Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)

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1 Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische f() ud f(b) midestes eier Stelle c [, b], d.h. es gibt eie Stelle c mit f(c) = γ. Mittelwertstz der Itegrlrechug: Seie f : [, b] R ud p : [, b] R stetige Fuktioe mit p 0. D gibt es ei c [, b] mit b f(x)p(x)dx = f(c) b p(x)dx. () Um ds zu sehe, seie m ud M ds Miimum ud Mximum vo f uf [, b]. D ist mp(x) f(x)p(x) Mp(x) für lle x [, b] ud somit uch m b p(x)dx b f(x)p(x)dx M b p(x)dx. Es gibt lso ei γ mit m γ M, so dss γ b p(x)dx = b f(x)p(x)dx, ud d wege des Zwischewertstzes ei c [, b] mit f(c) = γ. Tylor Formel: Tylor Polyom te Grdes vo f im Pukt : T f(x) = f() + f ()(x ) + 2! f ()(x ) 2 + f () (x ) 3 + 3! + f () () (x ) f (i) () = (x ) i. (2) i! Beispiele:. Für f(x) = e x ud = 0, wege e 0 = ud f () (x) = e x, = 0,,..., T f(x) = + x + x2 2! + x3 3! + + x = x i i!. (3)

2 2. Für f(x) = log( + x) ud = 0 ist f (x) = ( ) ( )! (+x) f () ( )! (0) = ( ) wege f(0) = log() = 0 ist ds Tylorpolyom T f(x) = x x2 2 + x3 3 x4 x + + ( ) 4 = ud somit = ( ), =, 2,... (4) ( ) i= i xi i!. (5) 3. Sei für x > Es ist f(x) = ( + x) α, α R, α 0. (6) f (x) = α( + x) α, f (x) = α(α )( + x) α 2,..., f () (x) = α(α ) (α + )( + x) α. (7) Sei der llgemeie Biomilkoeffiziet für α R ud k Z defiiert durch (7) ergibt d := k f () (x) = α(α )(α k+), k! k > 0, k = 0 0, k < 0. ( + x) α, ud ds Tylor Polyom mit = 0 ( ) ( α α T f(x) = + x + 2 ) x f () (0) = x = (8), (9) x i. (0) i Für α N ist ( α k) = 0 für α < k, ud (0) ergibt de Biomillehrstz (siehe Vorkurs) ( + x) α = 2 α x i, α N. () i

3 Restglied: Sei R + (x) ds Restglied, R + (x) = f(x) T f(x). (2) Sei f eie ( + ) ml stetig differezierbre Fuktio (d.h. die Fuktio k ( + ) ml bgeleitet werde ud die ( + ) te Ableitug ist och stetig). f(x) = f() + f (t)dt =R (x) (3) Ds Restglied R (x) i (3) k prtiell itegriert werde. Dbei verwede wir ls Stmmfuktio vo die Fuktio t x = (x t) (x ist hier eie Kostte). R (x) = f (t)dt = f (t)dt = (x t)f (t) x + (x t)f (t)dt = (x )f () + (x t)f (t)dt. (4) R 2 (x) Ereute prtielle Itegrtio vo R 2 (x) i (4) ergibt x R 2 (x) = (x t)f (x t)2 (t)dt = f (t) 2 + 2! (x )2 = f () + (x t) 2 f (t)dt. 2! 2! R 3 (x) (x t) 2 f (t)dt Die Formel für R (x), R 2 (x) ud R 3 (x) lege die folgede llgemeie Formel he: R + (x) = (x t) f (+) (t)dt. (5) Formel (5) k durch vollstädige Iduktio bestätigt werde. Wie wir gesehe hbe, gilt (5) für =, 2, 3. Schluss vo uf : Nch Iduktiosvorussetzug ist R (x) = ( )! 3 (x t) f () (t)dt. (6)

4 Dmit ist mit prtieller Itegrtio f(x) T f(x) = = = (x t) f () (t)dt ( )! (x t) x f () (t) x ( )! + (x t) f (+) (t)dt ( )! (x ) f () () + (x t) f (+) (t)dt, =R + (x) wodurch die Formel (5) bestätigt wird. Dies ist die Itegrl Form des Restglieds. Die Lgrge Form des Restglieds ergibt sich us der Itegrl Form mit Hilfe des Mittelwertstzes der Itegrlrechug: D ämlich die Fuktio p(t) := (x t) zwische ud x ds Vorzeiche icht wechselt, so gibt es ch dem Mittelwertstz ei c zwische ud x, so dss R + (x) = = f (+) (c) (x t) f (+) (t)dt (x t) dt = f (+) (c) ( + )! (x )+. (7) (7) ist die Lgrge Form vo R + (x). Dbei ist zu bechte, dss c icht vo x ubhägig ist. Beispiel: Aus dem Tylor Polyom für log( + x) folgt für x [0, ] wege f (+) (c) = (+c) + für lle c zwische 0 ud x die Fehlerbschätzug R + (x) = log( + x) ( ) i x i x + i +. (8) i= 4

5 Beispiel: Mittelwertstz der Differetilrechug Für = 0 ergibt sich der Mittelwertstz der Differetilrechug: Ist f : [, b] R eie stetige Fuktio, die i (, b) differezierbr ist, so gibt es eie Stelle c (, b), so dss f (c) = f(b) f(). (9) b Dies bedeutet, dss eier Stelle zwische ud b die Ableitug vo f der Steigug der Sekte durch die Pukte (, f()) ud (b, f(b)) etspricht. We wir lso diese Sekte prllel verschiebe, so gibt es weigstes eie Pukt (ämlich besgtes c), dem diese verschobee Gerde mit der Tgete de Grphe vo f übereistimmt (siehe Grphik i der Vorlesug). Für de die Ahme der Stetigkeit der erste Ableitug icht erforderlich ist. 5

6 Beispiel für die Awedug der Tylor Formel: Hireichedes Kriterium für lokle Extrem: Sei Fuktio f ( + ) ml stetig differezierbr. I Pukt gelte f () = f () = = f () () = 0, ber f (+) () 0. D ht f i diesem Pukt (i) ei streges lokles Miimum, flls ugerde ist ud f (+) () > 0; (ii) ei streges lokles Mximum, flls ugerde ist ud f (+) () < 0; (iii) kei Extremum, flls gerde ist. Fll (i): Sei f (+) () > 0 ud sei I ei Itervll um, i dem f (+) > 0. 2 Aufgrud der Ahme f () = f () = = f () () = 0 ist f(x) = f() + R + (x). (20) Ist ugerde, lso + gerde, so gilt ch der Tylor Formel R + (x) > 0 für x I\{}. Folglich ht f i ei streges lokles Miimum. Ds Argumet für de Fll (ii) fuktioiert ebeso. Fll (iii): Ist gerde, lso + ugerde, so ist R + (x) < 0 für x < ud R + (x) > 0 für x >, lso ht f i weder ei Miimum och ei Mximum. Ds obe gegebee Ergebis impliziert z.b. eie streges lokles Miimum für f () = 0 ud f () > 0 ud ei streges lokles Mximum für f () = 0 ud f () < 0, lso eie Test, der uf de zweite Ableituge bsiert. 2 Dss es ei solches Itervll gibt, folgt us der ituitiv plusible Ttsche, dss eie stetige Fuktio f (lso eie Fuktio ohe Sprüge) mit f() > 0 uch i eier hireiched kleie Umgebug vo positiv ist. (Forml: Stetigkeit vo f i bedeutet, dss es zu jedem ϵ > 0 ei δ > 0 gibt so, dss us x < δ folgt f() f(x) < ϵ, sofer x zum Defiitiosbereich der Fuktio gehört. Sei u ϵ = 2 f(). D gibt es eie Umgebug vo mit f() f(x) < 2f() für lle x i dieser Umgebug. Wege f() f(x) f() f(x) < 2 f() folgt d f(x) > 2f() > 0 für lle diese x.) 6