D-HEST, Mathematik III HS 2015 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourquin und M. Sprecher. Lösung 1

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1 D-HEST, Mathematik III HS 15 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourqui ud M. Sprecher Lösug 1 Das erste Kapitel der Vorlesug behadelt die Theorie der Fourier-Reihe. Bearbeite Sie bitte folgede Frage olie bis Diestag, de Bitte wede!

2 1. Für jede gerade -periodische Fuktio f mit Fourier-Koeffiziete a, b gilt (a) a = (b) a = 1 f(x) cos(x)dx (c) a = f(x) cos(x)dx (d) b = (e) b = 1 f(x) si(x)dx (f) b = f(x) si(x)dx (g) Nichts davo. (h) Weiss ich icht. Sei f gerade, d.h. f( x) = f(x). Setze i die Formel für de Fourier-Koeffiziete b b = 1 f(x) si(x) dx die Substitutio y = x ei: b = 1 f(x) si(x) dx = 1 also b = ud b =. f( y) si(( y)) ( dy) = 1 f(y) si(y) dy = b Überlege wir us die Atwort aufgrud der Symmetrie vo (u-)gerade Fuktioe: Es gilt Siehe ächstes Blatt!

3 si ist eie ugerade, cos eie gerade Fuktio. Das Produkt zweier (u-)gerader Fuktioe ist eie gerade Fuktioe. Das Produkt eier gerade ud eier ugerade ist eie ugerade Fuktio. Ist also f gerade, ist f si ugerade, also der Graph puktsymmetrisch zum Ursprug, daher für jedes a a a f(x) si(x) dx =. Aalog ist f cos gerade, der Graph symmetrisch zur y-achse ud für jedes a ud a = a a f(x) cos(x)dx. f(x) cos(x) dx = a f(x) cos(x) dx Bitte wede!

4 . Für jede ugerade -periodische Fuktio f mit Fourier-Koeffiziete a, b gilt (a) a = (b) a = 1 f(x) cos(x)dx (c) a = f(x) cos(x)dx (d) b = (e) b = 1 f(x) si(x)dx (f) b = f(x) si(x)dx (g) Nichts davo. (h) Weiss ich icht. Siehe Erläuteruge i Frage 1 mit vertauschte Rolle: Es sid f cos ugerade ud f si gerade. Siehe ächstes Blatt!

5 3. Seie f, g C 1 ([, 1]) mit Skalarprodukt f, g = f(x)g(x) dx. Ageomme, der Graph vo f ud der Graph vo g scheide sich sekrecht, d.h. die Tagete i eiem gemeisame Pukt stehe sekrecht aufeiader. Da sid f ud g orthogoal bezüglich dieses Skalarprodukts. (a) Richtig. (b) Falsch. (c) Weiss ich icht. Seie zum Beispiel f(x) = x ud g(x) = x. Dere Graphe scheide sich sekrecht im Ursprug, aber es gilt f, g = f(x)g(x) dx = also sid f ud g icht orthogoal bezüglich,. ( x ) dx = = 3, Bitte wede!

6 4. Ist f eie ugerade Fuktio ud g eie gerade Fuktio, so sid f ud g orthogoal bezüglich des Skalarprodukts aus Aufgabe 3. (a) Richtig. (b) Falsch. (c) Weiss ich icht. Eie ugerade Fuktio f erfüllt die Eigeschaft f( x) = f(x) ud eie gerade Fuktio g die Eigeschaft g( x) = g(x). Somit liefert die Substitutio y = x die folgede Beziehug für das Skalarprodukt f, g : f, g = = f(x)g(x) dx = ( f(y))g(y) dy = 1 f( y)g( y) ( dy) = f(y)g(y) dy = f, g. f( y)g( y) dy Daraus folgt f, g = ud f, g =, die ugerade Fuktio f ud die gerade Fuktio g sid also orthogoal bezüglich,. Alterativ, wisse wir wieder allgemei, dass f g eie ugerade Fuktio ist, damit gilt für jedes a a a f(x)g(x) dx =. Siehe ächstes Blatt!

7 5. Bereche Sie folgede Itegrale, welche typische Beispiele i der Theorie der Fourier-Reihe sid. a) si(x)dx für = 1,, 3 ud für beliebiges. si(x)dx = [ cos(x) ] = cos() cos() = 1 () = { / für ugerade für gerade Für = 1,, 3 erhalte wir bzw.,, 3. b) x si(x)dx, Z,. Mittels partieller Itegratio bereche wir [ x si(x)dx = x cos(x) ] + 1 cos(x)dx cos() cos( ) = + 1 [si(x)] = () + = ()+1 da cos(x) eie gerade Fuktio ist ud si() = für alle Z. c) cos(x) si(mx)dx, wobei, m Z. Hiweis: Verwede Sie cos(α) si(β) = 1 (si(α + β) + si(α β)). cos(x) si(mx)dx = 1 weil si(x) eie ugerade Fuktio ist. si(( + m)x) + si(( m)x)dx =, Bitte wede!

8 6. Koeffiziete der Fourier-Reihe a) Bestimme Sie die Koeffiziete der Fourier-Reihe auf dem Itervall [, ] a + (a cos (x) + b si (x)) =1 zu de folgede Fuktioe f: f(x) = x { für x [, [ f(x) = 1 für x [, ] f(x) = si (x) Für die gesuchte Koeffiziete gilt: a = 1 b = 1 Mit f(x) = x ergibt sich also: a = 1 a = 1 f(x) cos (x) dx f(x) si (x) dx x dx Symm. = 1 x cos (x) dx Symm. = x cos (x) dx = [ x ] si (x) }{{} = = 1 si (x) dx = x dx = 1 = si (x) dx [ 1 cos (x) ] Siehe ächstes Blatt!

9 = [cos (x)] = cos() }{{} =() { 4, falls ugerade =, falls gerade Für eie gerade Fuktio, hier x x, sid alle b = b = 1 x si (x) dx = Als Fourier-Reihe für f(x) = x auf dem Itervall (, ) habe wir also gefude: + { 4 a cos (x) mit a =, ugerade, gerade =1 Mit = k + 1 köe wir dies schreibe als + 4 cos ((k + 1)x). (k + 1) k= Die Rechteckschwigug ist eie ugerade Fuktio, somit ist a sowie die Koeffiziete a vo cos(x). Nu bereche wir b : b = 1 ( ) () si(x)dx + 1 si(x)dx = si(x)dx = = (1 () ) = [ cos(x) ] { für gerade 4/() für ugerade gleich Null Eie trigoometrische Idetität ist si (x) = 1(1 cos(x)) = 1 1 cos(x). Also a = 1, a = 1 ud die adere Koeffiziete verschwide (da die Fourier- Reihe eier Fuktio eideutig bestimmt ist, folgt dies durch Koeffizietevergleich). b) Plotte Sie mit de gefudee Koeffiziete die trigoometrische Polyome (N)/ a + (a cos (x) + b si (x)) i=1 Bitte wede!

10 für f(x) = x mit N = 1, N = 5 ud N = 15. Was beobachte Sie? Wir plotte folgede Summe auf dem Itervall [, ]: + 4 cos (x) (N = 1) 4 cos ((k + 1)x) (N = 5) (k + 1) k= 7 4 cos ((k + 1)x) (N = 15) (k + 1) k= Wir sehe, dass die trigoometrische Polyome für N die Betragsfuk f(x)= x N= 1 N= 5 N= x tio immer besser approximiere. Siehe ächstes Blatt!

11 7. Bestimme Sie die trigoometrische Koeffiziete a, b der Fourier-Reihe mit Periode T zu de folgede Fuktioe f, g, h: f(x) = cos(x/), x [, ], T = Versio I: Es ist b =, da x cos(x/) gerade ist. Für a verwede wir ud reche Also a = Versio II: cos(α) cos(β) = 1 cos(α β) + 1 cos(α + β) cos(x/) cos(x)dx = 1 cos(( + 1 )x) + cos(( 1)x)dx = 1 [ si(( + 1)x) + 1 ] 1 si(( 1)x) = 1 ( + 1 si(( + 1)) + ) 1 si(( 1)) = () ( = 4() () (1 4 ). = () + 1 () 1 cos(x/)e ix dx = 1 (e ix/ + e ix/ )e ix dz = 1 [ 1 i( + 1 e ix 1 + )e ix/ i( 1 e ix ( )eix/ = () i i i( + 1) + i ( i) ) i( 1) 1 ) 1 = 4() 1 4. Also c = 1 4() 1 4 = () (1 4 ). Da berechet sich a mittels folgeder Formel: ] a = c, a = c + c Bitte wede!

12 Da hier c = c gilt a = c = Versio III: c = 1 I, wobei = 4() + 4 I I = cos(x/)e ix dx 4() ud b (1 4 ) = i(c c ) =. = [ si(x/)e ix] + i si(x/)e ix dx = (() + () ) + [ 4i cos(x/)e ix] 4i da si(/) = 1, si(/) =, cos(±/) =, e i = () ud i =. Also I = 4() 1 4 ud wieder c = () (1 4 ). g(x) = 1 e x/, x [, [, T = Die Fourier-Reihe als Projektio ist liear, das heisst, F R(g 1 + g ) = F R(g 1 ) + F R(g ). Daher bereche wir separat für g 1 (x) = 1 ud g (x) = e x/. F R(g 1 ) = 1e, also c (1) = 1. Um die Koeffiziete vo F R(g ) zu bestimme, bereche wir Für T = also c () = 1 c () = 1 T T g (x)e i T x dx. ( e x/ )e ix dx = 1 [ 1 + i e (1+i)x/ ] = e i, weil e i = 1. Mit c = c (1) + c () erhalte wir c = e i ud c = e. Bereche a, b wieder mit a = c, a = c + c, b = i(c c ). cos(x/)e ix dx h(x) = 1 e x, x [, 1[, T = 1 Aalog zu obe, T = 1, c (1) = 1 ud c () = ( e x )e ix dx = also c = e 1 (1 + i) ud c = e [ ] e (1+i)x 1 (1 + i) = e 1 (1 + i),