Übersicht Integralrechnung

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1 Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die Awedug der hier gegebee Beziehuge otwedig sid. Defiitioe: Stmmfuktio: Eie Fuktio F() heißt Stmmfuktio der Fuktio f(), flls F ()f() für lle εd ubestimmtes Itegrl: Mege ller Stmmfuktioe (F()+C) eier Fuktio f() - lso die Mege der Fuktioe dere Ableitug f() ist - et m ds ubestimmte Itegrl vo f(): f ( ) d Amerkug: Die Ableitug eier Kostte C ist. Deshlb köe beliebige Kostte zu F() ddiert werde. Die Summe ist ebeflls eie Lösug des ubestimmte Itegrls. Jede stetige Fuktio besitzt zwr eie Stmmfuktio, es ist oft schwierig oder sogr umöglich (z.b. e ---- d ) die Stmmfuktio durch eie bekte Fuktio uszudrücke. Gruditegrle F ( ) f ( ) F ( ) f ( ) d f ( ) F ( ) f ( ) d - + e e + +C -- l -- l f ( ) f ( ) rct rc rc l f ( ) Lösugsverfhre ubestimmte Itegrle Ubestimmte Itegrle löst m, idem m sie durch geschickte Umformug uf bekte Gruditegrle zurück führt.

2 Recheregel Additiosregel: ( f ( ) ± g( ) ) d f ( ) d ± g ( ) d F+ G Kostteregel: cf( ) d c f( ) d cf Substitutiosregel / Ketteregel: fg ( ( ))g ( ) d mit u g( ) ud d fg ( ( ))g ( ) d Fg ( ( )) - du g ( ) fu ( ) du Fu ( ) prtielle Itegrtio / Produktregel: f ( )g'( ) d mit u f mit v g f ( )g ( f ( )g ( ) d ( ) ud du f ( )d ( ) ud dv g ( )d udv uv vdu Ds bestimmte Itegrl Ds bestimmte Itegrl gibt die Fläche zwische dem Itegrde ud der X-Achse im Bereich der utere ud obere Greze. Bereiche mit egtive Fuktioswerte des Itegrde werde egtiv gezählt. Schreibweise: b obere Greze f ( ) d Itegrd f() utere Greze b Berechug us ubestimmtem Itegrl: f ( ) d b [ F ( )] Fb ( F ( ) otwedige Bedigug: f() stetig im Itervll [;b] -> sost ueigetiches Itegrl,5 -- d,5 [ l ],69,69,5 -- d [ l ],5 (,69),69 -- d Itegrd ustetig für bestimmtes Itegrl icht defiiert

3 Numerische Methode zur Lösug bestimmter Itegrle D es oft schwierig oder sogr umöglich ist, die Stmmfuktio durch eie bekte Fuktio uszudrücke, ist es oft sivoll/eifcher bestimmte Itegrle umerisch zu löse. Ei bestimmtes Itegrl läßt sich durch Ober-, Uter- oder Zwischewertsumme pproimiere. Dbei wird die Fläche eies Teilitervlls durch ei Rechteck pproimiert. Für die Bestimmug der Obersumme (Utersumme) wird ls Rechteckhöhe im Teilitervll der Mimlwert (Miimlwert) im Teilitervll gesetzt. Bei der Zwischewertsumme wird der Fuktioswert für eie Zwischewert (z.b. die Mitte) des Itervlls gesetzt. Die 3 folgede Abb. zeige die Ober-, Uter ud Zwischewertsumme zur Best. vo d : Obersumme Utersumme Zwischewertsumme # Teilitervlle Fläche Utersumme Fläche Obersumme F. Zwischewertsumme 3 6 9,39 3,37,3 56,,6,33 3

4 Die ekte mthemtische Lösug für dieses Beispiel ist türlich sehr eifch: 3 d Der Grezwert für #Teilitervlle strebt für lle 3 Summe gege de Wert des ttsächliche bestimmte Itegrls: d lim U i - O lim - i Z lim - i i i i Nebe diese 3 Verfhre gibt es folgede weitere Verfhre: Liks- ud Rechtssumme: ählich Uter-/Obersumme; jedoch wird stelle des M-/Mi- Wertes immer der like bzw. rechte Fuktioswert gesetzt - für obiges Beispiel etspricht die Utersumme uch der Likssumme ud die Rechtssumme der Obersumme, d die Beispielfuktio im Itegrtios-Itervll mooto steigt. Trpezsumme: Die Fläche für ds Itervll [ i ; i+ ] wird durch ei Trpez geähert. Die f ( i f ( i + ) Teilfläche vo eiem Trpez ist gegebe durch A i ---- ( i + i ) Simpso-Summe: Beim Trpezsumme-Verfhre wird die Fuktioskurve für ei Teilitervll durch seie Sekte geähert. Bei der Simpso-Summe wird die Fuktioskurve durch ei Polyom.Grdes geähert, ds durch 3 ufeiderfolgede Pukte defiiert ist: Für die folgede Drstellug wird ds Teilitervll mittig uf die -Achse geschobe, um die Berechug zu vereifche. Durch die Verschiebug ädert sich die Fläche türlich icht. Die 3 Pukte sid die beide äußere Pukte im Itervll [ i, i+ ] ud der Zwischewert mit i + der X-Koordite i +. Ds Itervll ist lso: i + obere Greze utere Greze i - ] y + ; f ( i + ) P i f() P i ; f ( i ) P Mitte_i f i + i + ; p ( ) A + B Koeffiziete bestimme:

5 C f i + i + Die Fläche des Teilitervlls wird d durch ds bestimmte Itegrl vo p() pproimiert: A d + d A A 3-3 Die Teilfuktioe des Polyoms, die i roter Frbe drgestellt sid, sid gerde Fuktioe. Die Teilfuktio B (blue Frbe) ist eie ugerde Fuktio. Etspreched lsse sich die Itegrle vereifche. Sämtliche dieser Approimtiosverfhre kovergiere für gege de ttsächliche Itegrlwert. Erfhrugsgemäß kovergiere die verschiedee Vefhre i folgeder Reihefolge: m schellste: Simpso-Summe Zwischewertsumme Trpezsumme Uter-, Ober-, Liks- ud Rechtssumme Lösug komplizierter ubestimmter Itegrle Trigometrische Itegrle Ethlte die Itegrde Produkte mehrerer trigoometrischer Fuktioe oder zusmmegesetzte Fuktioe mit trigoometrische Fuktioe, so k m diese oft durch geschickte Umformuge ud Substitutioe löse. Beispiele: A --- B f ( i C A B f i + p ( ) d ( A + B ) d ( ) 3 d ( ) C ( ) 5 ( ) d A d A--- f ( i + ) + f ( i C A + Bd ( f ( i + ) + f ( i C) Cd 5

6 Wichtige trigoometrische Beziehuge für Umformuge: ( siϕ) + ( cosϕ) tϕ - siϕ + ( tϕ) cosϕ siα siα cosα cosβ siβ cosβ -- [ si( α + si( α + ] -- [ cos( α cos( α+ ] -- [ cos( α + cos( α+ ] ( cosϕ) cosϕ ( siϕ) ---- cosϕ ---- ( cosϕ) siϕ cosϕ k! ( ) ( ) 3! Weitere Strtegie werde i der Vorlesug behdelt. Trigoometrische Gruditegrle k ( cosϕ) k ( siϕ) k k k si π ( cosϕ) k ( siϕ) k k k cos π -! k ( k)! k! f ( ) F ( ) f ( ) d f ( ) F ( ) f ( ) d t l cot l --- ( ) t ---- l cot -- ( ) cot t l + t --- ( ) -- ( )

7 Trigometrische Substitutio Für folgede Terme im Itegrde biete sich trigometrische Fuktioe zur Substitutio : Term im Itegrde Substitutio Defiitiosbereic h vo ϕ trigometrische Beziehug zur Vereifchug siϕ d cosϕ dϕ π -- ϕ π -- ( siϕ) ( cosϕ) + tϕ d ---- ( cosϕ) dϕ π -- < ϕ < π -- + ( tϕ) ---- ( cosϕ) - cosϕ tϕ d - dϕ cosϕ ϕ < π -- oder π -- < ϕ π ---- ( tϕ) ( cosϕ) grphische Drstellug der o.. Itegrde: + 7