Numerisches Integrieren

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1 Numerisches Itegriere Ac I der Prxis werde Itegrle i der Regel umerisch, lso pproximtiv, bestimmt. Dzu solle hier verschiedee Algorithme betrchtet werde ( Rechteck, Mitterechteck, Trpez, Simpso, Romberg ). Die Rechtecksitegrtio (Utersumme;Obersumme) Hier werde zwische Grph vo f ud x-achse über [;b] Rechtecke eibeschriebe bzw. umbeschriebe. Die Summe der Rechtecksflächeihlte et m Utersumme U bzw. Obersumme O, wobei die Azhl der Zerlegugsstreife gibt. Für die Breite h jedes eizele Rechtecks gilt: h = (b-) /. Flls f mooto steiged ist, so gilt: U = h f ( + i h) ud i = 0 O = h f ( + i h) i = Für mooto flledes f gilt ds Umgekehrte. Für icht mootoe f (Grfik Nr. 3) muss m dere Formel verwede, bei dee ds Mximum bzw. Miimum vo f im betreffede Teilitervll gesucht werde muss. Algorithmus für mooto steigede Fuktioe: Eigbe (, b,, f) h = (b-)/ summe = 0 x = für i vo 0 bis - wiederhole summe = summe + f(x) x = x + h Ede utersumme = summe h obersumme = utersumme + (f(b)-f()) h Beispiel: f(x) = x³ ; [ 0 ; ] U 0 = 0, (0,³ + 0,4³ + +,8³) = 3,4 O 0 = 0, (0,³ + 0,4³ + +,0³) = 4,84 U 00 = 0,0 (0,0³ + 0,04³ + +,98³) = 3,904 O 00 = 0,0 (0,0³ + 0,04³ + +,0³) = 4,0804 M erket eie Aäherug de exkte Itegrlwert 4,0.

2 Die Mitterechtecksitegrtio Sttt der Rechtecksbegrezuge k m uch dere Mitte ls Stützstelle der Itegrtio verwede. So erhält m die Mitterechtecksformel. M = h f ( + ( i 0,5) h) i = Der Vorteil ist hier, dss uch Fuktioe mit Polstelle de Räder itegriert werde köe. Algorithmus: Eigbe (, b,, f) h = (b-)/ summe = 0 x = + h/ für i vo bis wiederhole summe = summe + f(x) x = x + h Ede mitterechteckssumme = summe h Beispiel : f(x) = x³ ; [ 0 ; ] M 0 = 0, (0,³ + 0,3³ + +,9³) = 3,98 M 00 = 0,0 (0,0³ + 0,03³ + +,99³) = 3,9998 Die Aäherug de exkte Itegrlwert 4,0 ist ersichtlich. Beispiel 4: f(x) = x -/3 = ; [ 0 ; ] ; f besitzt eie Polstelle bei x = 0. 3 x Es etsteht ei sog. ueigetliches Itegrl mit dem Wert 3,0! M 0 = 0, (0,05 -/3 + 0,5 -/ ,95 -/3 ),33 M 00 = 0,0 (0,005 -/3 + 0,05 -/ ,995 -/3 ),69 M 000 = 0,00 (0,0005 -/3 + 0,005 -/ ,9995 -/3 ),86 M 0000 = 0,000 (0, /3 + 0,0005 -/ , /3 ),93 M = 0,0000 (0, /3 + 0, / , /3 ),97 Die Aäherug de exkte Wert ist mühsm.

3 Die Trpezitegrtio Bildet m ds rithmetische Mittel us Utersumme ud Obersumme, so erhält m die Trpezformel. Bei dieser Methode wird jedes Fuktiosteilstück (durch Streckebschitte) lier pproximiert! h T = ( U + O ) / = [ f ( + i h) + f ( + i h)] = i = i = 0 i = h [ f ( + i h) + f ( ) + f ( b)], lso f ( ) + f ( b) T = h [ + f ( + i h)] i = Algorithmus: Eigbe (, b,, f) h = (b-)/ summe = (f()+f(b))/ x = +h für i vo bis - wiederhole summe = summe + f(x) x = x + h Ede trpezsumme = summe h Beispiel: f(x) = x³ ; [ 0 ; ] T 0 = 0, ((0³+³)/ + 0,³ + 0,4³ + +,8³) = 4,04 T 00 = 0,0 ((0³+³)/ + 0,0³ + 0,04³ + +,98³) = 4,0004 Die Aäherug de exkte Itegrlwert 4,0 ist ersichtlich.

4 Die Simpso-Itegrtio Die Idee der Simpso-Itegrtio ist, ds Itervll [;b] i m Teilitervlle zu zerlege, i dee ds jeweilige Fuktiosstück durch Prbelsegmete pproximiert wird. Zuächst sei die (eifche) Simpso-Formel für ei eiziges Prbelsegmet über [;b] betrchtet : p(x) = ux²+vx+w (Prbel) sei eie Näherug für f(x). p soll mit f übereistimme de Stelle, b, (+b)/. Für ds Itegrl gilt b u 3 v b u 3 3 v p( x) dx = [ x + x + wx] = ( b ) + ( b ) + w( b ) 3 3 Es lässt sich u zeige, dss gilt: b + b u 3 3 v [ p( ) + 4 p( ) + p( b)] = ( b ) + ( b ) + w( b ) 6 3 D p(x) eie Approximtio für f(x) ist, folgt d uch b b + b f ( x) dx [ f ( ) + 4 f ( ) + f ( b)] eifche Simpso-Formel bzw. Keplersche Fssregel 6 Beispiel: f(x) = -x³ + 7x² 9x + im Itervll [;7]. Mittels der obige Näherugsformel errechet m : f()=98 f(7)=56 f(4)=40 Itegrläherug = 74. Dies ist sogr der exkte Wert für ds Itegrl!! Rechts ist die grfische Verschulichug zu sehe. Die Summe der schrffierte Rechtecksflächeihlte ist gleich dem gesuchte Itegrlwert. p(x) stimmt de 3 Stützstelle ;4;7 mit f(x) überei. Es gilt: p(x) = -7x²+49x+56 Zer legt m ds Itervll [;b] i m gleich große Teilitervlle ud pproximiert f durch m Prbel, so lässt sich die eifche Simpso-Formel uf lle diese Itervlle wede. Die Itervllbreite (zwische Stützstelle) ist d (b-) / (m). Somit ht m eie gerde Azhl vo Itervlle, d j jedes Prbelsegmet i Itervlle ufgeteilt wird ( mit je 3 Stützstelle ). Für ds Itegrl ergibt sich folgedes: h b f ( x) dx [ f ( ) + f ( b) + f ( + i h) + 4 f ( + (i ) h)] ; h = 3 m b m m i = i = ( Simpso-Formel für m Stützstelle ) Amerkug: Für Polyome bis zum Grd = 3 liefert die Simpsoformel exkte Itegrlwerte!

5 Algorithmus für die Simpso-Formel mit m Stützstelle : Eigbe (, b, m, f) h0 = (b-)/m h = h0/ summe = 0 summe = 0 x = + h für i vo bis m- wiederhole summe = summe + f(x+h) summe = summe + f(x) x = x + h0 Ede summe = summe + f(x) simpsosumme = (f()+f(b)+ summe+4 summe) h/3 Beispiel: f(x) = x 4 ; [ 0 ; ] ; exkter Wert: 0, m=5: D ist m=0 ud h = 0, S 0 = 0,/3 [ (0, 4 + 0,4 4 +0,6 4 +0,8 4 ) + 4 (0, 4 + 0,3 4 +0,5 4 +0,7 4 +0,9 4 ) ] = /30 ( + 0, ,9669 ) = 6,0004 / 30 = 0, Also bereits eie recht gute Approximtio!

6 Newto-Cotes-Formel Die Trpezformel sowie die Simpso-Formel gehöre zur Klsse der so gete Newto-Cotes-Formel. Die llgemeie Form hierfür ist : b ( ) b α i i = 0 I = f ( + i )] ( ) Für die Gewichte α gilt folgede Tbelle : i Nme ( ) α i ( i = 0,,..., ) Trpez - Regel / / Simpso - Regel /3 4/3 /3 3 3/8 - Regel 3/8 9/8 9/8 3/8 4 Mile - Regel 4/45 64/45 4/45 64/45 4/ /88 375/88 50/88 50/88 375/88 95/88 6 Weddle - Regel 4/40 6/40 7/40 7/40 7/40 6/40 4/40 Für größere sid die Newto-Cotes-Formel wege des Auftretes egtiver Gewichte ubruchbr. Bei gerde -Werte werde Polyome bis zum Grd (+) exkt itegriert, bei ugerdem ist die Itegrtio exkt für Polyome bis zum Grd. =3 bedeutet, dss mit eiem Polyom vom Grd =3 pproximiert wird. Ausgeschriebe erhält m für =3 die Itegrläherugsformel: b b 3 9 b 9 b 3 b f ( x) dx [ f ( ) + f ( + ) + f ( + ) + f ( + 3 )] bzw. vereifcht b b b 9 + b 3 f ( x) dx [ f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( b)] ud weiter vereifcht b b + b + b f ( x) dx [ f ( ) + 3 f ( ) + 3 f ( ) + f ( b)] ( Newto-Cotes 3/8-Formel ) 8 3 3

7 Die Romberg-Itegrtio (Romberg-Schem) Ds Romberg-Verfhre ist eie Methode der Kovergezbeschleuigug. Ausgehed vo eier Trpezäherug für ds zu berechede Itegrl wird eie gege de Itegrlwert kovergierede Folge vo Näheruge R[0,k] kostruiert. Durch Lierkombitio der Folgeglieder erhält m bessere Näheruge R[i,k]..Schritt: Bereche R[0,0] = h/ [f()+f(b)] mit h = b-.schritt: Für k vo bis bereche k R[0, k ] b R[0, k] = + h f [ + ( j ) h] ; h = k j = 3.Schritt: Für i vo bis Für k vo 0 bis -i R[ i, k] = i 4 R[ i, k + ] R[ i, k] i 4 ( Lierkombitioe ) Schem: R 00 R 0 R 0 R 0,- R 0,- R 0 R 0=(4R 0-R 00)/3 R R R,- R,- R 0=(6R -R 0)/5 R R R,-... R -,0 R -, R 0 Algorithmus Romberg-Schem : Eigbe (, b,, f) h = b- r[0,0] = h/ (f()+f(b)) für k vo bis wiederhole h = h/ summe = 0 für j vo bis ^(k-) wiederhole summe = summe + f(+(j-) h) ede r[0,k] = r[0,k-]/ + h summe ede für i vo bis wiederhole für k vo 0 bis -i wiederhole r[i,k] = (4^i r[i-,k+]-r[i-,k])/(4^i-) ede ede rombergwert = r[,0]

8 Beispiel : f(x) = x² ; [;3] ; wähle = 3 k=0 k= k= k=3 i= ,75 8,6875 Zeile 0 wird berechet gemäß der Schritte ud! i= 8,6 8, 6 8, 6 Zeile bis 3 werde berechet gemäß Schritt 3. Z.B. R 0 = (4 9-0)/3 = 8,6. i= 8, 6 8, 6 i=3 8, 6 Beispiel : f(x) = e x ; [0;] ; wähle = 4, , , , , , , , , , , , , , , ( 3 Nchkommstelle sid richtig ) ( zum Vergleich; exkt uf 6 Nchkommstelle ) Beispiel 3: f(x) = si(x) ; [0; ] ; wähle = 4 0, , , , , , , , , , , , , , , Amerkug: Der exkte Wert ist,0.

9 Adptive Itegrtio Alle bisher betrchtete Verfhre berücksichtigte icht die Ttsche, dss bei viele Fuktioe die Steiguge i Teilitervlle sehr uterschiedlich verlufe. Dher sollte m i Itervlle mit strker Steigug mehr Stützstelle verwede ud i Itervlle mit schwcher Steigug dere weiger ( siehe Grfik ). M spricht i diese Fälle vo dptiver (gepsster) Itegrtio. Beispiel: f ( x) = 6 x ; [0;4] Stützstellewhl z.b. : 0,5 3 3,5 3,5 3,75 3,875 4 Vorgehesweise (dptive Itegrtio): 0. Schritt: Gib eie Tolerz tol vor, z.b. tol = e-.. Schritt: Bereche eie Näherug s i [;b], z.b. mit der eifche Simpso-Formel. 3. Schritt: Bestimme die Mitte m vo [;b]. m = (+b)/. 4. Schritt: Bereche eie Näherug s i [;m] sowie s i [m;b]. 5. Schritt: Flls s - (s+s) < tol, d ist ds Itegrl = s+s. Ede! Aderflls führe die Schritte bis 5 für die Itervlle [;m] ud [m;b] durch. Amerkuge: Wege der Verwedug der Simpso-Formel werde keie Fuktioe mit Lücke oder Polstelle de Itervllede kzeptiert. Verwedet m stttdesse die Mitterechtecksmethode, d köe uch derrtige Fuktioe berücksichtigt werde. Die Rechezeit ist ber deutlich läger! Noch wesetlich besser ist die Methode ch Guß-Krorod ; hier ist jedoch die Theorie kompliziert! Algorithmus dptive Simpso-Itegrtio : Eigbe (, b, f, tol) // tol = Tolerz (z.b. E-6) itegrl = 0.0 itegriere(,b) itegrlwert = itegrl itegriere(,b) s = simpso(,b) m = (+b)/ s = simpso(,m) s = simpso(m,b) teilit = s+s flls s-teilit < tol itegrl = itegrl + teilit sost itegriere(,m) // rekursiver Aufruf itegriere(m,b) ede sost ede itegriere // rekursiver Aufruf simpso(,b) rückgbe (f()+4 f((+b)/)+f(b)) (b-)/6; ede simpso

10 Beispiel : f(x) = x/(x²-) ; [.00;0] Zu Begi müsse viele Stützstelle verwedet werde, m Ede weige. Der exkte Itegrlwert ist übriges I = 0,5 [ l(x+)+l(x-) ] 0,00 = [ l()+l(9)-l(,00)-l(0,00) ] / = l(99/0,0000) / = l( /667) / Dies ist c. 5, Mit dem dptive Simpso-Algorithmus berechet Jv7 bis uf Nchkommstelle geu: Beispiel (siehe Grfik obe): f(x) = (6-x²) ; [0;4]. Jv7: (Simpso; 3 richtige Nchkommstelle) Beispiel 3 : f(x) = si(x)/x ; [0;3]. Fuktio mit Lücke bei x = 0. Jv7: (Mitterechteck; 8 richtige Nchkommstelle) Beispiel 4: f(x) = x -/3 = ; [ 0 ; ] ; f besitzt eie Polstelle bei x = 0. 3 x Es etsteht ei sog. ueigetliches Itegrl mit dem Wert 3,0! Jv7: (Mitterechteck; erstulich präzise!)