Prof. Dr. Günter Hellmig. Klausurenskript Finanzmathematik

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1 Prof. Dr. Güter Hellig lausureskript Fiazatheatik

2 Ihalt: lausur vo WS 9/. Eifache Zise: Vorschüssigkeit ud Nachschüssigkeit. Reterechug: Reteedwert ud Retebarwert 3. Tilgugsrechug: Tilgugspla bei Ratetilgug lausur vo SS. Ziseszise bei Zisasalug: Variable Zissätze sowie uterjährige Zisperiode. Ivestitiosrechug: apitalwertethode ud Itere-Zisfuß-Methode 3. Reterechug: Reteedwert ud Zissatz lausur vo WS /. Eifache Zise: Redite ud Bearbeitugsgebühr. Tilgugsrechug: Restschuld ud Auität bei Ratetilgug 3. Abschreibugsrechug: Abschreibugsbetrag ud Buchwert bei liearer Abschreibug lausur vo SS. Eifache Zise: Uterjährigkeit. Reterechug: Aufgeschobee ud abgebrochee Rete 3. Tilgugsrechug: Tilgugsdauer bei Auitätetilgug lausur vo WS /. Eifache Zise: Uterjährigkeit. Reterechug: Reterate ud Retebarwert 3. Tilgugsrechug: Tilgugspla ud Effektivverzisug bei Disagio ud Ratetilug lausur vo SS. Eifache Zise: Vorschüssigkeit. Ziseszise bei Zisasalug: Variable Zissätze ud Reditebestiug 3. Tilgugsrechug: Auitätetilgug ud Ratetilgug lausur vo WS /3. Zise: Wertzuwachs, Nachschüssigkeit, Vorschüssigkeit, Redite. Ivestitiosrechug: apitalwert 3. Reterechug: apitalaufbau

3 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe WS 9/. Die "Fiazbak" verkauft sog. Bakschätze it Abzisug (Newert = 5 Euro, Laufzeit = 3 Jahre). - Bereche Sie folgede Prozetzahle it 3 Nachkoastelle: a) We der Verkaufspreis 457 Euro lautet: Wie hoch ist der Verkaufszissatz?...Lösug: b) We der Verkaufspreis 459 Euro lautet: Wie hoch ist der eifache Zissatz?...Lösug: c) We der Verkaufszissatz,7 Prozet lautet: Wie hoch ist der eifache Zissatz?...Lösug: d) We der eifache Zissatz 3, Prozet lautet: Wie hoch ist der Verkaufsszissatz?...Lösug:.a) Dietrich Doppelspar schließt eie füfjährige Ratesparvertrag ab, für de achschüssige Eizahluge vo Euro ud 3 Prozet Zise vereibart werde. Uittelbar ach Laufzeitede schließt er och eie siebejährige Ratesparvertrag ab, für de dieselbe oditioe gelte. - Wie lautet das (geeisae) Edkapital? b) Bereche Sie das Ergebis zu Frage a) achvollziehbar auf eie adere Art! c) Wie lautet der etsprechede Barwert? 3. Oskar Ohegeld it eie redit vo 8 Euro auf, de er grudsätzlich i kostate Rate abbezahle uss, zuzüglich 5,5 Prozet Zise. Wie lautet der Tilgugspla i de letzte beide Tilgugsjahre, a) we die regeläßige Rate 5 Euro betrage, b) we die regeläßige Rate 6 Euro betrage?

4 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge WS 9/.a) = ( i ) 457 = 5 ( 3 iv)...lösug: V b) = ( + i) 5 = 459 ( + 3 i)...lösug: c) = ( iv) = 5 ( 3,7) = 4595 = ( + i) 5 = 4595 ( + 3 i)...lösug: d) = ( + i) 5 = ( + 3,3) = 4574, 57 = ( iv) 4574,57 = 5 ( 3 iv)...lösug:,867,977,938,836.a),3 R = r (wobei =5) R = = 68, 7,3 R = r 7,3 (wobei =7) R = = 534, 94,3 7 R + = R + R R + = 68,7, ,94 = 8384, 6,3 b) R = r (wobei =) R =,3 = 8384, 6 R 8384,6 c) R = R =,3 = 998, 5 3. S = T t S t = S ( ) t Z t = S ( ) i Zt = St S T = = kostat T = S t i A t S t S = [ + ( t + ) i] A t = Z + T t t = S ( ) S t = S t T a) b) Jahr Afagsschuld Zise Tilgug Auität Restschuld Jahr Afagsschuld Zise Tilgug Auität Restschuld

5 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe SS. Die "Profitbak" bietet eie Stufezis-Sparbrief a, der eie füfjährige Laufzeit hat ud it Zisasalug ausgestattet ist. Die Zissätze laute:. Jahr:, Prozet. Jahr:, Prozet 3. Jahr: 3, Prozet 4. Jahr: 3,8 Prozet 5. Jahr: 4, Prozet a) Wie hoch ist die Redite (Prozet it 3 Nachkoastelle)? b) We dieser Sparbrief it eie halbjährliche Ziszuschlag ausgestattet ist: Wie hoch ist da die Redite (Prozet it 3 Nachkoastelle)?. Der Utereher Tio Tüchtig kauft eie Maschie. Der aufpreis ist 6 Euro; die Nutzugsdauer beträgt Jahre. I erste Jahr erwirtschaftet sie Eiahe vo 75 Euro, die Ausgabe sid 55 Euro. I zweite Jahr hat sie Eiahe vo 8 Euro ud Ausgabe vo 35 Euro, hizu kot och ei Restwert vo 5 Euro. a) Bereche Sie de apitalwert (alkulatioszissatz = 9 Prozet)! b) Bereche Sie de itere Zisfuß! c) Nee ud erläuter Sie eie Nachteil der apitalwert-methode ud eie Nachteil der Itere-Zisfuß-Methode! 3. Gerd Geldhaufe erhält de Auszahlugsbetrag zu seier Reteversicherug, die er vor 5 Jahre abgeschlosse hatte ud die er jährlich-achschüssig it 8 Euro bediet hatte. a) Als Verzisug ware ih 4 Prozet i Aussicht gestellt worde. - Mit welche Auszahlugsbetrag ka er reche? b) Tatsächlich werde ih 59 Euro ausgezahlt, weil die tatsächliche Verzisug ur bei 3,9 Prozet liegt. - Prüfe Sie diese Zissatz i achvollziehbarer Weise! c) Begrüde Sie: Liegt die tatsächliche Verzisug - bei geauester Betrachtug - gerigfügig über oder uter 3,9 Prozet?

6 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge SS.a) = =... = 5,,,3,38,4 =,997 p e =, 997 b) = =... R R 5 =,,,5,9, =,3 p e = 3, R.a) E A E A =... E A C A R C = C = 43, 6,9,9,9 b) E A E A =... E A A R = = = 6 ± 5 ( ) =,9463 p e = 9, 463 =,769 p e = 76, 9.d. c) Nachteil der apitalwert-methode: Eressesspielrau bei der Festlegug des alkulatioszissatzes, welcher über die Vorteilhaftigkeit der Ivestitio etscheidet Nachteil der Itere-Zisfuß-Methode: ustädliche Berechug; bei höhere Nutzugsdauer überhaupt kei geschlossees Berechugsverfahre 3.a) b) R R = r = r 5,4 R = 8 R = 68, 87,4 5, , 36,39 c) Die tatsächliche Verzisug liegt gerigfügig uter 3,9 Prozet, weil der Auszahlugsbetrag kleier ist als 59,36.

7 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe WS /. Die "Beradetta-Bak" vergibt eijährige redite zu 3,49 Prozet Zise; die redite werde abzüglich eier Bearbeitugsgebühr vo Prozet ausgezahlt. Vorzeitige Rückzahlug der redite ist öglich; i diese Fall werde die ateilige Zise ud die volle Bearbeitugsgebühr berechet. - Es ist it drei Nachkoastelle zu bereche: a) Wie hoch ist die Effektivverzisug, we die Rückzahlug ach Jahr erfolgt (redit = Euro)? b) Der rediteher Güter Erbpächter ka die Rückzahlug scho ach 4 Moate leiste (redit = Euro). - Wie hoch ist für ih die Effektivverzisug? c) Zusatzfrage: Wie hoch wäre für Güter Erbpächter die Effektivverzisug, we () er ur die Bearbeitugsgebühr bezahle üsste (also keie Zise), () er ur die Zise bezahle üsste (also keie Bearbeitugsgebühr)?. Eie Bak vergibt redite, die durch Ratetilgug bei 5 Prozet Zise abzuzahle sid. a) Ato Abzahler hat eie redit für 8 Jahre; sei reditbetrag ist Euro. - Wie hoch ist die Restschuld i 5. Jahr? b) Thoas Tilger hat eie redit für 5 Jahre; seie Tilgugsrate ist 8 Euro. - Wie hoch ist die Auität i. Jahr? 3. Der Utereher Peter Profitlich kauft zwei Maschie, die er jährlich liear abschreibt. a) Die erste Maschie hat eie Aschaffugspreis vo 5 Euro ud ist ach Jahre restlos abgeschriebe. () Wie hoch ist der jährliche Abschreibugsbetrag? () Wie hoch ist der Buchwert a Ede des. Jahres? b) Die zweite Maschie hat eie Aschaffugspreis vo Euro ud ist ach 5 Jahre bis auf de Schrottwert vo eie Zehtel des Aschaffugspreises abgeschriebe. () Wie hoch ist der jährliche Abschreibugsbetrag? () Wie hoch ist der Buchwert a Ede des 3. Jahres?

8 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge WS /.a) = = E,349 = =,56 p e = 5, 6 98 b) = = ( +,349) ( + i) E 3 3 = =,99996 p e =, 98 c) ( + ) = = E E = 3 =,648 p e = 6, c) ( + i) = = = + i = 3 +,349 =,3538 p e = 3, 53 3.a) t 5 S t = S S 5 = = S b) T = S = T S = 5 8 = A t S = [ + ( t + ) i] 5 A = [ + ( 5 + ),5] = 3.a) B B B 5 = B A A = A = = 5 a) = B A B = B = b) B B = B A A = A = = 36 5 B b) = B A B = B 3 =

9 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe SS. Dietrich Dreier zahlt dreial i Jahr, ud zwar zu Begi eies jede Jahresdrittels, Euro auf ei Sparkoto. Wie hoch ist die Sue a Jahresede bei eie Zissatz vo,5 Prozet?. Detlef Doppelfrist schließt eie Sparvertrag ab. Der Vertrag begit it eier vierjährige Aufschubfrist, da sid zeh Jahre lag regeläßige Rate vo 5 Euro zu zahle, ud er edet ach eier sechsjährige Wartefrist. Der Zissatz beträgt 4 Prozet. a) Wie hoch ist, we die Zahluge achschüssig sid, das gesate Edkapital? b) Zusatzfrage: Wie hoch ist der Barwert? c) Wie hoch ist, we die Zahluge vorschüssig sid, das gesate Edkapital? d) Zusatzfrage: Wie hoch ist der Barwert? 3. Otto Ohegeld hat eie redit vo 5 Euro zu 9 Prozet Zise aufgeoe. a) Wa ist der redit recherisch getilgt, we die Auität 5 Euro beträgt? (Nachvollziehbare Rechug!) - Zusatzfrage: Welches alederjahr ud welcher Moat etspricht diese Ergebis, we der redit a. Jauar aufgeoe wurde? b) Was würde sich für de Tilgugszeitpukt ergebe, we die Auität ur 3 Euro beträgt? (Nachvollziehbare Rechug!) - Zusatzfrage: Wie lässt sich dieses Ergebis sachlich erläuter ud begrüde?

10 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge SS. + + = ( + i) + ( + i) + ( + i) 3.a) = 3 3 = ( +,5) + ( +,5) + ( +,5) = = 33 s = R = r,4 R = R = 5 = 63,54,4 6 6 = = R = 63,54, ,78 s 6 = s ,78 b) = 34666, 4 t = = =,4 c) s = R' = r,4 R' = R ' = 5,4 = 643,76,4 6 6 = = R' = 643,76, ,9 d) s 6 = s ,9 = 365, 78 t = = =,4 3 3.a) A = S,9 5 = 5,9,9 5 (,9 ) = 5,9, 9 5,9 5 = 35, 9 5,9 = 5,9 = lg = lg,9 = 6, 79 Zusatzfrage: Jahr = 37, Moat = Septeber b) A = S,9 3 = 5,9,9 3 (,9 ) = 5,9, 9 3,9 3 = 35, 9 5,9 = 3,9 = 6 lg( 6) = lg,9 =.d. Zusatzfrage: Der redit wird ieals getilgt, weil die Zise höher sid als die Auität. 3

11 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe WS /. Der Lieferat Ego Ehrlicher hat a.7. vo seie ude Verzugszise (8,37 Euro) erhalte für eie seit de 6.. ausstehede Rechugsbetrag vo 6 Euro. a) Welcher Zissatz etspricht dieser Ziszahlug (Methode 3E/36, Rechug it drei Nachkoastelle)? b) Wie hoch wäre der etsprechede Zissatz, we... () die beide obige Terie jeweils geau Moat später wäre, () die beide obige Terie jeweils geau Jahr später wäre?. Güter Gutesch hat seit Jahre a eie karitative Orgaisatio regeläßige achschüssige Zahluge geleistet, welche a Ede der Zeitspae eie fiazatheatische Gesatwert vo 6 Euro habe. - Wie hoch sid diese Zahluge gewese... a) bei eie Zissatz vo 4,5 Prozet, b) bei eie Zissatz vo 3,5 Prozet? c) Zusatzfrage zu b): Wie hoch ist der fiazatheatische Gesatwert zu Begi dieser Zeitspae? 3. Gerhard Geldera erhält eie redit vo 4 Euro, welcher bei 4 Prozet Zise ierhalb vo Jahre i gleiche Rate zurückzuzahle ist. Die Auszahlug erfolgt it eie Disagio vo,5 Prozet. a) Wie lautet der Tilgugspla? b) Wie hoch ist der Effektivzissatz? c) Wie hoch wäre der Effektivzissatz, we bereits a Ede des erste Jahres die gesate Restschuld zurückgezahlt wird? d) Waru ist der Effektivzissatz bei c) höher als bei b)?

12 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge WS /.a) = ( + i) ,37 = 6 + i ,37 = i 36 i =, 973 p =,973 b) p =, 973 b) p =, 973.a) b) R R = r = r,45,45 6 = r r = 6 = 9, 57,45,45,35,35 6 = r r = 6 =, 66,35,35 c) R 6 R = R 353, 95 = =,35 3.a) b) c) t S t Z t T A t S t A A A3 = E T 6 8 = = = ± =,5796 p e = 5, 796 =,54 p e = 5,4 =. d A A A3 T = E = =, 6667 p e = 6, 667 d) Der Effektivzissatz ist bei c) höher, weil sich hier das Disagio auf eie verkürzte Zeitrau bezieht (ur Jahr, astatt Jahre).

13 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe SS. Der agehede Idustriekaufa A. Zubi etdeckt alte Aufzeichuge zu zwei Wechsel, die vo seier Fira bei eier Bak eigereicht worde ware. a) I erste Fall war ei Wechsel (Wechselsue = 8 Geldeiheite) 9 Tage vor Fälligkeit bei eier Bak eigereicht worde. - Welche Gutschrift hat die Fira erhalte, we der Diskotsatz 6,5 Prozet betrug? (Jahr = 36 Tage) b) I zweite Fall hatte die Fira eie Wechselgutschrift vo 99 Geldeiheite vo eier Bak erhalte (Diskotsatz = 5 Prozet). - Wieviel Tage vor Fälligkeit war die Gutschrift erfolgt, we die Wechselsue Geldeiheite betrug? (Jahr = 36 Tage). Die Alegeri Wilhelie Rückert kauft eie vo eier Bak ausgegebee Zisasalugs-Sparbrief; dieser hat eie Laufzeit vo 5 Jahre ud folgede Zisstaffel:. Jahr = 3,5 %,. Jahr = 3,5 %, 3. Jahr = 3,75 %, 4. Jahr = 4, %, 5. Jahr = 4,5 %. - Es ist it drei Nachkoastelle ud achvollziehbar zu bereche: a) Wie hoch ist die Redite? b) We hier der Ausgabekurs,5 Prozet lautet: Wie hoch ist da die Redite? c) Die Alegeri kauft de i Frage b) beschriebee Sparbrief i Newert vo 9 Euro. () Wie hoch ist der aufpreis (Euro)? () Wie hoch ist der Rückgabepreis (Euro)? (3) Bestie Sie die Redite aufgrud der Euro-Werte! 3. Otto Ohegeld hat ei Darlehe vo 4 Euro zu 5,5 Prozet Zise erhalte; er uss Jahre lag tilge. a) Wie hoch ist, we es sich hierbei u Auitätetilgug hadelt, i 6. Jahr: () Restschuld () Zise b) Wie hoch ist, we es sich dagege u Ratetilgug hadelt, i 6. Jahr: () Afagsschuld () Tilgug (3) Auität

14 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge SS 9 i V = 8, 65 = 777, 5 36 T = i V 99 =, 5 T = 7 36.a) = ( ) b) ( ).a) = =... =... 5 =,35,35,375,4, 45 =, p = 3, 749 e b) = =... E,35,35,375,4,45,5 = 5, 3449 = p = 3, 44 c) E =, 5 E = 9,5 E = 935 c) =... 5 = 9,35,35,375,4,45 = 88,584 5 = 88, 58 c3) = = 88, E = 5, 3449 = p = 3, 44 e e t 6,55,55 3.a) S t = S S 6 = 4,55 S 6 = 64697, 7 t a) Z t = S ( ) 6,55 Z 6 = 4 (,55,55 ),55 Z 6 = 44, 56 t 5 b) S t = S S 5 = 4 S 5 = 7 S 4 b) T = T = T = 4 S 4 b3) A t = [ + ( t + ) i] A 6 = [ + ( 6 + ),55] A 6 = 7675

15 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Aufgabe WS /3. Vo Mafred Megepege ware a. März eijährige Fiazierugsschätze i Newert vo 9 Euro ud zu Preis vo 89 Euro gekauft worde; diese sid a. März 3 fällig. - Zu folgede Begriffe sid die Lösuge it 3 Nachkoastelle eizutrage: a) Wertzuwachs (Euro)...Lösug: b) Nachschüssiger Zissatz (Prozet)...Lösug: c) Verkaufszissatz (Prozet)...Lösug: d) Redite (Prozet)...Lösug: e) Zisbetrag (Euro)...Lösug: f) Eifacher Zissatz (Prozet)...Lösug: g) Vorschüssiger Zissatz (Prozet)...Lösug: h) Effektiver Zissatz (Prozet)...Lösug:. Der Utereher Siegesud Rüstig kauft für Euro eie Maschie, die eie Laufzeit vo 4 Jahre hat. I erste Jahr verursacht sie Ausgabe A=4 Euro ud Eiahe E=8 Euro, i zweite Jahr laute die Zahle A=3 ud E= 9, i dritte Jahr ergebe sich A=7 ud E=6, ud i vierte Jahr sid es A= ud E=5. Der alkulatioszissatz beträgt 6 Prozet. a) Bereche Sie de apitalwert! b) Der ivestitiosrecherische Begriff "apitalwert" ist zu defiiere. (Geaue Defiitio!) 3. Sascha Spara, der auf seie oto eie bestite Afagsbestad hat, will durch jährliche vorschüssige Eizahluge ud bei 3 Prozet Zise ierhalb vo 5 Jahre auf eie Edbestad vo Euro koe. a) Wie hoch uss die jährliche Eizahlug sei, we der Afagsbestad Euro ist? b) Wie hoch wäre der Afagsbestad, we die jährliche Eizahlug 4 Euro wäre? c) Wie hoch wäre bei Frage b) der otostad ach Ablauf des vierte Jahres?

16 Prof. Dr. Güter Hellig - lausureskript Fiazatheatik - Lösuge WS /3.a) Z = Z = 9 89 Lösug für Z: b) = ( + i a ) = 89 ( + i a ) c) = ( ) = 9 ( ) i V 9 Lösug für p a : 89 i V Lösug für p V : d) 9 e = e =, 36 = Lösug für p e : 89 e) Z = Z = 9 89 Lösug für Z: f) = ( + i a ) = 89 ( + i a ) g) = ( ) = 9 ( ) i V 9 Lösug für p a : 89 i V Lösug für p V :, h) 9 e = e =, 36 = Lösug für p e :,4 89,4,,4,4.a) E A E A E A E A R = A e e e e e E A E A E A E A R C = A C = ,6,6,6,6 C = 65,5 + b) Der apitalwert ist eie eziffer für die Vorteilhaftigkeit eier Ivestitio; er ist die Differez zwische der Aschaffugsausgabe ud de laufede Eiaheüberschüsse, welche it de alkulatioszissatz auf de Begi der Nutzugsdauer abgezist worde sid. 3.a) = + r 5 5,3 =,3 + r,3,3 r = 3593, 5 b) = + r 5 5,3 =,3 + 4,3,3 = 5, 9 c) = + r 4 4,3 4 = 5,9,3 + 4,3,3 4 = 34, 3