Das Riemann-Integral und seine Eigenschaften

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1 Ds Riem-Itegrl u seie Eigeshfte Defiitio. Sei ie Fuktio f beshräkt uf [, b]. Stimme ie beie Drboux-Itegrle überei, heißt f Riem-itegrierbr uf [, b] (oer R-itegierbr). Der gemeisme Wert heißt Riem- Itegrl vo f uf [, b] u wir mit Bemerkug. ie Zhl f(x)x bezeihet. Ist f(x) 0 uf [, b] R-itegrierbr, fsse wir f(x)x ls Fläheihlt uter er Kurve uf. Beispiele. 1) Sei f(x) = h x [, b] (kostte Fuktio). Für jee Prtitio P vo [, b] gilt S P (f) = h(b ) u S P (f) = h(b ). Klrerweise ist mit f R-itegrierbr u es gilt h(b ). Dies etspriht geu er Defiitio es Fläheihlts eies Rehteks mit Läge (b ) u Breite h. 2) f(x) = { 1 flls x Q 0 flls x / Q, 0 x 1 Für jee Prtitio P vo [, b] gilt offebr S P (f) = 0 u S P (f) = 1. Dmit ist f iht R-itegrierbr. Stz. (Riemshes Itegrbilitätskriterium) Folgee Aussge si äquivlet: 1) f ist R-itegrierbr uf [, b], 2) ε > 0 P vo [, b] mit S P (f) S P (f) < ε. 1

2 Beweis. 1) 2) : Sei f R-itegrierbr u ε > 0. D existiere Prtitioe P 1, P 2 vo [, b] mit S P1 (f) < S P2 (f) > ε 2 u f(x)x ε 2. Für ie gemeisme Verfeierug P = P 1 P 2 gilt S P (f) S P (f) S P1 (f) S P2 (f) < ε. 2) 1) : Wähle ε > 0. D P mit S P (f) S P (f) < ε. Nu ist 0 f(x)x f(x)x S P (f) S P (f) < ε. Drus folgt ber f(x)x, i.e. f ist R-itegrierbr. Mit Hilfe ieses Kriteriums k u sogr ie Frge er R-Itegrierbrkeit für gze Fuktioeklsse etshiee were. Stz. Jee uf [, b] mootoe Fuktio ist ort R-itegrierbr. Beweis. (für mooto fllee Fuktioe) Für jee Prtitio P vo [, b] gilt S P (f) S P (f) = (M k (f) m k (f)) x k = (f(x k 1 ) f(x k )) x k P (f(x k 1 ) f(x k )) = P (f() f(b)). Ist u f() = f(b), ist S P (f) = S P (f) für lle P. Dmit ist f R-itegrierbr. Ist f() > f(b), wähle zu ε > 0 eie Prtitio P mit P < ε f() f(b). D gilt S P (f) S P (f) < ε, lso ist f ebeflls R-itegrierbr. Stz. Jee uf [, b] stetige Fuktio ist ort R-itegrierbr. Beweis. Sei f stetig uf [, b] u ε > 0. Weil f uh gleihmäßig stetig ist, gibt es ei δ ε > 0 mit x x < δ ε f(x) f(x ) < ε b. 2

3 Wähle eie Prtitio P = {x 0, x 1,..., x } vo [, b] mit P < δ ε. Auf jeem (kompkte) Teilitervll [x k 1, x k ] immt f Mximum u Miimum, lso existiere ξ k, ξ k [x k 1, x k ] mit f(ξ k ) = M k (f) u f(ξ k ) = m k (f). Dmit ist S P (f) S P (f) = (M k (f) m k (f)) x k = (f(ξ k ) f(ξ k )) x k f(ξ k ) f(ξ k ) x k ε b x k = ε. Defiitio. Sei f beshräkt uf [, b], P = {x 0, x 1,..., x } eie Prtitio vo [, b] u ξ k eie beliebige Zhl us I k = [x k 1, x k ], k = 1, 2,...,. D heißt S P (f, ξ) = f(ξ k ) x k = f(ξ k ) x k P Prtitio P. Bemerkuge. eie Riemshe Summe zur (i) Zu jeer Prtitio P gibt es ueihe viele Riem-Summe. Oberu Utersumme bruhe i.. iht Riem-Summe zu sei, ie Zhle M k u m k i.. iht geomme zu were bruhe. (ii) Aus m k (f) f(ξ k ) M k (f) folgt, ss S P (f) S P (f, ξ) S P (f). Defiitio. Existiert eie Zhl I R u zu jeem ε > 0 ei δ ε > 0 soss us P < δ ε bei beliebiger Whl er ξ k folgt, ss S P (f, ξ) I < ε, setze wir I = lim P 0 S P (f, ξ). Dmit k m (ohe Beweis) zeige Stz. f ist R-itegrierbr uf [, b] lim P 0 S P (f, ξ). I iesem Fll gilt lim S P (f, ξ) = f(x)x. P 0 3

4 Stz. Sei f R-itegrierbr u (P () ) eie Zerlegugsullfolge,.h. P () 0. Ferer sei ξ () eie feste Whl vo Zwishepukte zur Prtitio P (). D gilt lim S P ()(f, ξ () ). Beispiel. f(x) = e x ist uf [, b] stetig, lso R-itegrierbr. Wähle (P () ) mit Uterteilugspukte x () k = + (b ) k. D gilt P () = b 0. Setze ξ () k = + k 1 S P ()(f, ξ) = e = (b )e Mit b Dmit ist 1 e b 1 e b + k 1 (b ) (jeweils e like Rpukt). ( ) k 1 (b ) b e b = = (e e b ) b 1 e b = (b )e. u = u u lim u 0 1 e = 1 folgt lim S u P ()(f, ξ) = e b e. e x x = e b e., k = 1,.., Bislg betrhtete wir f(x)x, wobei < b. Nu efiiere wir zusätzlih s Itegrl über ei etrtetes Itervll u über ei etgegegesetzt orietiertes Itegrl. Defiitio. Sei [, b] gegebe mit b. (i) Ist = b u f() efiiert, setze wir (ii) Ist f R-itegrierbr uf [, b], setze wir. b 0. f(x)x Als ähstes überlege wir us, ss s R-Itegrl lier ist. Riem-Summe ist folgee Aussge eifh hzuweise. Mittels 4

5 Stz. Seie f, g R-itegrierbr uf [, b] u R. D ist 1) (f) R-itegrierbr uf [, b] u 2) (f + g) R-itegrierbr uf [, b] u (f + g)(x)x = g(x)x. (f(x))x = f(x)x, Drüberhius folgt us er Betrhtug vo Ober- bzw. Utersumme, ss Stz. (Mootoie es R-Itegrls) Seie f, g R-itegrierbr uf [, b] mit g(x) f(x) uf [, b]. D gilt g(x)x f(x)x. Folgerug. Ist f(x) 0 uf [, b], gilt f(x)x 0. Für weitere Überleguge ist es vorteilhft, ss ihtegtive Itegre vorliege. Dies erreihe wir urh ie Betrhtug es positive bzw. egtive Ateils eier Fuktio. Defiitio. Sei f(x) uf [, b] efiiert. D ist { f(x) we f(x) 0 (i) f + (x) = er positive Ateil vo f, 0 we f(x) < 0 (i) f (x) = { 0 we f(x) 0 f(x) we f(x) < 0 er egtive Ateil vo f. Offebr gilt f(x) = f + (x) f (x) u f(x) = f + (x) + f (x). Folgees Ergebis ist zur Übug empfohle. Stz. Seie f, g R-itegrierbr uf [, b]. D gilt 5

6 (i) f +, f si R-itegrierbr uf [, b], (ii) f ist R-itegrierbr uf [, b] u (iii) f g ist R-itegrierbr uf [, b]. b f(x)x f(x) x, Nu utersuhe wir s Verhlte bei Uterteilug es Itegrtiositervlls. Stz. Ist f R-itegrierbr uf [, b], uh uf jeem Teilitervll [, ] [, b]. Beweis. Wege β α h(x)x β α h(x)x, Aitivität er obere (utere) Riem-Drboux Itegrle gilt f(x)x u er f(x)x sowie 0 = ( f(x)x f(x)x)+( f(x)x f(x)x. Somit ergibt sih f(x)x)+( f(x)x f(x)x) Im besoere lso ist uf [, ]. f(x)x 0, i.e. f ist R-itegrierbr Die folgee Aussge köe ebeflls reltiv eifh gewoe were u seie em Leser zur Übug überlsse. 1) Sei f beshräkt uf [, b] u R-itegrierbr uf jeem Itervll [, ] (, b). D ist f R-itegrierbr uf [, b]. 2) Sei P = {x 0, x 1,..., x } eie Prtitio vo [, b]. 6

7 (i) Ist f R-itegrierbr uf [, b], uh uf jeem Teilitervll [x k 1, x k ] u x k x k 1 f(x)x, (ii) Ist f R-itegrierbr uf jeem Teilitervll [x k 1, x k ], uh uf [, b] u x k x k 1 f(x)x. 3) Ist f R-itegrierbr uf [, b] u [, b ] [, b] für jees N mit, b b, gilt b lim f(x)x. Im besoere hbe mit ie Werte vo f() u f(b) keie Eifluß uf ie R-Itegrierbrkeit u e Wert es Itegrls. Des weitere k f(x) elih viele Stelle bgeäert were, ohe ss sih er R-Itegrierbrkeit u m Wert es Itegrl etws äert. 7