Formelsammlung WS 2005/06

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1 Forelslug WS 005/06 FH Düsseldorf Fhereih Mshieu ud Verfhrestehik Mthetik für Igeieure Prof. Dr. W. Sheideler Ausreitug: Sevd Mer

2 Ihltsverzeihis. Zeihe für esodere Zhleege 3. Poteze 3 Reheregel für Poteze 3 3. Wurzel 4 Reheregel für Wurzel 4 4. Bioishe Forel 4 5. Qudrtishe Gleihuge 5 6. Trigooetrishe Fuktioe Defiitio der trigooetrishe Fuktioe i rehtwiklige Dreiek Wikelße (Grd ud Bogeß) Wihtige Beziehuge zwishe de trigooetrishe Fuktioe Trigooetrisher Pythgors Additiostheoree für die Sius, Kosius ud Tgesfuktio Siusstz Kosiusstz Telle: häufiger Fuktioswerte der Sius, Kosius ud Tgesfuktio 9 7. Eoetil ud Logrithusgleihuge Reheregel für Eoetil ud Logrithusgleihuge Bsiswehsel 0

3 . Zeihe für esodere Zhleege N {0,,, 3, } Z {,,, 0,,, 3, } Q R N *, Z *, Q *, R * Z, Q, R Z*, Q*, R* Z* G L D W Mege der türliher Zhle Mege der gze Zhle Mege der rtiole Zhle Mege der reelle Zhle Mege N, Z, Q, R ohe dienull Positive Zhle der Mege Z, Q, R eishließlih der Null Positive Zhle der Mege Z, Q, R Mege der egtive gze Zhle Grudereih Lösugsege Defiitiosereih Werteereih. Poteze Reheregel für Poteze: I Folgede sei, N. ( Multiliktio vo Poteze it gleiher Bsis ). (Divisio vo Poteze it gleiher Bsis) egtiver Eoet ( 0 ud ) 3. ( Poteziere vo Poteze ) 3

4 4. ( ) (Multiliktio vo Poteze ei gleihe Eoete) 5. ( 0 (Divisio ud vo ) Poteze ei gleihe Eoete) Wurzel Reheregel für Wurzel:.. 3. ( ) 4. für > 0; lle, N 4. Bioishe Forel:. ( ± ) ±. ( )( ) 4

5 5. Qudrtishe Gleihuge Die Allgeeie For eier qudrtishe Gleihug lutet: 0 ( 0 ) Sie läßt sih stets i die Norlfor q 0, q üerführe. Die (forle) Lösuge dieser Gleihug lute (sog, q Forel): Lösuge eier i der Norlfor q 0 gegeee qudrtishe Gleihug (sog, q Forel), ± q Ds edeutet. Lösug vo q. Lösug vo q Eie Fllutersheidug wird dei hd der Diskriite D q wie folgt vorgeoe : D > 0 : Zwei vershiedee reelle Lösuge D 0 : Eie reelle Lösug D < 0 : Keie reelle Lösuge. (Die Lösuge d sog. (kojugiert) kolee Zhle.) 5

6 6 Trigooetrishe Fuktioe 6.. Defiitio der trigooetrishe Fuktioe i rehtwiklige Dreiek : Gegekthete : Akthete : Hyoteuse ß Trigooetrishe Fuktio: Ukehrfuktio i Bereih 0 β 90 : si β Gegekthede rsi Hyoteuse β os β Akthede ros Hyoteuse β Gegekthede / t β Akthede / si β os β rt β Akthede / os β ot β r ot β Gegekthede / si β 6.. Wikelße (Grd ud Bogeß) v ß Bogeß u Bild

7 Ds Bogeß lässt sih uh etws llgeeier defiiere. Ist die Läge des Boges, der i eie Kreis vo Rdius r de Wikel β gegeüer liegt, so gilt (Bild 6...): Bogeläge Rdius r Zwishe Bogeß ud Grdß β esteht die liere Beziehug : β π 360 π 80 Sie erögliht eie Urehug zwishe de eide Wikelße. Zwishe Bogeß ud Grdß β esteht die liere Beziehug : β π 360 π 80 Sie erögliht eie Urehug zwishe de eide Wikelße Wihtige Beziehuge zwishe de trigooetrishe Fuktioe Trigooetrisher Pythgors (Bild 3.5) ( si α ) ( osα ) si α os α v ß os ß P si ß u Bild

8 6.3.. Additiostheoree für die Sius, Kosius ud Tgesfuktio si ( ± ) si ( ) os ( ) ± os ( ) si( ) ( ± ) os ( ) os ( ) si ( ) si ( ) os t ( ± ) t ( ) ± t ( ) t ( ) t ( ) si ( ) si( ) os ( ) os ( ) os ( ) si ( ) si ( ) [ os ( )] os ( ) [ os ( )] Siusstz Für ei elieiges Dreiek gilt: B C A si si si ( A ) ( B ) ( C ) 8

9 Kosiusstz Für ei elieiges Dreiek (geäß Skizze) gelte die folgede drei Beziehuge: os ( A ) os ( B ) os ( C ) 6.4. Telle: häufiger Fuktioswerte der Sius, Kosius ud Tgesfuktio 0, 0, 30 6 π π π π, 45 4, 60 3, 90 si(β) 0 3 os(β) 3 0 t(β) Niht defiiert!!! 7. Eoetil ud Logrithusgleihuge Für lle R gilt; log ; ( > 0; > 0 ud ) für de Eoete führt die Bezeihug Logrithus vo zur Bsis ei 9

10 7.. Reheregel für Logrithe Für lle R gilt ) log ( y ) log log y ) log log log y y 3) log log 4) log log ( log ) 5) log Bsiswehsel log r log r log ( ) log r log 443 K K log r 0