kapitalisiet, so ehält ma das apital * ( /m) Nach j solche eitäume egibt sich da das apital * ( /m) j, also am Ede eies Jahes de Wet * ( /m) m Allgemei eechet sich dahe de Edwet des apitals aus dem Afagswet, de ise ud de ispeiode m iehalb vo Jahe: m m m m Betachte wi hiezu folgedes Beispiel: De apital-afagswet betage, ud es fide übe 3 Jahe hiweg (d h: 3) jeweils eie halbjähliche Vezisug statt (d h: m 2) bei eiem eifache issatz i Höhe vo,5 bzw 5 % Da gilt: 23,5 3 59,69 2 De apital-edbetag beläuft sich also auf ca 59,69 3 Effektive issatz Ma ka auf Basis des Peiodezissatzes fee eie effektive issatz f po Jah bestimme, de geade so goß ist, dass e dieselbe apitalehöhug wie die utejähige Vezisug liefet

6 6 Fü ih muss also gelte: ( ) f m m bzw f m m Hieaus ka ma de eifache issatz umittelba ableite: m m f Teibt ma die peiodebezogee Uteteilug imme weite, so gehe die effektive issätze gege eie Geze, welche ma mit bezeiche ka: e, da: m e ; m m Dabei ist e 2,7828 die Basis de atüliche Logaithme I diesem Gezfall spicht ma vo stetige Vezisug Übe die Laufzeit eies edites hiweg gilt da fü de apitaledwet: lim m m exp m ( ) exp( ) Fü eiige eifache issätze sid die effektive issätze i de folgede Tabelle fü halbjähliche (m 2), vieteljähliche (m 4), moatliche (m 2) ud uedliche Vezisug (m ) agegebe

7 7 m,2,5,,2,5 2,2,563,25,2,5625 4,25,595,38,255,68 2,28,56,47,2939,6329,22,527,57,224,64872 Bei iedige eifache issätze sid die Uteschiede zwische de eifache ud de zugehöige Effektivzissätze fü veschiedee m kaum vo Bedeutug Je höhe de eifache issatz wid, desto meh falle die Uteschiede zwische de eifache ud de effektive issätze is Gewicht Beispielsweise sid die Wete de effektive issätze bei eiem eifache issatz i Höhe vo 2 % u im Nachkommabeeich höhe (vo 2, % bei halbjähliche Vezisug bis 2,2 % bei stetige Vezisug) Demgegeübe sid bei eiem eifache issatz i Höhe vo 5 % die Uteschiede zum effektive issatz scho betächtlich: Bei halbjähliche Vezisug betägt Letztee 56,25 % ud bei stetige Vezisug ga ca 64,87 % Fee ist aus de Tabelle esichtlich, dass sich bei alle eifache issätze vo eie gewisse Peiode-Uteteilug a die Effektivzissätze kaum meh voeiade utescheide Paktisch ist bei tägliche Vezisug (m 365) de Fall de stetige Vezisug eeicht So beläuft sich de effektive issatz bei tägliche Vezisug ud eiem eifache issatz i Höhe vo 5 % auf: f (,5/365) 365,527 Diese Wet etspicht auf die füfte Nachkommastelle geau dem Wet fü die stetige Vezisug aus de Tabelle

8 8 Da die effektive isbetäge die peiodebezogee Vezisuge ute Eischluss des zugehöige isesziseffektes beücksichtige, sid sie sivolle Agabe fü die editpeise/-koste Laut budesdeutsche Peisagabeveodug muss dabei vo de editistitute i die effektive ise die fiazielle Gesamtbelastug eies edites eigeechet wede öe sich wähed de editlaufzeit peisbestimmede Faktoe wie etwa de eifache issatz ode die Laufzeit äde, ist ei afägliche effektive Jaheszis azugebe Außedem müsse Aspekte wie Risiko, Iflatiosetwicklug usw zusätzlich beücksichtigt wede I de Realität ethält ei effektive Jaheszis alledigs icht imme alle editebekoste Dies egibt sich zum eie daaus, dass die editistitute bestimmte oste wie beispielsweise Wetemittlugsgebühe, Beeitstellugszise ode Gebühe fü editvesicheuge ach Peisagabeveodug icht beücksichtige müsse um adee gibt es Feiheitsgade fü die editistitute dahigehed, bestimmte oste elativ poblemlos umzudeklaiee Ei Beispiel hiefü ist die Umdeklaieug de (gemäß Peisagabeveodug zu beücksichtigede) Beabeitugsgebühe i (icht zu beücksichtigede) Gebühe fü Wetemittluge 4 Rete 4 Nachschüssige Rete Ute eie Rete vesteht ma eie Reihe vo ahluge i gleich bleibede eitabstäde Diese ahluge köe eiem Guthabe (bzw hie: editguthabe) etomme wede, wobei sie ute Umstäde dieses Guthabe abtage, so dass dieses ach eie edliche Azahl

9 9 vo ahluge elischt Ma spicht vo achschüssige Rete, we am Ede jedes eitabschittes ei Betag etspeched ausgezahlt wid, ud vo voschüssige Rete, we die ahluge zu Begi jede Peiode efolge Um das Pizip de achschüssige Rete zu illustiee, seie die Azahl de Peiode, de issatz po Peiode, das zu Begi de este Peiode gegebee (Afags-)apital, j das apital am Ede de j-te Peiode (j, 2,, ), das apital am Ede de -te Peiode (Edkapital) ud j die ahlug am Ede de j-te Peiode, wobei fü eie (das apital ehöhede) Eizahlug j > ud fü eie (das apital vemidede) Auszahlug j < gilt Fü die apitalwete am Ede de jeweilige Peiode (z B Jahe) egibt sich da: Dieses ekusive Gleichugssystem lässt sich dahe mit Hilfe des Summeidexes fü die Retezahluge folgedemaße scheibe: j j j Fü de spezielle Fall, dass alle Retezahluge gleich goß sid, d h j fü alle j, 2,,, lässt sich die vostehede allgemeie achschüssige Retefomel mittels de Summefomel eie geometische Reihe aufsummiee:

10 [ ] 2 j j Dividiet ma beide Seite duch de Aufzisugsfakto ( ) ud löst ach auf, ehält ma Das Afagskapital ist demach gleich de Summe aus dem Bawet des Edkapitals ud de Bawete de Rete De Fakto heißt Retebawetfakto ud liegt i tabelliete Fom vo (siehe Ahag) Im Falle eies edits wäe ach Peiode ud < Diese Retefomel ethält füf Vaiable: Das Afagskapital, das Edkapital, die Rete, de issatz po Peiode ud die Azahl de Peiode Sid vie de füf Vaiable bekat, so ka die füfte Vaiable mittels de geate Retefomel bestimmt wede; explizit ist dies i de Regel u ach, ud bzw ach eiem j möglich

11 Betachte wi dei Beispiele zu diese Thematik: Beispiel : Auflösug de (achschüssige) Retefomel ach Ei edit übe, aufgeomme am 26, sei duch jähliche achschüssige ahluge i Höhe vo, begied am 3226, zu tilge Wie lage dauet es, bis de edit zuückgezahlt ist, we auf de offe stehede Betag jählich 5 % ise zu zahle sid? Es sid also:, - (achschüssig),,,5 Gesucht ist * Multipliziet ma die (achschüssige) Retefomel (mit kostate Ratezahluge) mit ud dividiet sie fee duch ( * ), ehält ma (ute Beachtug des Datums, dass bei editückzahlug ist): ud damit:

12 2 I useem Beispiel gilt da:,5 5 (,5) 2 Aus de ausgeteilte Aufzisugstabelle köe wi ekee, dass bei,5 ud 5 Jahe ei Wet vo 2,789 fü de zugehöige Aufzisugsfakto eeicht wid, wähed bei,5 ud 4 Jahe de ielwet vo 2 och uteschitte wude (,9799) De ielwet vo 2 wid dahe vo 5 Jahe umfasst Es dauet demach ca 5 Jahe, bis de edit zuückgezahlt ist Beispiel 2: Auflösug de (achschüssige) Retefomel ach Sid,, ud bekat ud ist de issatz gesucht, so ist es echt schwieig, die allgemeie Retefomel ach aufzulöse Dahe beschäke sich die folgede Übeleguge auf de i de Awedug häufigste Fall, dass die Höhe de ahluge kostat bleibt ud ist, d h es wid de Fall betachtet, bei dem das Afagskapital duch gleich goße Ratezahluge aufgebaucht wid; da ist aheliegedeweise eie egative Göße Dividiet ma die Retefomel ( ) duch * ( ), so ehält ma zuächst: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

13 3 Da am Ede de editlaufzeit gleich Null ist, veädet sich diese Gleichug zu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Duch üze ehält ma schließlich: ( ) ( ) u Bestimmug des zugude gelegte issatzes hat ma also de (egative) Quotiete aus apital-afagswet ud (kostate) Ratezahlug zu bilde ud i de zu dem gegebee zugeodete eile de ausgeteilte Tabelle de Retebawetfaktoe ( ) ach dem issatz achzusehe Betachte wi hiezu das achfolgede Beispiel He A möchte ei Auto kaufe, desse Bapeis betägt Da He A u übe 5 vefügt, äumt ihm die Fima XY fü die och fehlede 5 folgede Teilzahlugsbediguge ei: Laufzeit: 3 Moate, Moatsate (eischließlich ise) i Höhe vo 5, bzw alteativ ist sei Feud B beeit, ihm 5 zu gebe, we A ihm dafü jeweils am Ede de ächste dei Jahe 2 zahlt Wie hoch sid die de Agebote zugude gelegte effektive issätze po Jah? Ud: Welches Agebot ist das güstigee?

14 4 Beim editagebot de Autofima sid gegebe: 3 (Moate), 5 5,, -5 Gesucht ist zuächst de moatsbezogee issatz : 3 ( ) ( ) 3 5 5,72 9,9856 I de ausgeteilte Tabelle de Retebawetfaktoe fidet ma ute 3 wid jetzt icht (wie agegebe) i Jahe, sode i Moate itepetiet fü,4 de geate Wet 9,9856; d h:,4 De effektive issatz po Jah ist da f (,4) 2,6 Beim editagebot des Feudes sid gegebe: 3 (Jahe), 5,, -2 Gesucht ist de effektive issatz po Jah f : 3 ( ) ( ) 3 5 2,5 2 I de Tabelle de Retebawetfaktoe fidet ma ute 3 fü,9 de Wet 2,533 ud fü, de Wet 2,4869 Duch lieae Itepolatio ehält ma fü f ugefäh,975 Da,975 <,6 ist, ist das Agebot des Feudes das güstigee

15 5 Beispiel 3: Auflösug de (achschüssige) Retefomel ach Die Auflösug de (achschüssige) Retefomel ach füht zu (ute Beachtug, dass ist): ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) Nehme wi a, dass ei issatz vo,5 fü eie edit i Höhe vo zu zahle ist, da egibt sich bei eie editlaufzeit vo 3 Jahe als kostate Ratezahlug po Jah: 3 (,5 ) 3672, 9,5 3,5 Po Moat sid dies demach als Ratezahlug 3672,9 / 2 36,, also etwa Voschüssige Rete Nebe achschüssige Rete köe wie vohi ewäht auch voschüssige Rete beechet wede Letztee lasse sich leicht auf achschüssige Rete zuückfühe Die am Afag eie Peiode j gezahlte Betäge s j sid am Ede diese Peiode auf s j * () agewachse Dahe ist eie voschüssige Rete

16 6 de Höhe s j äquivalet eie achschüssige Rete de Höhe j s j * ( ) j j Es gilt dahe: ( ) s ( ) ( ) j ode fü j fü alle j, 2,, : ( ) 5 Schlussbetachtug Im Rahme meies Votages spach ich übe issätze ud ihe Vebidug zu edite Die geate Vaiable sid letztlich daduch miteiade gekoppelt, dass ei issatz als Peis des Faktos apitals aufgefasst wede ka Wi beschäftigte us mit dem Fall de Effektivvezisug Dies tate wi beispielhaft Vewedete Liteatu: Dösam, Pete: Mathematik aschaulich dagestellt fü Studieede de Witschaftswisseschafte, Auflage, Heideau 23 Rommelfage, Heiich: Mathematik I fü Witschaftswisseschaftle, 2 Auflage, Fakfut am Mai 983 (uveöffetlichtes Skiptum)

17 7 Ahag: Aufzisugsfaktoe Aufzisugsfaktoe ( ) Jahe issatz () (),,2,3,4,5,6,7,8,9,,,2,3,4,5,6,7,8,9, 2,2,44,69,86,25,236,449,664,88,2 3,33,62,927,249,576,9,225,2597,295,33 4,46,824,255,699,255,2625,38,365,46,464 5,5,4,593,267,2763,3382,426,4693,5386,65 6,65,262,94,2653,34,485,57,5869,677,776 7,72,487,2299,359,47,536,658,738,828,9487 8,829,77,2668,3686,4775,5938,782,859,9926 2,436 9,937,95,348,4233,553,6895,8385,999 2,79 2,3579,46,29,3439,482,6289,798,9672 2,589 2,3674 2,5937,57,2434,3842,5395,73,8983 2,49 2,336 2,584 2,853 2,268,2682,4258,6,7959 2,22 2,2522 2,582 2,827 3,384 3,38,2936,4685,665,8856 2,329 2,498 2,796 3,658 3,4523 4,495,395,526,737,9799 2,269 2,5785 2,9372 3,347 3,7975 5,6,3459,558,89 2,789 2,3966 2,759 3,722 3,6425 4,772 6,726,3728,647,873 2,829 2,544 2,9522 3,4259 3,973 4,595 7,843,42,6528,9479 2,292 2,6928 3,588 3,7 4,3276 5,545 8,96,4282,724 2,258 2,466 2,8543 3,3799 3,996 4,77 5,5599 9,28,4568,7535 2,68 2,527 3,256 3,665 4,357 5,47 6,59 2,222,4859,86 2,9 2,6533 3,27 3,8697 4,66 5,644 6,7275 Retebawetfaktoe (( ) - )/(( ) * ) Jahe issatz () (),,2,3,4,5,6,7,8,9,,99,984,979,965,9524,9434,9346,9259,974,99 2,974,946,935,886,8594,8334,88,7833,759, ,94 2,8839 2,8286 2,775 2,7232 2,673 2,6243 2,577 2,533 2, ,92 3,877 3,77 3,6299 3,546 3,465 3,3872 3,32 3,2397 3, ,8534 4,735 4,5797 4,458 4,3295 4,224 4,2 3,9927 3,8897 3, ,7955 5,64 5,472 5,242 5,757 4,973 4,7665 4,6229 4,4859 4, ,7282 6,472 6,233 6,2 5,7864 5,5824 5,3893 5,264 5,33 4, ,657 7,3255 7,97 6,7327 6,4632 6,298 5,973 5,7466 5,5348 5, ,566 8,622 7,786 7,4353 7,78 6,87 6,552 6,2469 5,9952 5,759 9,473 8,9826 8,532 8,9 7,727 7,36 7,236 6,7 6,477 6,446,3676 9,7868 9,2526 8,765 8,364 7,8869 7,4987 7,39 6,852 6,495 2,255,5753 9,954 9,385 8,8633 8,3838 7,9427 7,536 7,67 6, ,337,3484,635 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,938 7,4869 7,34 4 3,37 2,62,296,563 9,8986 9,295 8,7455 8,2442 7,7862 7, ,865 2,8493,9379,84,3797 9,722 9,79 8,5595 8,67 7,66 6 4,779 3,5777 2,56,6523,8378,59 9,4466 8,854 8,326 7, ,5623 4,299 3,66 2,657,274,4773 9,7632 9,26 8,5436 8,26 8 6,3983 4,992 3,7535 2,6593,6896,8276,59 9,379 8,7556 8,24 9 7,226 5,6785 4,3238 3,339 2,853,58,3356 9,636 8,95 8, ,456 6,354 4,8775 3,593 2,4622,4699,594 9,88 9,285 8,536