3.2 Die Schrödinger-Gleichung

Transkript

1 3. Die Schröiger-Gleichug Oer Wie fie ich ie Wellefuktio eies Teilches Lit: Simo/McQuarrie Die S.G. ka geauso weig hergeleitet were wie ie Newtosche Gesetze (Fma). Fuametales Postulat er Quatemechaik Wir köe jeoch versuche, ie Geakegäge bei er Aufstellug achzuvollziehe. Aahme: We Materie Welleeigeschafte hat, a muss sie auch urch eie Wellegleichug beschriebe were. Wir begie aher mit er klassische Wellegleichug u(, t ) 1 u(, t ) υ t (3.-I) Als eifachste Möglichkeit er Darstellug ergibt sich ach Variabletreug as Proukt aus eiem räumliche u eiem zeitliche Ateil: u(, t) Ψ( cosωt (3.-II) Nach Eisetze vo (3.-II) i (3--I) ergibt sich ψ ( ) 1 cosωt cosωt ψ ( ) (3--III) υ t Sortiere er Variable führt zu 1 ψ ( ) 1 cosωt (3--IV) ψ ( ) υ cosωt t Wir leite ie zeitabhägige cos-fuktio zweimal ab u erhalte ( ω ) cosω 1 ψ ( ) 1 t ψ ( ) υ cosωt ω υ (3--V) ψ ( ) ω bzw. ψ ( ) υ

2 U wir erhalte schließlich für e räumliche Ateil Ψ( ω + υ Ψ( 0 (3.-VI) Mit ωπν u υνλ ergibt sich Ψ( 4π + λ Ψ( 0 (3.-VII) Bis hierhi ist alles wie bei eier klassische Welle. Der Schlüsselschritt besteht u ari, ie Welleläge ach ebroglie u seier Hyothese er Materiewelle urch e Imuls zu ersetze, λ h. Ψ( ) 4π + Ψ( ) 0 (3.-VIII) h Allerigs wir ie Formulierug er klassische Mechaik verweet, i er ie Eergie als Fuktio vo Imuls u Ort ausgerückt wir. E Eki + E ot T + V + V ( (3.-IX) m Es folgt a für e Imuls ( m[ E V ( ]) 1/ (3.-X) Dieser wir i ie Formel für ie ebroglie-welleläge eigesetzt u ma erhält schließlich für ie Wellegleichug Ψ( 4π + h m [ E V ( ] Ψ( 0 (3.-XI) Diese Gleichug lässt sich umschreibe zu

3 h m Ψ( + V ( Ψ( E Ψ( (3.-XII) Diese Schröiger-Gleichug beschreibt ie Bewegug eies Teilches er Masse m im Potetial V( u erlaubt es, ie Eergie ieses Teilches zu bereche. Die Gleichug ethält ie Zeit icht mehr, es haelt sich aher um ie zeituhabhägige Schröigergleichug. Die vollstäige S.G. ethält atürlich ie Zeitabhägigkeit, aber für viele Probleme er Chemie reicht ie zeituabhägige Form aus. I ieser stellt ie Wellefuktio Ψ( ie Amlitue er Materiewelle ar. Literaturti: Jorge Voli, Das Kligsor-Parao, Klett-Cotta Verlag

4 3.3 Oeratore Um ie Größe er klassische Mechaik i er Quatemechaik zu reräsetiere, wure as Kozet er Oeratore eigeführt. Ei Oerator ist ichts weiter als eie Rechevorschrift, ie us aufforert etwas mit er Fuktio zu tu, ie er Vorschrift folgt; z. B. forert us y( auf, ie Fuktio y( ach abzuleite. Oeratore were urch as Zeiche ^ gekezeichet. Die Schreibweise A ˆf ( g( (3.3-I) besagt, ass ie Aweug es Oerators  auf ie Fuktio f( eie eue Fuktio g( erzeugt. Oeratore i er Quatemechaik si liear, as beeutet [ c f ( c f ( ] c Af ˆ ( + c Af ˆ ( ) + (3.3-II) Ei Beisiel für eie lieare Oerator ist er Ableitugsoerator A ˆ Ei Beisiel für eie ichtlieare Oerator ist A ˆ SQR, also as quariere. [ c f + c f ( ] [ c f ( ] + [ c f ( ] + c c f ( f ( ) [ c f ( ] + [ c f ( ] 1 1( ) (3.3-III) Tyisch für Physikalische Chemie u Quatemechaik ist folgee Situatio φ( a φ( (3.3-IV) Wir wee eie Oerator auf eie Fuktio a, u erhalte iese Fuktio multiliziert mit eier Kostate zurück. I e meiste Fälle ist er Oerator bekat, ie

5 Wellefuktio φ( u a müsse gefue were. Gleichuge wie (3.3-IV) habe eie sezielle Name, ämlich 3.4 Eigewert-Gleichug Defiitio φ( a Eigefuktio es Oerators  Eigewert Die Bestimmug vo φ( u a bezeichet ma als ei Eigewert-Problem. Beisielsweise ist e α eie Eigefuktio es Oerators A ˆ. Es ergibt sich aus e α α α e (3.4-I) er Eigewert aα. Für 1 ist aα, für ist aα. Veracht: Eoetialfuktioe si oft ie Lösug vo Eigewert-Probleme Wir wolle u ie Schröigergleichug (3.-VIII) als Eigewert-Gleichug formuliere: h m + V Ψ ( ( E Ψ( (3.-VIIIa) Hˆ Ψ ( EΨ( (3.4-II) I ieser Formulierug ist H ˆ h + V ( (3.4-III) m er Hamilto-Oerator. I ieser Formulierug ist Ψ( ie Eigefuktio es Hamilto- Oerators u ie Eergie E er Eigewert. Sir William R. Hamilto, Irischer Mathematiker, führte Ee es 19. Jh. ie Darstellug er Eergie als Fuktio vo Ort u Imuls i ie klassische Mechaik ei.

6 Die Aweug vo Ĥ auf ie Wellefuktio liefert als Eigewert ie Eergie es Systems, aher ist er er Eergie-Oerator, also ie Rechevorschrift, welche ie Eergie es Systems liefert. Da ie Eergie sich ormalerweise aus kietischer u otetieller Eergie zusammesetzt, ka ma Ĥ och zerlege i h m ˆ T e Oerator für ie kietische Eergie i -Richtug u V ( Vˆ (3.4-IV) (3.4-V) Da i Tˆ ie klassische Hamilto-Formulierug e Oerator für as Imulsquarat ableite: E ki zu erkee ist, köe wir irekt m ˆ h (3.4-VI) Diese köe wir als ie sequetielle Aweug es Imulsoerators iterretiere, ( ) ˆ [ ˆ f A A f ( ] g( Für e Imuls folgt a etsreche ˆ ih (3.4-VIII) f ( Af ˆ (! Ma beachte jeoch, ass [ ] Ĥ, Tˆ, ˆ u ˆ gehöre zu e wichtigste Oeratore er QM.