Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

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1 Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche 11 Aufgabe 1 [Bedigte Wahrscheilichkeite] Must Zeige Sie: bedigte Wahrscheilichkeite P [ B] sid (auch) Wahrscheilichkeite Setze Sie voraus, dass > Aufgabe 2 [Summe Geometrisch] Ageomme, ei Motor sprigt mit Wahrscheilichkeit 99 beim Starte a Wie gross ist die erwartete Zeit (vo jetzt a), bis der Motor zum dritte Mal icht asprigt Setze Sie Uabhägigkeit der Ereigisse voraus Aufgabe 3 [Z-Trasform] [1 Pukt] Stadard X sei N (3, 16)-verteilt Bereche Sie P [ 2 < X < 4] Aufgabe 4 [Uabhägigkeit] [1 Pukt] Gebe Sie eie Folge vo Zufallsgrösse (X ) N a, sodass jeweils gilt X i Xi+1 i ud für kei i gilt X i Xi+2 Aufgabe 5 [Expoetialverteilug] [1 Pukt] Das verliebte Paar Seppli ud Trudi verbrige eie Witer auf eier Berghütte Dazu müsse sie a allerlei Vorrat deke; uter aderem auch a die Azahl Glühbire, welche sie für die eie Lampe mitehme sollte - diese eie Lampe muss dauerhaft bree Sie etscheide sich für total 3 Glühbire I eiem gägige Modell wird die Rate, bis eie solche Glühbire kaputt geht, mit eier exp(λ)-zufallsgrösse modelliert Es gelte hier λ 1 1, we die Zeiteiheit Stude ist Wie lage dauert es im Erwartugswert im Modell, bis de beide das Licht ausgeht? Setze Sie jeweils Uabhägigkeit voraus Aufgabe 6 [Expoetialverteilug] [2 Pukte] Das verliebte Paar Fritz ud Vrei verbrige auch eie Witer auf eier Berghütte Dazu müsse sie a allerlei Vorrat deke; uter aderem auch a die Azahl Glühbire, welche sie für die zwei Lampe mitehme sollte - diese beide Lampe müsse dauerhaft bree Sie etscheide sich für total 4 Glühbire I eiem gägige Modell wird die Rate, bis eie solche Glühbire kaputt geht, mit eier exp(λ)-zufallsgrösse modelliert Es gelte hier λ 1 1, we die Zeiteiheit Stude ist Wie lage dauert es im Erwartugswert im Modell, bis sie ur och eie der Lampe bree habe? Setzte Sie jeweils Uabhägigkeit voraus Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 1 vo 6

2 Dr Christoph Luchsiger Aufgabe 7 [Bayes] [1 Pukt] Karl liebt de Alkohol (wer icht) Die Wahrscheilichkeit, dass er ach Büroschluss trikt, ist 8 Karl ist auch vergesslich Die Wahrscheilichkeit, dass er seie Schirm stehe lässt we er üchter ist, ist 7 Die Wahrscheilichkeit, dass Karl seie Schirm stehe lässt, we er getruke hat, ist sogar 8 Karl kommt ohe Schirm ach Hause Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass er diesmal icht getruke hat? Aufgabe 8 [Dichte, Erwartugswert, Trasformatio] [25 Pukte] X habe Dichte f(x) Kx 2 auf dem Itervall [, 1] ud sei sost Bereche Sie a) die Normierugskostate K b) E[X] c) E[1/X] d) die Verteilugsfuktio vo Y : 1/X e) die Dichte vo Y : 1/X Aufgabe 9 [Trasformatio vo Zufallsgrösse] [2 Pukte] Sei X eie U[, 1]-Zufallsgrösse Bereche Sie die Dichte vo Y : log(x) Wie heisst diese Verteilug (gaz geaue Agabe mit Parameter)? Aufgabe 1 [(Ω, A, P )] [1 Pukt] Gebe Sie eie Wahrscheilichkeitsraum (Ω, A, P ) ud 2 Zufallsgrösse X, Y auf (Ω, A, P ) a, sodass gleichzeitig gilt: P [X ] P [Y ] (1 p); P [X 1] P [Y 1] p; P [X + Y 1] 1 Sie dürfe p frei wähle Hoours Aufgabe 11 [ ; Verallgemeierug LLN] [2 Pukte] Sei X 1, X 2, eie Folge vo Zufallsgrösse mit E[X i ] µ i ud V [X i ] σi 2 ud Cov(X i, X j ), i j Sei X : 1 X i, σ 2 : 1 σ2 i ud µ : 1 µ i Es gelte lim 1 σ 2 Zeige Sie: für vorgegebees ɛ > gilt: lim P [ X µ > ɛ] Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 2 vo 6

3 Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Seite 3 vo 6 Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Olivier Wari 5 März 213 Aufgabe 1 [Bedigte Wahrscheilichkeite] Es sei (Ω, A, P ) ei Wahrscheilichkeitsraum ud B Ω ei Ereigis mit > Behauptug: Die Fuktio A A P [A B] R defiiert auch eie Wahrscheilichkeit Beweis: a) Es sei A ei Ereigis Nu gilt offebar A B B ud daher ach WTS-Lemma 13 d) ud WTS-Defiitio 12 P [A B] ud damit Wir schliesse P [A B] 1 b) Es gilt P [Ω B] P [Ω B] 1, da B Ω P [A B] c) Sei (A i ) i N eie abzählbare Folge vo disjukte Ereigisse Offesichtlich ist die Folge (A i B) ebefalls disjukt Somit folgt mit WTS-Defiitio 12 (für P ): 1 P [ A i B] P [ A i B] P [A i B] P [A i B] P [A i B] Die Pukte a), b) ud c) beweise die Behauptug aufgrud vo WTS-Defitio 12 Aufgabe 2 [Summe Geometrisch] Ageomme, ei Motor sprigt mit Wahrscheilichkeit 99 beim Starte a Wir iteressiere us jetzt für die erwartete Zeit (bzw Azahl Versuche) bis der Motor zum dritte Mal icht asprigt Erfolg heisst also, dass das Gerät icht asprigt (Erfolgswahrscheilichkeit ) Wir ehme Uabhägigkeit der eizele Versuche a Die Zeit bis der Motor drei Mal icht asprigt ist ach WTS-424 NB(3, 1)-verteilt Der gesuchte Erwartugswert lautet also (siehe WTS-424): Aufgabe 3 [Z-Trasform] Eie Zufallsgrösse X sei N (3, 16)-verteilt Nu gilt P [ 2 < X < 4] P [X < 4] P [X 2] R porm(4,3,sqrt(16)) - porm(-2,3,sqrt(16)) R Alterativ köe wir die Z-Trasformatio ud eie Tabelle der N (, 1)-Verteilug beutze ud erhalte so [ 2 3 P [ 2 < X < 4] P < X 3 < 4 3 ] P [ 125 < N (, 1) < 25] P [N (, 1) < 25] P [N (, 1) < 125] Φ(25) Φ( 125) Tabelle Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 3 vo 6

4 Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Seite 4 vo 6 Aufgabe 4 [Uabhägigkeit] Es seie X ud X 1 zwei uabhägige N (, 1)-verteilte Zufallsgrösse Weiter defiiere für i N mit i > 1 X, falls i gerade X i X 1, falls i ugerade Nu gilt für alle i N X i X i+2 ud somit sid diese klar abhägig Desweitere gilt offebar für alle i X i X i+1 Aufgabe 5 [Expoetialverteilug] Das verliebte Paar Seppli ud Trudi verbrige eie Witer auf eier Berghütte Dazu müsse sie a allerlei Vorrat deke; uter aderm auch a die Azahl Glühbire, welche Sie für die eie Lampe mitehme sollte - diese eie Lampe muss dauerhaft bree Sie etscheide sich für total 3 Glühbire Wir modelliere die Zeitdauer bis eie solche Glühbire kaputt geht mit eier Exp(λ)-Zufallsgrösse mit λ 1 1, wobei wir die Zeiteiheit Stude verwede Jeder der drei Glühbire 1,2 ud 3 etspricht also eie Exp(λ)-verteilte Zufallsgrösse X 1, X 2 bzw X 3 Die erwartete Glühdauer beträgt also ach WTS-432 (bzw WTS-433): E[X 1 + X 2 + X 3 ] E[X 1 ] + E[X 2 ] + E[X 3 ] 1 λ + 1 λ + 1 λ 3 λ 3 h 3 h Tage Aufgabe 6 [Expoetialverteilug] Das verliebte Paar Fritz ud Vrei verbrige auch eie Witer auf eier Berghütte Dazu müsse sie a allerlei Vorrat deke; uter aderem auch a die Azahl Glühbire, welche Sie für die zwei Lampe mitehme sollte - diese beide Lampe müsse dauerhaft bree Sie etscheide sich für total 4 Glühbire Wie i Aufgabe 5 modelliere wir die Zeitdauer bis eie solche Glühbire kaputt geht mit eie Exp(λ)- Zufallsgrösse X i mit λ 1 1, wobei wir die Zeiteiheit Stude verwede Die Zeit wird da gestoppt, we die isgesamt 3 Glühbire kaputt gegage sid, da Vrei ud Fritz da ur och eie itakte Glühbire übrig habe, die icht für beide Lampe reicht Es ist dabei jeweils irrelevat, welche vo beide gerade i Betrieb stehede Glühbire kaputt geht Somit iteressiere wir us für Zufallsgrösse der Form Y k mix i, X j }, k 1, 2, 3 Nach dem Beispiel 2 im Abschitt 26 aus Kapitel 2 der Vorlesug WTS hat Y k eie Exp(2λ)-Verteilug Somit gilt für de gesuchte Erwartugswert: E[Y 1 + Y 2 + Y 3 ] E[Y 1 ] + E[Y 2 ] + E[Y 3 ] 1 2λ + 1 2λ + 1 2λ h 625 Tage Aufgabe 7 [Bayes] Karl liebt de Alkohol (wer icht) Wir defiiere u zwei Ereigisse: T Karl hat ach Büroschluss getruke ud S Karl hat seie Schirm stehe gelasse Aus dem Aufgabetext geht hervor, dass gilt P [T ] 8, P [S T c ] 7 ud P [S T ] 8 Karl kommt u ohe Schirm ach Hause Wir iteressiere us jetzt für die Wahrscheilichkeit, dass er diesmal icht getruke hat, also für P [T c S] Mit der Formel vo Bayes (WTS-147) ud WTS-Lemma 13 schliesse wir aus de gegebee Date: P [T c S] P [S T c ]P [T c ] P [S T c ]P [T c ] + P [S T ]P [T ] 7 (1 8) 7 (1 8) P [S T c ](1 P [T ]) P [S T c ](1 P [T ]) + P [S T ]P [T ] 1795% Aufgabe 8 [Dichte, Erwartugswert, Trasformatio] Die Zufallsgrösse X habe als Dichtefuktio f(x) Kx 2 auf dem Itervall [, 1] ud sei sost Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 4 vo 6

5 Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Seite 5 vo 6 a) Da f eie Dichte ist, muss ach WTS-Defiitio 24 gelte 1 f(x)dx Kx 2 dx K 3 ud damit K 3 b) Nach WTS-Defiitio 31 ud Teilaufgabe a) gilt E[X] xf(x)dx x 3x 2 dx 3x 3 dx 3 4 c) Mit WTS-Defiitio 32 ud Teilaufgabe a) schliesse wir E[1/X] 1 1 x f(x)dx 1 x 3x2 dx 3xdx 3 2 d) Für die Verteilugsfuktio F Y vo Y 1/X gilt ach WTS-Defiitio 22 F Y (a) P [Y a] P [1/X a] Da P [X 1] P [1/X 1] folgt F Y (a) für a 1 Falls a > 1 folgt F Y (a) P [1/X a] P [X 1/a] 1 P [X < 1/a] 1 1 /a Zusammegefasst erhalte wir 3x 2 dx 1 1 a 3 F Y (a), falls a 1 1 a 3, falls a 1 /a f(x)dx e) Nach der Eigeschaft Nummer 4 zur WTS-Defiitio 24 (Seite 9 ute im Skript) gilt für eie Dichtefuktio f Y vo Y : f Y (a) F Y, falls a 1 (a) 3a 4, falls a 1 Aufgabe 9 [Trasformatio vo Zufallsgrösse] Sei X eie U[, 1]-Zufallsgrösse Nu defiiere wir Y log X Für die Verteilugsfuktio F Y gilt u ach WTS-Defiitioe 22 ud 431 F Y (a) P [Y a] P [ log X a] P [log X a] P [X e a ] 1 P [X e a ] 1 e a, falls a, falls a < Nach der Eigeschaft Nummer 4 zur WTS-Defiitio 24 (Seite 9 ute im Skript) gilt für eie Dichtefuktio f Y vo Y : f Y (a) F Y e a, falls a (a), falls a < Mit WTS-432 folgt daraus, dass Y eie Exp(1)-Verteilug besitzt Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 5 vo 6

6 Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Seite 6 vo 6 Aufgabe 1 [(Ω, A, P )] Wir defiiere p 5, Ω, }, A P(Ω) ud P [ }] P [ }] p Weiter setze wir X(ω), falls ω 1, falls ω ud Y (ω), falls ω 1, falls ω Nu gilt für alle ω Ω X(ω) + Y (ω) 1 ud damit P [X + Y 1] 1 Ausserdem habe wir wie gewüscht p 1 p 5 P [ }] P [X 1] P [Y ] p 1 p 5 P [ }] P [X ] P [Y 1], Aufgabe 11 [ ; Verallgemeierug LLN] Sei (X i ) i N eie Folge vo Zufallsgrösse mit µ i E[X i ] < ud σi 2 V [X i] < ud Cov(X i, X j ) für alle i, j mit i j Weiter seie X 1 X i, σ 2 1 σ2 i ud µ 1 µ i Wir ehme weiter a, dass gilt σ 2 lim ( ) Behauptug: Für jedes ε > gilt lim P [ X µ > ε] Beweis: Es sei eie atürliche Zahl Nu gilt [ ] E[ X 1 ] E X i 1 E[X i ] 1 µ µ Sei ε > Mit Hilfe vo WTS-51 (Ugleichug vo Bieayme-Tschebyschew) köe wir jetzt schliesse [ ] P [ X µ > ε] P [ X µ ε] 1 ε 2 V [ X ] 1 ε 2 V 1 X i WTS-Lemma 37 ud Aussage h) im Abschitt WTS-34 erlaube es us daraus zu folger [ P [ X µ > ε] 1 ] ε 2 2 V X i 1 ε 2 1 V [X i ] 1 ε 2 σ2, wobei wir am Ede die Aahme ( ) eigesetzt habe Dies beweist die Behauptug Frühjahrsemester 213 Olivier Wari Seite 6 vo 6