1. Übungsblatt zur Analysis II

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1 Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio Riem-itegrierr ist Flls dies der Fll ist, so estimme Sie fxdx für x fx sost für x fx für x x sost für x c fx sost q x p q ; p, q teilerfremd d fx x Q Lösug: Die Fuktioe sid lle eschräkt, dher läßt sich Stz 88 wede Wir wähle ls Zerlegug Z x,, x k k,, x } Dmit ergit sich: fx dx lim UZ, f lim lim k lim k if fx x k x I k k k + k + ugerde gerde fx dx lim OZ, f lim k supfx x I k lim k

2 Üug Alysis II Nch Stz 87 ist somit f Droux-it, dmit uch Riem-it ud es gilt fx dx fx dx fx dx Mit der sele Zerlegug wie ei gilt: fx dx lim + k lim + k fx dx lim + k Mit Stz 87 gilt wieder, dss f Riem-it ud c Sei 3 ud Dmit gilt für k + lim + fx dx k k Z, +,, +,,, +,, } OZ, f Somit ist if OZ, f lim Z D f ist, ist uch UZ, f für lle Z : sup Z if OZ, f, gilt sup Z Z UZ, f D weiter sup UZ, f Z UZ, f if Z OZ, f Außerdem ist dmit f it ud fx dx d Sei Z, N, N, 3 N,, N N, }, woei N + Der Fuktioswert wird eiml geomme x, der Wert uch x Für > wird der Wert mximl -ml geomme Dmit ergit sich OZ, f N < 4 N f ud somit ist OZ, f für lle Zerleguge Z Außerdem ist Dmit ist if Z OZ, f if Z OZ, f lim + + Für lle Zerleguge ist UZ, f ud somit uch ds sup dvo Dh f ist it ud fx dx

3 Üug Alysis II Aufge G Sei f : [, ] R eie Riem-itegrierre Fuktio mit fx für lle x [, ] Wir ehme, dss fx dx Zeige Sie, dss fx für lle Pukte x [, ], i dee die Fuktio stetig ist Folgt uch, dss fx für lle x [, ]? Lösug: Behuptug: fx i lle Stetigkeitspukte! Ahme: Behuptug flsch! D ex x [, ]: f stetig i x ud fx > δ > mit fx fx x [x δ, x + δ] Wähle Z, x δ, x + δ, } D if x [x δ,x +δ] fx fx ud f : UZ, f x δ + fx δ + x δ δ fx sup Z Nei! Gegeeispiel: siehe G,c UZ, f > zu fx dx Aufge G3 Seie f : [, ] [c, d] ud g : [c, d] R Riem-itegrierre Fuktioe K m drus schließe, dss die Fuktio g f uch Riem-itegrierr ist? Lösug: Nei! Gegeeispiel: Sei [, ] [c, d] [, ] ud fx q x p q ; p, q teilerfremd x Q ud fx für x für x Nch G sid eide Fuktioe itegrierr Aer x Q gfx x Q UZ, g f für lle Zerleguge Z sup Z UZ, g f OZ, g f für lle Zerleguge Z if Z OZ, g f Dmit ist g f icht itegrierr! 3

4 Üug Alysis II Husüug Die Husufge H ud H3 sid ls Präsettiosufge geeiget! Aufge H Es sei f : [, ] R eie stetige Fuktio mit fx dx woei < Zeige Sie, dss f eie Nullstelle i [, ] esitzt Bleit dieser Schluß richtig, we f zwr Riem-itegrierr, er ustetig ist? 5 Pukte Lösug: D f stetig ist, git es ch dem Mittelwertstz der Itegrlrechug Stz 85 ei ξ [, ] mit Teile durch liefert fξ Die Fuktio f : [, ] R, fx : fx dx fξ für x für x > ist Riem-itegrierr klr? ud erfüllt fx dx Jedoch ht f keie Nullstelle Aufge H Es sei > eie reelle Zhl Bereche Sie ds Riem Itegrl idem Sie i folgede Schritte vorgehe: sixdx, Begrüde Sie, wrum ds Riem Itegrl existiere muss 6 Pukte Wähle Sie die Zerlegug Z : x,, x } mit x k : k ud de Zwischevektor ξ : ξ,, ξ mit ξ k : x k Vereifche Sie de Ausdruck der zugehörige Riem Summe S für geeigetes mit Hilfe vo k x k + x sikx si x c Bestimme Sie u de Wert des Riem Itegrls Lösug: fx six stetig uf R, somit uch uf [, ] Stz 8 R-itegrierr ud Itegrl ex S k sik Sei so groß, dss < π: < < π si Dmit gilt: S k k k + si si k si k k + 4

5 Üug Alysis II c six dx lim S lim lim si lim lim lim Aufge H3 Es sei f : [, ] R eie Riem-itegrierre Fuktio derrt, dß 8 Pukte fx φx dx für jede stetige Fuktio φ: [, ] R Zeige Sie, dß fx für fst lle x Lösug: Wir zeige zuächst, dß f i jeder Stetigkeitsstelle x vo f i ], [ verschwidet Aderflls, we etw fx >, fäde wir ämlich ei δ > mit [x δ, x + δ] [, ] ud fx > fx für lle x [x δ, x + δ] Betrchte die Zckefuktio Skizze? φ: [, ] R, x x φx : δ flls x x δ sost D ist φ stetig klr?, ud wir erhlte die surde Aussge fxφx dx x +δ/ x δ/ fx x +δ x δ fxφx dx dx δ fx > 4 x +δ/ x δ/ fxφx dx Also muß doch fx gewese sei Die Mege N : f R \ } ist ch dem Vorige i der Mege, } f ethlte, welche eie Nullmege ist ufgrud der Riem-Itegrierrkeit vo f Somit ist N eie Nullmege, wie ehuptet 5