Potenzen und Wurzeln

Transkript

1 Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 08 Für eie Potez mit egtiver Bsis gilt: Ist der Epoet gerde, so ist ds Ergeis positiv, ist der Epoet ugerde, so ist ds Ergeis egtiv, er: 9 0, 0, 0, 0, 0,008 0, 0,0, 0, 0, 0,000 ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) 0,00007 ( ) 9 ( ) Seite vo 9

2 Poteze mit Tscherecher (TR) (Epoeteschreiweise) Aufge: Gi i de Tscherecher ei: 00 ud, TR: 00 Der Tscherecher liefert folgedes Ergeis, ds mit Hilfe eier Zeherpotez gegee wird: 00, 0, Ds Ergeis wird mit eier Zhl zwische ud 0 (,) ud eier Zeherpotez ( ) gegee! Ds Komm wird um ( Stelle 0 ) ch rechts verschoe! 0,, Ds Ergeis wird mit eier Zhl zwische ud 0 (,7...) ud eier Zeherpotez ( 0 ) gegee! Ds Ko mm wird um Stelle ( ) ch rechts ver 0 schoe! Epoeteschreiweise: Um große Zhle üersichtlich drzustelle, schreit m sie ls Produkt eier Zhl zwische ud 0 ud eier 0er-Potez. Diese Schreiweise wird sehr häufig i de Nturwisseschfte gewedet (Scietific Nottio) Schreie i der Epoeteschreiweise: 8, , km,9 0 km km 9, 0 km Bereche mit dem Tscherecher: ,0, 0 7, Für die Speicherug vo Iformtioe eim Computer verwedet m die Mßeiheit Bte (8 Bit): Kilote 0 Bte 0 Bte c. 0 Bte 000 Bte Megte 0 Bte 087 Bte c. 0 Bte Bte Gigte 0 Bte 0778 Bte c. 0 9 Bte Bte Seite vo 9

3 Multipliktio: Multipliktio ud Divisio vo Poteze mit gleicher Bsis.) 7.).).) M multipliziert Poteze mit gleicher Bsis, idem m die Epoete ddiert ud die Bsis eiehält. Trete Vorzhle uf, so werde sie multipliziert er: ud: Divisio:.) :.) :.) : ( ) ( ).) :.) : M dividiert Poteze mit gleicher Bsis, idem m die Epoete sutrhiert ud die Bsis eiehält. Trete Vorzhle uf, so werde sie dividiert. : Löse die Klmmer uf:.) ( ) 7.) ( ) 8.) ( ) ( ) 8.) ( ) 9 Biomische Formel! Seite vo 9

4 Klmmere us:.) ( ).) ( ) Poteze lsse sich ur ddiere oder sutrhiere, we der Epoet ud die Bsis gleich sid. M ddiert oder sutrhiert d die Vorzhle ud ehält die Potez ei. Beispiele:.) 7 er : 0.) er : ( ) ( ) 8.) 8 0 Multipliktio ud Divisio vo Poteze mit gleiche Epoete.) Multipliktio: ( ) () M multipliziert Poteze mit gleiche Epoete, idem m die Bsis multipliziert ud de Epoete eiehält. ( ) ( ) M poteziert ei Produkt, idem m jede Fktor poteziert..) Divisio: : : Seite vo 9

5 M dividiert Poteze mit gleiche Epoete, idem m die Bsis dividiert ud de Epoete eiehält. M poteziert eie Bruch, idem m Zähler ud Neer poteziert. Poteziere vo Poteze.) ( ) ( ) oder : ( ).) ( ) M poteziert eie Potez, idem m die Epoete multipliziert. ( ) Seite vo 9

6 Seite vo 9 Potezrechug (I) Vereifche so weit wie möglich mit Hilfe der Potezgesetze:.).) ) ( ) (.).).).) 8 7.) c 8.) () ) ( 9.) ) ( ) ( 0.) ) (.) 8.).) () () ) (.).).) 7.) ) ( ) ( 8.) () () 9.) ) ) ( ) ( ) ( ) (.) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) : : ) ( ) ( :

7 Potezrechug (I) (Lösuge) Vereifche so weit wie möglich mit Hilfe der Potezgesetze:.).).).) ( ) ( ) ) () ().) 7.) 8.) 9.) c ( c) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) 0.) ( ).) 8 8.).) () () () 9.).) ( ) ( ).) 7.) ( ) ( ) ) () () ) 8 0.) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7.) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 Seite 7 vo 9

8 Potezfuktio mit türliche Epoete.) Zeiche mit Hilfe eier Wertetelle ud/oder mit Hilfe des Tscherechers folgede Fuktioe i ei gemeismes Koorditesstem mit uterschiedliche Fre ei: () f() f() f() f() f.) Fide uf Grud des Verlufs der Fuktioe ihre Besoderheite ud ihre Gemeismkeite (gemeisme Pukte, Smmetrie usw.) herus. Notiere diese Besoderheite ud Gemeismkeite der Fuktio f () mit R ; N..) Zeiche folgede Fuktioe i ei eues Koorditesstem ei: f() f() f() f () 0, Üerlege dzu zuerst, welche Auswirkuge die hizugefügte Werte uf de Verluf der Fuktio esitze. Fide dch mit Hilfe eier Wertetelle ud/oder mit Hilfe des Tscherechers Pukte der Fuktioe herus ud zeiche die uterschiedliche Fuktioe mit verschiedee Fre ei..) Notiere: Gegee ist die Fuktio f() c mit, c, R ; N Ws ewirkt der Fktor i der Fuktio? Ws ewirkt der solute Wert c i der Fuktio? Deie Notize: zu.) zu.) Seite 8 vo 9

9 O Seite 9 vo 9

10 f () f () O f () -0 f () Seite 0 vo 9

11 Für de Verluf der Fuktio.) Der Epoet ist gerde: f() R ; N gilt:.) Fuktio verläuft im II. ud I. Bereich des KS..) Fuktio ist Achsesmmetrisch zur -Achse. c.) für <0 fällt die Fuktio, für >0 steigt die Fuktio. d.) gemeisme Pukte: (/), (0/0), (-/)..) Der Epoet ist ugerde:.) Fuktio verläuft im III. ud I. Bereich des KS..) Die Fuktio ist Puktsmmetrisch zu (0/0) c.) für <0 ud >0 steigt die Fuktio d.) gemeisme Pukte: (/), (0/0), (-/-)..) Für f() c mit, c, R ; N gilt :.) ist vertwortlich für evetuelle Spiegelug, Streckug oder Stuchug des Grphe..) c ist vertwortlich für eie Verschieug des Scheitelpuktes etlg der -Achse. Seite vo 9

12 Poteze mit gze Zhle ls Epoete.) : ch de Potezgesetze.) :.) 9.) 9.) 0.) (0,) Negtiver Epoet edeutet: Bilde de Kehrwert der Bsis mit eiem positive Epoete. oder : 0 0 (Ter) Zeherpoteze mit egtive Epoete Terte Btes 9 0 (Gig) Gigte Btes 0 (Meg) Megte Btes 0 (Kilo).000 Kilote.000 Btes (M illi) 0, Millim eter Meter (Mikro) 0, Mikrom eter Meter (No) 0, Nom eter Meter (Piko) 0, Pikom eter Meter Seite vo 9

13 User Zhlesstem lässt sich somit mit Hilfe der Zeherpoteze erkläre: 8 7, , ZT T H Z E, z h t zt Epoeteschreiweise für kleie Zhle.) 0,,78 0,78 0, , ) 0,,8980 0,8980 0, , Epoeteschreiweise: Um kleie Zhle üersichtlich drzustelle, schreit m sie ls Produkt eier Zhl zwische ud 0 ud eier egtive 0er-Potez. Diese Schreiweise wird sehr häufig i de Nturwisseschfte gewedet (Scietic Nottio) Potezgesetze für egtive Epoete 7 7 ( ) 7.) 7 7 ( ).) : : ).) ( ().) : ( : ) : : : Die isher gewedete Potezgesetze gelte uch für Rechuge mit egtive Epoete. Seite vo 9

14 Potezfuktioe mit egtive gzzhlige Epoete.) Zeiche mit Hilfe eier Wertetelle ud/oder mit Hilfe des Tscherechers folgede Fuktioe mit uterschiedliche Fre i ds eiliegede Koorditesstem ei: () f() f() f() f.) Fide uf Grud des Verlufs der Fuktioe ihre Besoderheite ud ihre Gemeismkeite (gemeisme Pukte, Smmetrie usw.) herus. Wie sieht es mit f (0) us? Wie sieht es mit kleie Werte f ; f ; f us? Wie sieht es mit große Werte f(0) ; f(00) ; f(000) us? Notiere diese Besoderheite ud Gemeismkeite..) Zeiche folgede Fuktioe mit uterschiedliche Fre i ei eues Koorditesstem ei: f () f() f() f() Üerlege dzu zuerst, welche Auswirkuge die hizugefügte Werte uf de Verluf der Fuktio esitze. Fide dch mit Hilfe eier Wertetelle ud/oder mit Hilfe des Tscherechers Pukte der Fuktioe herus ud zeiche die Fuktioe mit verschiedee Fre ei..) Notiere: Ws ewirkt der Fktor vor der Vrile? Ws ewirkt der solute Wert ch der Vrile? Deie Notize: Seite vo 9

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16 Potezfuktioe mit egtive gzzhlige Epoete Lösuge zu dem Areitsltt: O zu.) Der Fktor vor der Vrile ht folgede Wirkug: Ist der Fktor vor der Vrile egtiv, so wird die gze Fuktio umgedreht. Ist der Fktor vor der Vrile -<< so etfert sich der Grph der Fuktio etws vo seie Asmptote, ei de dere Werte für rückt er äher sie her. Der solute Wert ch der Vrile ht folgede Wirkug: Die gze Fuktio wird ch ute (<0) oder ch oe (>0) verschoe. Außerdem git dieser Wert die Lge der Liie, die sich die Fuktio ähert ohe sie er jemls zu erühre (Asmptote, im KS oe gestrichelt gegee). Seite vo 9

17 Potezfuktioe mit egtive gzzhlige Epoete Klee diese Areitszettel i dei Merkheft ei!.bereich. Bereich O Bereich. Bereich - Eigeschfte der Potezfuktioe mit egtive gzzhlige Epoete: M uterscheidet:.) Potezfuktioe mit egtive gzzhlige gerde Epoete ud.) Potezfuktioe mit egtive gzzhlige ugerde Epoete zu.) Diese Fuktioe sid smmetrisch zur -Achse ud he die gemeisme Pukte P(/) ud Q(-/). Sie verlufe dher im. ud. Bereich des Koorditesstems. zu.) Diese Fuktioe sid puktsmmetrisch zum Koorditeursprug (0/0) ud he die gemeisme Pukte P(/) ud R(-/-). Sie verlufe dher im. ud. Bereich des Koorditesstems. Alle Potezfuktioe mit egtive gzzhlige Epoete gemeism ist: () Die Fuktio ist für 0 icht defiiert. () Die Fuktio ähert sich de Koorditechse immer mehr, ohe sie er jemls zu erühre. M sgt: Die Koorditechse ilde die Asmptote der Fuktio. () Die Fuktio - et m uch Hperel. Seite 7 vo 9

18 Poteze mit gze Zhle ls Epoete Für lle Aufge gilt: Versuche im Edergeis eie egtive Epoete zu vermeide!.) Wdle i die Epoeteschreiweise um:.) 0, (Msse des Wsserstofftoms i kg) (AP 00).) (Lichtjhr i m) (AP 00).) Bereche:.).) c.) 0 8 d.) e.) f.) ( ) g.) ( ) h.) ( ) i.).) Vereifche: ( ).) z z.) : c.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d.) vw e.) f.) c g.) h.) i.).) Vereifche:.).) : ( ) ( ) ( z) ( ) z c.) d.) : e.) (AP 00) 9 z ( ).) Weltweit wurde 99 etw, 0 Hühereier produziert. Wie viel Kilometer hoch ist der Stpel, we m sie sich i die üliche 0er-Pckuge (Höhe cm) gepckt ud diese ufeider geschichtet dekt?.) Eie Uhr weicht täglich höchstes 0 - Sekude vo der richtige Zeit. Der Hersteller will mit dem Slog were: Weicht i Jhre um höchstes Sekude vo der ttsächliche Zeit. Welche Zhl k für eigesetzt werde? 9 7.) Ei kugelförmiger Wssertropfe vo mm Durchmesser esteht us c.,7 0 Moleküle. Wie viel Jhre würde es duer, diese Moleküle zu zähle, we m Moleküle pro Sekude zähle köte? Seite 8 vo 9

19 .) Epoeteschreiweise: Poteze mit gze Zhle ls Epoete.),7 0.) 9,0 0 7.) Bereche:.).) (0) c.) d.) e.) f.) 0 8 ( ) g.) h.) ( ) i.).) Vereifche: ( ) 0.) z.) c.) d.) e.) () f.) vw v w g.) h.) i.) c c.) Vereifche: 9.).) z c.) d.) z z e.) 9 z z 0.), h, 0 cm, 0 km km.) 0 0 s täglich : 0 s jährlich : 0 0 s t ,8 Jhre 7.) 9 9, ,8 0 t 0,8 0 s j Jhre 00 0 Seite 9 vo 9

20 Die -te Wurzel Aufge: Ei Würfel esitzt ei Volume vo cm. Welche Kteläge esitzt dieser Würfel? / Uter der. Wurzel eier Zhl versteht m diejeige icht egtive Zhl, die mit poteziert die Zhl ergit. Dei drf icht egtiv sei! Wurzelepoet de Rdikd Wurzelwert Bechte: Die dritte Wurzel us eier egtive Zhl, z.b. 8 ist icht defiiert. ( ) ud Außerdem gilt: ( ) Beispiel: 8 Möglichkeit : (8 ) ( ) Möglichkeit : 8 Aufge: Welche positive reelle Zhl ist Lösug der Gleichug: 8/ / 0 / Uter der -te Wurzel eier Zhl versteht m diejeige ichtegtive Zhl, die mit poteziert die Zhl ergit. Dei drf icht egtiv sei! Beispiel: de ( ) ( ) Seite 0 vo 9

21 Poteze mit rtiole Epoete.) oder : ( ) ( ).) oder : ( ) ( ) Gleiche Fktore miteider multipliziert ergee ds Produkt ( ) de ur Nur die gleiche Fktore miteider multipliziert ergee ds Produkt Es muss lso gelte:.) oder : ( ) ( ) Es muss lso gelte: oder llgemei: Weiterführede Beispiele: ( ).) ( ) ( ).) ( ) ( ) ( ) oder : 8 ( ) 09 8 ( ) llgemei: m m ( ) ( ) m Der Neer des Epoete () wird zum Wurzelepoete, der Zähler des Epoete (m) kommt ls Epoet zum Rdikde oder ls Epoet hiter die Wurzel. Seite vo 9

22 Der Epoet ist ei egtiver Bruch: m m m m Beispiele:.).) 7.) 0, 0, ) 0,008 0,, , 8 ( ) ( ) 8 oder : 0, llgemei: m m m m.) Mius-Zeiche im Epoet edeutet: Kehrwert der Bsis ilde ud gleichzeitig de Epoete positiv mche..) Bruch- oder Dezimlzhl im Epoete edeutet: Umforme i eie Wurzelterm. Dei rückt der Neer des Bruches uf die Wurzel (Wurzelepoet), der Zähler kommt ls Epoet zur Zhl uter der Wurzel (Rdikd) oder hiter die Wurzel. Bereche: 9.) 9.) c.) d.) , 0, e.) 0, 0 0 f.) 0, 0, 0 0, 0 0, 0, 0, 0, g.) h.) , Seite vo 9

23 Potezgesetze für rtiole Epoete ( ) ( ) ( ).).) : ( ) ( ) : ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).) 8 7 (8 7) ( ) 8 8.) 8 : : 7 8 : 7 :.) ( ) ( ) ( ) 9 9 Potezgesetz Potezgesetz Potezgesetz Potezgesetz Potezgesetz Die Potezgesetze gelte uch für Rtiole Epoete ud dmit uch für ds Reche mit Wurzel. Beispiele:.) 9 9.) ) ) Seite vo 9

24 Vereifche vo Potezterme.) Vereifche so weit wie möglich die folgede Potezterme ud estimme ihre Lösug ohe TR..) ( ).) c.) 0, d.) e.) 0, f.) g.) h.), i.) j.),7 0 8 k.) 0,7 0 l.),97 0 m.).) o.) 8 p.) q.) , 0,7 r.) s.) t.) 0, , u.) 000 v.) w.) ) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich. Achte druf, dss ds Ergeis keie egtive Hochzhl mehr esitzt..) ( ).) c.) ( ) ( ) d.) ( ) ( ) ( ) e.) ( z ) ( ) f.) ( ) 0 g.) h.) 0 i.) k.) 7 8m p j.) m p 8 l.) m.).) c o.) p.) 8 () q.) ( 7) r.) ( ) s.) ( ) t.) c c u.) : de f d ef Seite vo 9

25 .) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich. Achte druf, dss ds Ergeis keie Brüche ls Hochzhle mehr esitzt..).) c.) d.) () : () 8 8 e.) f.).) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich: r.) 7.) r rs s 7 8 c 8 c.) : d.) z 8 e.) 8 f.) g.) 8 h.) 8 c 8 c.) Bestimme die Lösugsmege der folgede Gleichuge: 8.).) c.) d.) e.) 8 f.) ( ) 8 g.) ( ) 8 h.) i.) j.) k.) 0 l.) m.) 7.) Die Erde ht eie Msse vo etw 97 0, t ud ei Volume vo etw 08 0, km. Wie groß ist die mittlere Dichte der Erde i g/cm³? 7.) I der folgede Telle sid die mittlere Etferuge der Plete vo der Soe gegee. Bereche jeweils, wie viel Miute (ud Stude) ei Lichtstrhl vo der Soe zu de Plete eötigt. Die Lichtgeschwidigkeit eträgt m/s. Plet Mittlere Etferug Merkur 7 9 0, km Veus 08 0, km Erde 9 0, km Mrs 7 9 0, km Jupiter 778 0, km Stur 8 0 9, km Urus 8 0 9, km Neptu , km Pluto , km Seite vo 9

26 Vereifche vo Potezterme (Lösuge).) Vereifche so weit wie möglich die folgede Potezterme ud estimme ihre Lösug ohe TR..) ( ).) ( ) c.) 0, 0,0 d.) e.) 0, f.) g.) h.), 0, 9 9 i.) 7 j.),7 0 0,0007 k.) 0, l.),97 0 0, m.).) 8 8 o.) p.) , 0,7 q.) r.) s.) 8 8 t.) 0, , u.) v.) w.) ) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich. Achte druf, dss ds Ergeis keie egtive Hochzhl mehr esitzt..) ( 7 ) 9.) c.) ( ) ( ) d.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 e.) ( z ) ( ) z z f.) ( ) ( ) 0 () ( ) g.) h.) i.) ( ) ( ) 00 Seite vo 9

27 8m p j.) m p m m p m p p ( ) ( ) k.) () () () () m.) 8.) c c c 8 o.) p. ) 9 () ( ) ( ) () ( ) l.) 7 q.) ( 7) ( 7) () r.) ( ) ( ) s.) ( ) t. ) c c c c c d ef u.) : : de f d ef de f d ef de f c cd e.) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich. Achte druf, dss ds Ergeis keie Brüche ls Hochzhle mehr esitzt..).) ( ) 8 8 c.) d.) () : () e.) f.) 9 Seite 7 vo 9

28 .) Vereifche die folgede Aufge so weit wie möglich: 9 7.) 7 7.) r rs r rs r 7rs s r s r s r c.) : : r s d.) 8 c 8 z c z e.) 8 8 f.) g.) h.) 8 c 8 c 9 c c 8c.) Bestimme die Lösugsmege der folgede Gleichuge: 8.).) c.) 8 d.) 7 0 e.) 8 f.) ( ) g.) ( ) 8 h.) i.) ( ) 8 j.) k.) 0 8 l. ) 0 8 ( ) 7 ( ) m.) ( ) Seite 8 vo 9

29 .) Die Erde ht eie Msse vo etw 97 0, t ud ei Volume vo etw 08 0, km. Wie groß ist die mittlere Dichte der Erde i g/cm³? 7, g,97 0 g,97 7 g/ cm, g/ cm, cm,08 0 cm,08 7.) I der folgede Telle sid die mittlere Etferuge der Plete vo der Soe gegee. Bereche jeweils, wie viel Miute (ud Stude) ei Lichtstrhl vo der Soe zu de Plete eötigt. Die Lichtgeschwidigkeit eträgt m/s. Plet Mittlere Etferug Merkur 7 9 0, km Veus 08 0, km Erde 9 0, km Mrs 7 9 0, km Jupiter 778 0, km Stur 8 0 9, km Urus 8 0 9, km Neptu , km Pluto , km 7, Merkur : s s 9 s mi s , Veus : s s s mis , Erde : s s 99 s 8 mi9 s Mrs : 7, s s 70 s mi0 s , Jupiter : s s 9 s mi s , Stur : s s 7 s h 9 mi s Urus : 9, s s 980 s h 8 mi , Neptu : s s 00 s h 0 mi s , Pluto : s s 97 s h 8 mi s Seite 9 vo 9