Funktion: Grundbegriffe A 8_01

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1 Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz: f: y für die Zuordugsvorschrift, f() für de Fuktioster, yf() für die Fuktiosgleichug, D f ud W f für die Defiitios- ud Werteege. Bsp.: Betrgsfuktio Zuordugsvorschrift: Fuktioster: f() Fuktiosgleichug: y Defiitiosege: D f Q Werteege: W f Q Verschulichug vo Fuktioe A 8_ Fuktioe köe durch Wertetelle, Pfeildigre ud Fuktiosgrphe verschulicht werde. Der Fuktiosgrph esteht us de Pukte ( y) ller Wertepre der Fuktio. f: y Wertetelle: - - -,, y,, Pfeildigr: Fuktiosgrph: - - -,,, Die Stelle, der der Grph vo f, die -Achse scheidet/erührt heiße Nullstelle vo f. Der y-wert ist diese Stelle Null.

2 Liere Fuktio A 8_ Die Fuktio f: t heißt liere Fuktio für lle,t ϵ Q. We icht ders gegee ist die Defiitiosege Q. Der Grph eier liere Fuktio ist eie Gerde oder ei eigeschräkter Defiitiosege ei Teil dvo. Die Gerde ht die Steigug ud scheidet die y-achse der Stelle yt. M et t dher uch de y-achseschitt. Die Gerde steigt, flls > ud fällt, flls <. Der Grph lässt sich ithilfe des y-achseschitts ud des Steigugsdreiecks (vgl. Aildug) zeiche. f: lso ud t y-achseschitt y (Neer vo ) y (Zähler vo ) Geroche-rtiole Fuktioe A 8_ Fuktioe, die i Neer des Fuktiosters die uhägige Vrile ethlte, heiße geroche-rtiole Fuktioe. ± Eifche Beispiele sid Fuktioe der For f :. z.b. : f : oder f : Für sid diese Fuktioe icht defiiert. - Ihr Grphe heiße Hyperel ud esitze G f der Defiitioslücke eie Polstelle. G f Die Gerde ud y sid Asyptote des Grphe. Die Grphe vo f gehe durch Verschieug y ud evtl. Spiegelug der -Achse us de Grphe vo f hervor. Beispiel f : Defiitioslücke ud Polstelle ei - ; Asyptote : - ud y ; Der Grph vo f geht us de Grphe vo f durch Verschieug u LE i egtive -Richtug ud u LE i positive y-richtug hervor.

3 Liere Gleichugssystee it zwei Uekte A 8_ Liere Gleichugssystee estehe i Allgeeie us ehrere liere Gleichuge it ehrere Uekte. Lösuge vo liere Gleichugssystee it zwei Gleichuge ud zwei Uekte sid Zhlepre, die ei Eisetze eide Gleichuge erfülle: (I) y (II) - y - Mögliche Lösug: ( ; y )(, ; ) Proe: (I), (II),- - Lösugsverfhre für liere Gleichugssystee A 8_ Gleichsetzugsverfhre Beide Gleichuge werde ch dersele Vrile ufgelöst ud gleichgesetzt. Ddurch etsteht eie Gleichug it eier Uekte. (I) y -y (I ) (II) - y - y-, (II ) (I )(II ) : -yy-,, y,y Die Lösug für die zweite Vrile erhält durch Eisetze der ereits erechete Lösug i eie der Ausggsgleichuge: y i (II ):,-,, Additiosverfhre Bei Additiosverfhre werde Vielfche der Ausggsgleichuge so ddiert zw. sutrhiert, dss wieder eie Gleichug it eier Uekte etsteht. (I) y (II) - y - (I)-(II) : y-y8 8y 9 y, y i (I):,7, Eisetzverfhre Eie der eide Gleichuge wird ch eier Vrile ufgelöst ud i die dere Gleichug eigesetzt: (I) y -y (I ) (II) - y - (I ) i (II) : (-y) - y - 8-y-y - -8y -9 y, y i (I ): -,,

4 Bruchtere ud Bruchgleichuge A 8_7 Bei eie Bruchter ud ei eier Bruchgleichug kot die Vrile i Neer vor. Aus dere Defiitiosege sid lle Zhle uszuschließe, für die der Neer Null würde. U eie Bruchgleichug zu löse, ist eie dzu äquivlete Gleichug zu suche, die die Vrile icht ehr i Neer ethält. Dei köe lle dir ekte Gesetze des Bruchreches ud des äquivlete Ufores vo Tere ud Gleichuge gewdt werde. Berechug der Nullstelle vo f (vgl. A 8_ ud A 8_): Proe: ) ( g Poteze it gzzhlige Epoete A 8_8 Für Q \{ } ud Z gilt: ud Rechegesetze für Poteze ( Q, \{ } ud Z, ) Poteze it gleicher Bsis: ( ) : Poteze it gleiche Epoete: ( ) ( ) : : Beispiele: ( ) ( ) ( ) 9 ) ( 7 7 : :,, : 7

5 Ufg ud Flächeihlt des Kreises G 8_ Ufg U ud Flächeihlt A eies Kreises häge vo desse Rdius r zw. Durchesser r d : d I. U π r zw. U π π d Kreizhl π,9 ; eist reicht die Näherug π, Verdoppelt de Rdius eies Kreises, so verdoppelt uch desse Ufg, de für r U eu r eu ist π r π r ( π r) U. eu II. A r π zw. d π. A π d Hliert de Rdius eies Kreises, so ht der eue Kreis ei Viertel der Fläche des ursprüg- r r r r eu ist Aeu reu π π π r A r U π 7, 7 liche Kreises, de für Bsp.: A π π π. ( ), Strhlestz ud Ählichkeit G 8_ Werde zwei sich i Z scheidede Gerde ( g ud h ) vo zwei prllele Gerde ( AC ud BD ), die icht durch Z verlufe, geschitte, so gilt:. Je zwei Aschitte uf g verhlte sich wie die etsprechede Aschitte uf h, d.h. ZA ZC ZA ZC oder. ZB ZD AB CD. Die Aschitte uf de Prllele verhlte sich wie die Etferuge ihrer Edpukte vo Z uf g oder h, d.h. AC ZA ZC BD ZB ZD Zueider ähliche Dreiecke stie i lle etsprechede Wikel ud Seiteverhältisse üerei. Die Ählichkeit zweier Dreiecke lässt sich hd vo Ählichkeitssätze prüfe. I der oestehede Figur sid die Dreiecke ZAC ud ZBD ählich.

6 Zufll ud Whrscheilichkeit W 8_ Versuchsusgäge vo Zufllseperiete heiße Ergeisse ω. Werde lle Ergeisse zu eier Mege zusegefsst, erhält de Ergeisru Ω. Teile des Ergeisrues (Teilege) ilde Ereigisse. Ei Eleetrereigis ethält ur ei Eleet. Zufllseperiete it gleichwhrscheiliche Eleetrereigisse heiße Lplce- Eperiete. Bei Lplce Eperiete k die Whrscheilichkeit P(E) für ei Ereigis E erechet werde. Azhl der Eleete vo E P(E) Azhl der Eleete vo Ω Bei Werfe eies Spielwürfels sid die ögliche Ergeisse, die Augezhle,,,, ud Eleete des Ergeisrus Ω { ; ; ; ; ; }. Ei Ereigis ist z.b. Gerde Augezhl G { ; ; }. Es ist G Ω. Die Eleetrereigisse { }, { }, { }, { }, { }, { } he lle die gleiche Whrscheilichkeit. Es k z. B. erechet werde : P( Gerde Augezhl ) %.