WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen

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1 Aufgabe 1: WS 2000/2001 Aufgabe 1: (4 P (4 Pukte) Gebe Sie die Formel zur Bestimmug des relative sowie des koforme Zissatzes a ud erläuter Sie die Uterschiede bzw. Gemeisamkeite der beide Zisfüße. Lösug: i rel = i om / m (0,5 Pukte) i ko = m 1+ i 1 (0,5 Pukte) eff i rel = zeitateiliger omieller Jahreszissatz für eie uterjährige Verzisugsperiode bei eifache Zise (1 Pukt) i ko = zeitateiliger ili effektiver Jahreszissatz für eie uterjährige Verzisugsperiode bei Ziseszise (1 Pukt) Beide Zissätze sid gleich hoch, falls der Nomialzissatz aus dem effektive Zissatz abgeleitet wird; asoste sid sie uterschiedlich. (1 Pukt) Aufgabe 2: Aufgabe 2: (9 Pukte) (9 Pu Die Firma M&H plat, am Prizipalmarkt i Müster eie eue Filiale zu eröffe ud will zu diesem Zweck ei Ladelokal amiete. Der Mietvertrag soll mit dem i Kraft trete ud zuächst über vier Jahre laufe. Der Vermieter stellt - uabhägig vo der Höhe der Moatsmiete x [gemesse i Geldeiheite je Moat], die och auszuhadel ist - drei Vertragsmodelle zur Auswahl: 1) Staffelmiete mit jährlicher Mieterhöhug um 2,5%. 2) Staffelmiete mit Mieterhöhuge im 2-Jahres-Turus um 6%. 3) Zu Begi der Vertragslaufzeit ist eie eimalige Soderzahlug i Höhe zweier Moatsmiete zu zahle, dafür wird i de ächste vier Jahre vo eier Mieterhöhug abgesehe. Ermittel Sie ahad des Edwertes, welches Vertragsmodell für die Firma M&H vorteilhaft ist. Gehe Sie davo aus, dass die Mietzahluge jeweils moatlich vorschüssig zu zahle sid. Der (Kalkulatios-)Zissatz der Firma beträgt 10% per aum; uterjährig wird mit eifache Zise gerechet.

2 Lösug: Die zuächst beötigte jahreskoforme Ersatzreterate ergibt sich i Abhägigkeit vo der ubekate Miethöhe x zu: i 0, 1 r e = r [m + (m + 1)] = x [ ] = 12,65 x 2 2 (1) Jährliche Mieterhöhug (geometrisch fortschreitede Rete, f = Progressiosfaktor) REW gs,i = r e f f q q 4 1,025 1,1 = 12,65 x 1,025 1,1 4 = 60,7684 x 2) Mieterhöhuge im 2-Jahres-Turus REW,i = 12,65 x 1, ,65 x 1, ,65 x 1,06 1,1 + 12,65 x 1,06 = 60,3026 x (2 Pukte) 3) Eimalige Soderzahlug zu Begi,1 1 =1265x 1 4 REW +2x ,i 12,65 1,1 = 61,6369 x (2 Pukte) 1,1 1 Ergebis: Alterative (2) ist am güstigste! (1 Pukt)

3 Aufgabe 3: Aufgabe 3: (7 Ei Uterehme hat eie Kredit i Höhe vo Geldeiheite bei eiem Zissatz vo 7% per aum aufgeomme. Der Kredit ist durch jährlich achschüssige Auitätetilgug i Höhe vo jeweils Geldeiheite zurückzuzahle. 1) Stelle Sie für die beide erste Jahre der Laufzeit eie Tilgugspla l auf. (3 Lösug: t S t-1 Z t T t R t S t (1) (2) (3)=(2) 0,07 (4)=(5)-(3) (5) (6)=(2)-(4) ) Wa ist der Kredit vollstädig zurückgezahlt? Lösug: Laufzeit des Kredits: Formel R = S 0 q ergibt: q 1 q 1 ach auflöse = log [R / (R - S 0 i)] / log q = log [ / ( ,07)] / log 1,07 = 17,79 Jahre

4 3) Wie hoch ist die Restschuld am Ede des 10. Jahres, we die Gesamtlaufzeit des Kredits = 18 Jahre beträgt? Lösug: S t = S 0 q q q t ,07 1,07 = , = ,70 [GE] Aufgabe 4: Aufgabe: SoSe 2001 a) Ei Laie der Fiazmathematik sieht sich folgede vier Zahlugsfolge A, B, C ud D gegeüber ud überlegt, welche davo de adere vorzuziehe ist. - Mache Sie die vier Zahlugsfolge vergleichbar, i dem Sie de jeweilige Barwert K 0 ermittel. - Gebe Sie die Ragfolge der Vorteilhaftigkeit der ageführte Alterative a? Gehe Sie bei Ihre Berechuge davo aus, dass der Laie aderweitige Alagemöglichkeite hat, die ihm eie Verzisug vo 5% pro Jahr eibrige.

5 t = bis t = (jährlich) A B ,5 8052, , , , ,7 - C D Amerkuge: Die grau-schattierte Felder ( - ) repräsetiere Zeiträume, i dee keie Zahluge stattfide. Die Zahluge der Folge B sid aus Darstellugsgrüde ab der 5. Periode auf eie Stelle ach dem Komma gerudet agegebe. Reche Sie mit de exakte Werte [r t = 1,1 r t-1 für t = 2, 3,..., 10] Es sei uterstellt, dass alle Zahluge am Ede der jeweilige Periode t (t = 1, 2, 3,..., ) ) afalle. Lösug: Alterative A: K o A = ,05-10 = ,33 Alterative B: K B o = RBW gs f q 1 1,1 1,05 = r = = 10 q f q 1,05 1,1 1,05 = ,29 Alterative C: K o C = RBW = r = ,14 1 q 1 1 = q q 1 1, ,05 1 = 1, Alterative D: K o D = RBW,i = r/i = 3.000/0,05 = Ragfolge der Vorzieheswürdigkeit: A > D > B > C

6 b) Zeige Sie ahad eier Grafik iwiefer die Vorteilhaftigkeit zwische de Zahlugsfolge A ud D aus Aufgabe a) vom zugrude gelegte Zissatz i abhägt. Stelle Sie dazu i eiem Koordiatesystem [K 0 = f(i) - Diagramm] die beide Fuktioe K A D 0 (i) ud K 0 (i) dar [Ordiate: K 0, Abszisse: i]. Zur Erstellug der Grafik etwickel Sie zuächst eie Wertetabelle für i = 0%, 1%, 2%, 3%, 4% ud 5%. Iterpretiere Sie Ihre Darstellug! (8 Pukte) Lösug: Wertetabelle (3 Pukte) I , , , , ,05 K o A , , , , ,33 K D o Grafik: (3 Pukte) i 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 K0A , , , , ,33 KoD

7 Iterpretatio: (2 Pukte) Bei iedrige Zissätze ist Alterative D vorteilhaft, bei hohe Zissätze Alterative A. Zwische 4 ud 5% dreht sich die Vorteilhaftigkeit um. Begrüdug: Bei hohe Zissätze falle die Zahluge ach t=10 immer weiger is Gewicht. Aufgabe 5: Aufgabe 1: WS 2001/02 (7 Pukte) Eie Gesellschaft für Glücksspiele bietet dem Gewier zwei Alterative a: Er ka wähle zwische (1) eier kostate jährlich achschüssige ewige Rete i Höhe vo r 1 oder (2) eier jährlich achschüssige Rete i Höhe vo r 2, die über eie Zeitraum vo =10 Jahre gezahlt wird ud jährlich h um 4% steigt. Um das Wievielfache (Vorsicht: icht gazzahlig!) muss die Reterate r 2 der geometrisch fortschreitede Rete höher liege als die Reterate r 1 der ewige Rete, so dass beide Alterative zum selbe Barwert führe, we mit eiem Jahreszissatz vo 6% gerechet wird?

8 Lösug: Retebarwert der achschüssige ewige Rete RBW = r 1 (1 Pukt) i Retebarwert der geom. fortschr. Rete RBW = REW q - f q = r 2 f q Gleichsetze beider Terme: r 1 = r2 i f q f q q - (2 Pukte) q - (1 Pukt) Nach r 1 auflöse: r 1 = 0, ,04 1,06 1,04 1,06 10 r 2 r 1 = 0, r 2 r 2 = 1, r 1 (2 Pukte) Atwort: Die Rate der geometrisch fortschreitede Rete über 10 Jahre muss 1,92 mal so hoch sei wie die der ewige Rete. (1 Pukt) Aufgabe 6: Aufgabe 2: (8 Pukte) Um i eier Formelsammlug zur Fiazmathematik die adäquate Formel zur Berechug eies kokrete Reteproblems ausfidig mache zu köe, sollte ma mit de verschiedee Ausgestaltugsforme der Reterechug vertraut sei. Nee Sie die Merkmale (Kriterie), ach dee ma Retevorgäge i der Fiazmathematik syste-matisiert matisiert, ud gebe Sie die zugehörige relevate Merkmalsauspräguge dazu jeweils a! Lösug: (1) ach der Läge des Retevorgags (edliche Rete, ewige Rete) (2) ach der Läge der Periode, ach der sich die Retezahlug wiederholt (jährliche Rete, uterjährige Rete) (3) ach der Fälligkeit der Retezahlug (vorschüssige Rete, achschüssige Rete) (4) ach der Läge der Zisperiode (jährliche Verzisug, uterjährige Verzisug)

9 (5) ach dem Verhältis zwische Rete- ud Zisperiode (Idetität, Divergez) (6) ach der Fälligkeit der Ziszahlug (vorschüssige Zise, achschüssige Zise) (7) ach der Art der Verzisug (eifache Verzisug, ziseszisliche Verzisug) (8) ach der zeitliche Etwicklug der Reterate (kostate Rete, [arithmetisch oder geometrisch] fortschreitede Rete) (jeweils 1 Pukt, ud zwar je 0,5 P für das Merkmal ud 05Pfü 0,5 für die Auspräguge) Aufgabe 7: Aufgabe 3: (6 Pukte) Ei Bauspardarleh mit eier Auszahlugssumme vo ,- ist ach- schüssig mit eier Auität vo 12% der ursprügliche Schuldsumme zurück- zuzahle. Im erste Jahr solle dabei 5%-Pukte auf die Zise (Periode- zissatz = 5%), 7%-Pukte auf die Tilgug etfalle. 1) Stelle Sie eie Tilgugspla l für die beide erste Jahre der Laufzeit auf. Lösug: (2 Pukte) T S t-1 R t T t Z t S t (1) (2) (3) (4)=(3)-(5) (5)=(2) 0,05 (6)=(2)-(4)

10 (2) Wie hoch ist die Abschlusszahlug am Ede des Jahres, i dem letztmalig eie volle Auität zu zahle ist? Lösug: Berechug der Laufzeit t: t = [(log R - log T 1 ) / log q] = [(log log ) / log 1.05] = 11,05 Jahre g = 11 (letztes Jahr, i dem letztmalig eie volle Auität gezahlt wird) (2 Pukte) Berechug der Abschlusszahlug AZ: =S g AZg=11 0 q - R q g 1 = , = ,22 q 1 1,05 1 (2 Pukte) Aufgabe 8: Aufgabe 1: SoSe 2002 Im Jahre 1867 ist de USA mit dem Kauf vo Alaska ei äußerst lukratives Geschäft geluge. Zum Preis vo 7,2 Mio. US-Dollar habe sie damals vo Rußlad de mittlerweile größte Budesstaat der USA erworbe. Ab welchem jährlich jeweils achschüssig zu erreichede durchschittliche Eizahlugsüberschuss hätte sich dieses Geschäft für die USA bereits geloht, we mit eiem Zissatz vo 6% gerechet wird? Wie hoch h wäre der moatlich achschüssig zu erreichede Betrag, we uterjährig eifache Zise agesetzt werde?

11 Lösug: Im vorliegede Fall hadelt es sich um eie achschüssige ewige Rete. Die Reterate r (= midestes zu erreicheder durchschittlicher jährlicher Eizahlugsüberschuss) ergibt sich aus dem Retebarwert der ewige Rete (hier dem Kaufpreis) multipliziert mit dem Zissatz: r = RBW i = 7,2 Mio. 0,06 = US-Dollar (3 Pukte) Diese Reterate ist als jahreskoforme Ersatzreterate r e zu iterpretiere. Der moatlich zu erreichede Eizahlugsüberschuss lässt sich aus der ach r umgestellte Formel für die Ersatzreterate ermittel: i r e = r [m + 2 i (m-1)] = r = / [12 + 0,03 11] = ,50 US-Dollar (4 Pukte) Aufgabe 9: Aufgabe 2: (7 Pukte) Ei Agestellter verdiet zurzeit etto DM jährlich ud rechet für die Zukuft mit eier Steigerug des Nettogehalts vo durchschittlich 4% pro Jahr. (Amerkug: Gehe Sie aus Vereifachugsgrüde davo aus, daß das Jahresgehalt jeweils i eiem Betrag jährlich achschüssig ausgezahlt wird.) Zur Fiazierug seies Hausbaus immt er eie Kredit auf, der jährlich achschüssig zu verzise ud zu tilge ist. Der Agestellte möchte jährlich höchstes 25% seies Netto-Jahresgehaltes für Zis ud Tilgug aufwede. Wie hoch darf der Kredit maximal sei, we er i 20 Jahre zurückgezahlt sei soll ud ei Zissatz vo 6% pro Jahr vereibart wurde?

12 Lösug: Die Aufgabestellug fällt i de Bereich der geometrisch steigede Rete. Aus der i der Formelsammlug agegebee Formel für de Reteedwert REW = r f f q q ka der Retebarwert (= maximaler Kreditbetrag) über die Formel RBW = REW q - bestimmt werde: f RBW = r f q q q - (3 Pukte) Die Reterate r beläuft sich auf 0, = DM (1 Pukt) 1, ,06 RBW = ,04 1, ,06-20 = ,94 Der maximale Kreditbetrag beläuft sich also auf ,94 DM. (3 Pukte) Aufgabe 3: 10: (6 Pukte) Ei Verei erbt zu Jahresbegi vo eiem verstorbee Mitglied DM ud legt dieses Kapital auf eiem Sparbuch für zuächst 10 Jahre zu eiem feste Zissatz vo 6% pro Jahr bei eier Bak a. Zur Ausrichtug der jährliche Gedekfeier solle am Jahresede vom Sparbuch jeweils DM abgehobe werde. Auf welche Betrag lautet das Sparbuch ach Ablauf vo 10 Jahre? Lösug: Um de Edwert des Sparbuches zu bereche, wird die Zahlugsfolge i zwei getrete Zahlugsfolge aufgespalte. Die Edwerte der beide Zahlugsfolge werde da getret berechet ud aschließed ist der Reteedwert der Etahme vom Edwert der Erbschaft abzuziehe: K Erb = = K o q ,06 = ,77 77 DM (2 Pukte) REW Et 10 1,06 1 = r REF= = ,59 DM (2 Pukte) 1,06 1 K = K Erb - REW Et = ,18 DM (2 Pukte)

13 Aufgabe 12: Aufgabe 2: (4 Pukte) Ei juger Diplom-Kaufma macht sich Gedake über seie Altersversorgug. Als Sparziel formuliert er , über die er zu seiem 60. Geburtstag verfüge möchte. Er überlegt, ob eie geometrisch steigede, jährlich achschüssige Rete oder eie kostate, jährlich achschüssige Rete isgesamt zu höhere Auszahluge führt. Bei welcher der beide Retearte ist die Summe aller Reterate (bei gleichem Sparziel!) höher? Begrüde Sie Ihre Aussage verbal! Lösug: Der Edwert (=Sparziel) ergibt sich aus der Summe der Reterate zuzüglich der Zise. Bei gleichem Sparziel sid die Rate der kostate Rete i de erste Jahre höher als bei der geometrisch fortschreitede Rete. Zum Ede der Laufzeit steige dagege die Reterate bei der geometrisch fortschreitede Rete immer weiter a ud liege über dee der kostate Rete. Durch die am Afag höhere Rate der kostate Rete ergebe sich höhere Zisud Zisesziseffekte als bei der geometrisch fortschreitede Rete. Bei kostatem Edwert muss daher die Summe der Reterate bei der geometrisch fortschreitede Rete höher sei als bei der kostate Rete.

14 Aufgabe 13: 3: Ei lagfristiger Kredit i Höhe vo soll zu eiem Zissatz vo 6% p.a. durch Auitätetilgug im Verlauf vo 20 Jahre zurückbezahlt werde. a) Bestimme Sie die Höhe der Jahresauität! Lösug: q 1 Jahresauität R = S 0 ANF = S 0 q = q , ,06 1 = 6.974,76 1, b) Am Ede welche Jahres liegt die Restschuld erstmalig uterhalb des halbe Kreditbetrages? t Lösug: t q q b) Restschuld S t = 0,5 S 0 ud S t = S 0 q 1 t q q = q 1 0,5 (q - 1) = q - q t q - 0,5 (q - 1) = q t t = log [q - 0,5 (q - 1)] : log q t = log [1,06 [ ,5 (1,06 ( )] : log 1,06 = 12,76 Jahre (4 Pukte) Am Ede des 13. Jahres liegt die Restschuld erstmalig uterhalb des halbe Kreditbetrages. (1 Pukt)