Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

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1 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger zugeordet werde Beisiele für Etscheidugssituatioe mit objektive Ahaltsukte zur Bestimmug dieser Wahrscheilichkeite: Teilahme a eiem Glückssiel, a eier staatliche Lotterie usw.; (kombiatorische Überleguge) Abschluß eies Versicherugsvertrages; (umfagreiches versicherugsstatistisches Datematerials) Kauf eies Neu- oder Gebrauchtwages; (lägerfristige Kfz- Statistike für Lebesdauer ud Rearaturkoste) Disositioe bzgl. der Lagerhaltug; (Zeitreihe früherer Periode). Auch im Risikofall ist das Etscheidugsroblem gelöst, we eie domiate Aktio i A existiert.

2 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel Erwartugswert-Kriterium zur eimalige Lösug des Etscheidugsroblems "Bilde für jede Hadlugsalterative die Summe der mit ihre Eitrittswahrscheilichkeite gewichtete Ergebisse ud wähle die Hadlugsalterative, die die höchste Summe (d.h. de maximale Erwartugswert) aufweist." m E i µ i jxij j s s s 3 0,5 0,3 0, a a a a a a µ i E( a i ) Gewimatrix ud Erwartugswerte mit w(s ) 0,5, w(s ) 0,3, w(s 3 ) 0,. Eimalige Etscheidug I der Praxis: Orietierug am Erwartugswert?? Grüde für adere Etscheidug??

3 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel Erwartugswert-Kriterium zur mehrmalige Lösug des Etscheidugsroblems Orietierug am Durchschittserfolg s s s 3 µ E( a ) a ,5 w(si) 0,5 0,3 0, Gewiverteilug der Alterative a Verteilug der "durchschittliche Gewie" kovergiert mit wachseder Azahl der Wiederholuge gege die Normalverteilug, die wie alle Durchschittsgewie G () de stets gleiche Mittelwert µ E( a ) 6,5 aufweist. E(G () ) E( [G() G() G()]) + + L + [G() G() G()] + + L + [ ] µ µ, Bei häufige Wiederholuge wird Verteilug durch µ ud σ adäquat beschriebe. σ ( G () ) E (G () µ ) E( G(r) µ ) r E( ( G(r) ) µ ) E(( G(r) ) ) r µ r σ(g(r)) σ r σ r Für domiiert der Erwartugswert die Streuug!!

4 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel ,5 0,4 0,3 0, 0, G Verteilug des durchschittliche Gewis bei Ausführug 0, 0, 0, G Verteilug des durchschittliche Gewis bei 4 Ausführuge 0,5 0, 0, Verteilug des durchschittliche Gewis bei Ausführuge G

5 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 3 Die Awedug des µ-σ-prizis ka zu roblematische Etscheiduge führe. Isbesodere steht es icht im Eiklag mit dem Domiazrizi", vgl. Glückssielrad. Dies ist darauf zurückzuführe, dass bei icht ormalverteiltem Erfolg das µ-σ-kriterium icht alle Verteilugsarameter berücksichtigt ud dies atürlich zu fehlerhafte Etscheiduge führe ka. < 3.5 > Glücksradsiel: Ei risikoscheuer Etscheidugsträger köe beliebig viele Lose erwerbe, wobei ihm keierlei Koste etstehe. Ob die Lose gewie, bestimmt ei Glücksrad: Eie Scheibe mit eiem blaue ud eiem rote Feld ud eiem feststehede Zeiger wird gedreht. Kommt die Scheibe so zum Stehe, dass der Zeiger im blaue Feld ist, so gewit der Etscheider ro Los 00 DM, d. h. bei K Lose K 00 DM. Bleibt die Scheibe bei "rot" stehe, so geht der Etscheider leer aus. Die Gewiwahrscheilichkeit ist gleich dem Verhältis vo blauer Fläche zur Gesamtfläche ud ka durch

6 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 3 Äderug der Farbaufteilug beliebig zwische 0 ud variiert werde. Blaues Feld Rotes Feld 0 Lose 0 DM 0 DM Los 00 DM 0 DM Lose 00 DM 0 DM 3 Lose 300 DM 0 DM K Lose K 00 DM 0 DM Jede Azahl K > 0 domiiert jede kleiere Zahl a Lose. Domiazrizi: Kaufe so viele Lose wie möglich. Der Erwartugswert des Gewis beträgt µ ( GK) E(G K) K 00 + ( ) 0 K 00 Die Stadardabweichug des Gewis beträgt σ ( GK) [K 00 µ K ] + ( ) [0 µ K ] [K 00 K 00] + ] K 00 [ + ] + [ 3] K 00 ( ) [0 K 00

7 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 33 Quotiet σ( GK) K 00 µ (GK) K 00 Da der Quotiet uabhägig vo der Azahl der erworbee Lose ist, liege die de alterative K- Werte etsrechede ( µ (KK), σ (KK)) -Kombiatioe hisichtlich der gesamte Vermögesositio des Etscheiders auf eiem Fahrstrahl im ( µ, σ) -Diagramm, der im Pukt V* auf der Abszisse (dem sichere Vermöge bei Verzicht auf Loserwerb) begit ud die Steigug aufweist. Dieser Fahrstrahl wird im folgede als ( σ) µ, -Strahl bezeichet. Geht gege 0 (bzw. gege ), so geht seie Steigug gege (bzw. gege 0).

8 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 34 σ V µ 3..3 Erwartugswert-Kriterium zur mehrmalige Lösug des Etscheidugsroblems Orietierug am Gesamterfolg E( [ G() + G() + L + G()]) G () + G() + L + G() µ ud σ ([ G() + G() + L + G()]) E ( G(r) µ ) r σ. m-s-regel auch bei Orietierug am Gesamterfolg ud bei Vorliege der Normalverteilug adäquate Etscheidugsregel.

9 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 35 m-regel allerdigs roblematisch, da verachlässigt wird, daß σ mit steigedem - we auch immer kleier werded wächst. σ( [ G() + G() + L + G()]) σ

10 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 36 St. Petersburger Siel/St. Petersburger Paradoxo Bediguge: ideale Müze, Adler ud Zahl, wird solage geworfe bis zum erste Mal Adler erscheit: Adler beim -te Wurf Bak zahlt Frage: Welche Betrag ist ei Sieler bereit zu riskiere? m L ( ) d.h. ach dem Erwartugswert-Kriterium müßte ei Sieler bereit sei, extrem hohe Beträge eizusetze, aber i der Realität wird kaum jemad hohe Eisätze leiste. m-regel verschiedee Etscheidugsträger beurteile risikobehaftete Alterative i.a. verschiede, deswege ka der Erwartugswert der moetäre Ergebisse eier HA keie geerell verwedbare Größe darstelle für eie RISIKONEUTRALEN ENTSCHEIDER ist der Erwartugswert jedoch ei ratioales ud akzetables Etscheidugskriterium!!

11 Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 37 BERNOULLI-Nutze Nach Daiel BERNOULLI [738] ist die Geldskala aus subjektiver Sicht eies ET ur bedigt kardial messbar ist. Zwische uterschiedliche Bereiche sid die Differezbeträge icht gleich zu bewerte: Die Steigerug eies Gewis vo.000 auf.000 führt zu eiem stärkere Nutzeastieg als eie geldbetragsmäßig gleiche Erhöhug vo Millio auf BERNOULLI gab der Nutzefuktio die Form u(g) l G. Diese Form der Nutzefuktio stimmt mit dem. GOSSENsche Gesetz überei d u du 0 ud 0, dg dg d.h. der Nutze steigt mit wachsedem G a, der Astieg wird aber immer schwächer ("Abehmeder Grezutze").