5.6 Additionsverfahren

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1 5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er mit etgegegesetzte Vorzeihe) vorhde sei. Beispiele (G x ) ) () x + y 8 () x - y Es spielt für ds Löse ud ds Ergeis keie Rolle, welhe Vrile zuerst wegfällt, wie us der folgede Musterlösug ersihtlih ist. Vrite x soll zuerst wegflle Vrite y soll zuerst wegflle Defiitiosmege Defiitiosmege D x D x Gleihug(e) umforme Gleihug(e) umforme Gleihug(e) geeiget multipliziere Gleihug(e) geeiget multipliziere hier Gleihug () mit Gleihug () mit (-) () x + y 8 ()' 6x + y 6 () x - y ( - ) ()' -6x + 9y - hier Gleihug () mit Gleihug () muss iht multipliziert werde () x + y 8 ()' 9x + y 5 Elimiiere eier der Vrile Elimiiere eier der Vrile Die eide Gleihuge ddiere Die eide Gleihuge ddiere ()' 6x + y 6 ()' 9x + y 5 ()' -6x + 9y - () x - y y + 9y 6-9x + x 5 + Verleiede. Vrile usrehe Verleiede. Vrile usrehe y x 55 y x 5. Vrile usrehe. Vrile usrehe De Wert der erehete Vrile i eier der eide Ausggsgleihuge eisetze. hier y i Gleihug () De Wert der erehete Vrile i eier der eide Ausggsgleihuge eisetze. hier x i Gleihug () x + y 8 ud y x + y 8 ud x 5 x x y y 8-5 x 5 y Lösugsmege Lösugsmege L { ( 5 ) } L { ( 5 ) } 86 Gleihugssysteme mit zwei Vrile

2 ) () x + y 7 () 7x + 6y 0 D x Defiitiosmege D x Gleihug(e) umforme / geeiget multipliziere () x + y 7 ( - ) ()' -8x - 6y - () 7x + 6y 0 Elimiiere eier der Vrile ()' -8x - 6y - () 7x + 6y 0 -x - ( - ) Ürig gelieee. Vrile usrehe x. Vrile usrehe (hier x i Gleihug () eisetze) + y 7-6 y -9 y - Lösugsmege L { ( - ) } L { ( - ) } d) () 5x - 8y -6 () x + 6y -7 D x Defiitiosmege D x Gleihug(e) umforme / geeiget multipliziere () 5x - 8y -6 ()' 0x - 6y - () x + 6y -7 ( -5 ) ()' -0x - 0y 5 Elimiiere eier der Vrile ()' 0x - 6y - ()' -0x - 0y 5-6y ( -6 ) Ürig gelieee. Vrile usrehe y -½. Vrile usrehe (hier y i Gleihug () eisetze) x + 6 ( -½ ) -7 x x - x - Lösugsmege L { ( - -½ ) } L 88 Gleihugssysteme mit zwei Vrile

3 6.. pq-formel Nee de eide mthemtishe Methode der Fktorzerlegug ud der qudrtishe Ergäzug git es uh Lösugsmethode, die uf Formel siere die pq- ud die -Formel der qudrtishe Gleihuge. He wir eie qudrtishe Gleihug, ei der vor dem x der Fktor steht, lässt sih die pq-formel wede. Normlform x + px + q 0 x, p ± p q Die mthemtishe Herleitug der pq-formel köe Sie im Kpitel 6.. hvollziehe. Allgemeies Lösugsvorgehe Defiitiosmege estimme Gleihug i die pq-normlform rige (we ötig), ud die Werte für p ud q estimme Ahtug Die Vorzeihe vo p ud q uh üerehme. Werte für p ud q i der Formel eisetze (ikl. Vorzeihe ) Vrile x ud x usrehe Lösugsmege estimme Beispiele (G ) ) x + x - 0 D Wir estimme zuerst p ud q. (flls der Fktor vor x ist, muss die Gleihug oh durh diese dividiert werde) x + x - 0 p q Die Vorzeihe gehöre zu p ud q dzu Die Werte für p ud q i der Formel eisetze p, q - x, ± (-) Vrile x ud x usrehe x, ± + x, ± 5 x, ± 5 x x -7 x x L { 7 ; } Qudrtishe Gleihuge

4 ) x - 6x - D Gleihug i die pq-normlform rige x - 6x - + x - 6x + 0 (d.h. durh de Fktor vor x dividiere) x - x + 0 x - x + 0 p q Die Werte für p ud q i der Formel eisetze p -, q x, - ± - Vrile x ud x usrehe x,.5 ±.5 x,.5 ±. 5 x,.5 ± x x x 0.89 x.680 L { 0.8 ;.6 } ) x - x 5 D D x - x 5 x - x x - x p q x, ± ( 5) x,.5 ± x,.5 ± x,.5 ± 7.5 x -6, x 9 L { -6 ; 9 } L { -6 ; 9 } Qudrtishe Gleihuge

5 Aufge 6.5 Bestimme Sie die Defiitios- ud Lösugsmege der folgede Gleihuge i der Grudmege mit Hilfe der -Formel. ) 5x + 0x 75 0 D L { -5 ; } ) x x 8 D L ; ) 5x + x 8 0 D L { -. ; } d) x x 0 0 D L { -.6 ; 7.6 } e) x 5x + D L f) 6x + 0 9x D L ;. ; 5 g) x 0x D L { - ;.5 } h) 8x x 0.5 D L i) x 5x 8 D L ; 8 ; 7 j) 5x + x 7.5 D L { -. ;.5 } k) ( x )(x + ) 0 D L ; l) ( x )(5x + ) 5x D L { -0.6 ; 0.86 } 0 Qudrtishe Gleihuge

6 ) Die Summe zweier türliher Zhle eträgt 8. Teilt m die grössere durh die kleiere, erhält m, ud es leit ei Rest vo. Wie heisse die eide Zhle? Alyse grössere Zhl kleiere Zhl Resultt ) + 8 ), Rest Tipp Sutrhiert m de Rest vo der grössere Zhl, so ergit die Divisio keie Rest mehr, soder geu. oder - Lösug mit ur Uekte Lösug mit Uekte ( [grössere Zhl] - Rest) [kleiere Zhl] () [grössere Zhl] + [kleiere Zhl] 8 () ( [grössere Zhl] Rest) [kleiere Zhl] x grössere Zhl 8 - x kleiere Zhl x grössere Zhl y kleiere Zhl x () x + y 8 8 x () x y D \ { 8 } x 8 x (8 - x) x - (8 - x) usmultipliziere x x + x 5x x x D x () x + y 8 x 8 y () x y x y + Gleihsetzugsverfhre 8 - y y + + y 8 5y y 5 y 7 kleiere Zhl 8 - x 8-7 y eisetze ud x erehe x 8 - y x 8-7 x Die Zhle lute ud 7. Proe , Rest Gleihuge Textufge

7 ) Zähler ud Neer eies Bruhes ergee zusmme. Zählt m zum Zähler ud Neer je die Zhl 7 dzu, erhält der Bruh de Wert. Wie heisst der Bruh? Alyse () Zähler + Neer () Zähler Neer () [Zähler] + [Neer] () ( [Zähler] + 7 ) ( [Neer] + 7 ) Lösug mit ur Uekte x Zähler - x Neer Lösug mit Uekte x Zähler y Neer x + 7 () x + y ( x) + 7 () x + 7 y + 7 D \ { 8 } x x (8 - x) ( x + 7 ) ( 8 x ) x x + x 7x x 56 7 x 8 D x \ { -7 } () x + y - y x y + x -y + 8 () x + 7 (y + 7) y + 7 ( x + 7 ) ( y + 7 ) x + 8 y x y - 7 Neer - x - 8 Gleihsetzugsverfhre -y + 8 y y 8 7y y 7 y y i Gleihug () eisetze x + y x + x 8 Der Bruh lutet 8. Gleihuge Textufge 5

8 8.5 Reheregel für Poteze mit gleiher Bsis 8.5. Additio / Sutrktio ) + + (iht ddierr) Poteze mit utershiedlihe Expoete köe iht ddiert werde. Ds leuhtet ei, we wir mit m ersetze ud us ewusst werde, dss m ei Flähe- ud m ei Volumemss ist. ) + ) - d) ( - ) + Fzit Nur Poteze mit gleiher Bsis ud gleihem Expoet köe ddiert / sutrhiert werde Multipliktio ) ( + ) 5 weil ) 5 5 ( + ) 6 0 weil 5 ) 7 ( 7 + ) 8 d) 5 ( 5 + ) 8 Fzit Poteze mit gleihe Bse werde multipliziert, idem die Expoete ddiert werde Divisio ) ( ) weil ) (6 ) 6 ( ) weil 6 6 ) 8 ( 8 ) 7 d) 6 5 (9 ) 6 9 ( 5 ) Fzit Poteze werde dividiert, idem die Expoete voeider sutrhiert werde. Poteze 99

9 Aufge 8.8 Berehe Sie die folgede Ausdrüke, ud shreie Sie ds Resultt ohe Prmeter im Neer, soder lleflls mit egtivem Expoete. ) ( ) ) ) e) () g) () d) f) 8 h) 5 () i) ( ) 5 Aufge 8.9 Berehe Sie die folgede Ausdrüke, ud shreie Sie ds Resultt ohe Prmeter im Neer, soder lleflls mit egtivem Expoete. ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) 9 () () Poteze 5