4.2 Das bestimmte Integral

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1 4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL Ds bestimmte Itegrl Die geometrische Iterprettio eies bestimmte Itegrls ist die Fläche uter eiem Fuktiosgrphe ft. M zerlege ei Itervl [, b] uf der t-achse äquidistt i Teilitervlle [t i, t i+ ] mit t i = + i b, i =,...,. D pproximiere m de Flächeihlt durch die Fläche der durch die Pukte t i,, t i, ft i, t i+, ft i, t i+, gegebee Rechtecke mit der Breite b : ft = t t t t... t i t i+... t = b b Die Summe der Rechteckfläche ist b ft i. Im Grezwert i= liefert dies die Fläche uter dem Grphe. Defiitio 4.6: Ds bestimmte Itegrl Zu eier über dem Itervll [, b] defiierte hireiched gltte, z.b. stetige Fuktio ft dem Itegrde wird ds bestimmte Itegrl über [, b] defiiert ls ft dt = sofer dieser Grezwert existiert. b i= f + i b Dies ist lediglich eie prizipielle Defiitio, die zur Berechug völlig ugeeiget ist. Die wirkliche Berechug geschieht über Stmmfuktioe vo ft, sobld der Zusmmehg zwische dem bestimmte Itegrl ud dem ubestimmte Itegrl geklärt ist ächster Abschitt. Bemerkug 4.7: Ds bestimmte Itegrl k uch egtive Werte ehme z.b., we überll ft < gilt. Die Iterprettio ls Fläche uter dem Grphe gilt ur für positive Fuktioe.

2 64 Bestimmte Itegrle köe dditiv zerlegt werde. M stelle sich dzu eie positive Fuktio ft vor, d.h., ds Itegrl vo bis b ist die Fläche uter dem Grphe vo t = bis t = b. Diese Fläche setzt sich zusmme us der Fläche uter dem Grphe vo t = bis t = c ud der Fläche vo t = c bis t = b, wobei der Zerlegugspukt c beliebig gewählt werde k: Stz 4.8: Zerlegug bestimmter Itegrle Für beliebiges, b, c gilt: c ft dt + c ft dt = ft dt. Kovetio 4.9: Wir setze womit wir i b ft dt = ft dt, ft dt u uch b < zulsse köe. Speziell gilt ft dt = ft dt =. Mit dieser Kovetio gilt Stz 4.8 uch für Zerlegugspukte c, die ußerhlb des Itervlls [, b] liege. Bemerkug 4.3: I MuPAD ist die Fuktio it sowohl für bestimmte ls uch für ubestimmte Itegrle zustädig: >> itexp-*x, x expx >> itexp-*t, t =..5 / exp5 >> flot%

3 4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 65 Bemerkug 4.3: M bechte, dß ds ubestimmte Itegrl fx dx eie Fuktio i x ist, währed ds bestimmte Itegrl ft dt für kokrete Zhlewerte, b eie Zhlewert drstellt. Diese k m umerisch pproximiere, idem m z.b. die i der Defiitio 4.6 gegebee Summe für großes usrechet. Altertiv zur Riem-Summe ft dt b i= f + i b ist es güstiger, stttdesse die Trpez-Summe ft dt b f zu bereche, die sich mit t i = + i b + i= f uch ls b ft i + ft i+ i= + i b + fb schreibe läßt. Hierbei ist b ft i+ft i+ die Fläche des durch die 4 Pukte t i,, t i, ft i, t i+, ft i+, t i+, defiierte Trpezes d.h., die Fläche uter dem Grphe vo ft wird icht durch Rechtecke, soder durch Trpeze geähert. ft fti+ ft i Trpezfläche t i t i+ t Bemerkug 4.3: I MuPAD ist die Fuktio umeric::it für die umerische Berechug vo bestimmte Itegrle zustädig. Sie rbeitet uch d, we der symbolische Itegrtor kei Ergebis liefert weil er keie Stmmfuktio fidet:.6.

4 66 >> itexpsqrtt*sqrtt, t =.. / / itt expt, t =.. >> umeric::itexpsqrtt*sqrtt, t = Der Huptstz: Zusmmehg zwische bestimmtem ud ubestimmtem Itegrl Es verbleibt ds Problem, wie m effektiv bestimmte Itegrle ft dt ohe de grstige Grezwert vo Riem Summe bereche k. Hier kommt die wesetliche Beobchtug is Spiel, dß m mit ubestimmte Itegrle Stmmfuktioe bestimmte Itegrle usreche k. Stz 4.33: Der Huptstz der Differetil ud Itegrlrechug, Versio Betrchte F x = ft dt. Für stetiges f ist F differezierbr, ud es gilt d dx F x = fx, d.h., F x ist eie Stmmfuktio vo fx. Beweisidee : Es gilt F = F x + h F x = +h ft dt ft dt 4.8 = +h x ft dt. Näher wir uf dem kleie Itervl [x, x + h] die Fuktio durch de kostte Wert ft fx, so gilt F = h = +h x fx i= ft dt +h x h fx dt = fx i= h = fx = h fx = h fx.

5 4.3. DER HAUPTSATZ 67 Dmit läßt sich die Ableitug vo F x bereche: d dx F F x + h F x h fx x = = = fx. h h h h Bemerkug 4.34: Stmmfuktioe sid ur bis uf dditive Kostte bestimmt. Dies wird i der Drstellug eier Stmmfuktio über F x = x ft dt ddurch deutlich, dß die utere Greze beliebig wählbr ist. Die Kostte ist hier durch die Bedigug F = ft dt = festgelegt. Bei uterschiedlicher Whl der utere Greze ist die Differez der etsprechede Stmmfuktioe i der Tt eie Kostte: 4.8 = F x F x = ft dt ft dt ft dt + ft dt ft dt = ft dt. } {{} ubhägig vo x Bestimmte Itegrle sid lso Stmmfuktioe, we m sie ls Fuktio der obere Greze uffßt. Umgekehrt, ket m ei Stmmfuktio, so liefert sie ei bestimmtes Itegrl, de lle Stmmfuktioe F x vo fx uterscheide sich ur um eie dditive Kostte, d.h., es muss gelte F x = ft dt = F x + c. Es verbleibt ur, die Itegrtioskostte c zu idetifiziere. Für x = folgt lso = ft dt = F + c c = F, ft dt = F x F. Dies liefert u eie effektive Methode, bestimmte Itegrle uszureche, idem m sich zuächst eie Stmmfuktio des Itegrde verschfft: Stz 4.35: Der Huptstz der Differetil ud Itegrlrechug, Versio Sei F x eie beliebige Stmmfuktio vo fx. D gilt ft dt = F b F.

6 68 Die dditive Kostte der Stmmfuktio fällt dbei bei Differezbildug herus. Beispiel 4.36: Zur Berechug vo lt dt berechet m zuächst eie Stmmfuktio vo lx. Alog zu Beispiel 4. ergibt sich durch prtielle Itegrtio: lx dx = lx dx = lx x x x dx fx g x fx gx gx f x = x lx dx = x lx x + c. Mit der Stmmfuktio F x = x lx x + c ergibt sich ds bestimmte Itegrl lt dt = F F = l + c l + c = l. Bemerkug 4.37: Aus dem Zusmmehg mit dem ubestimmte Itegrl folgt sofort, dß die Recheregel us Abschitt 4. uch für bestimmte Itegrle gelte, z.b. Stz 4.7: c f t + c f t dt = c Prtielle Itegrtio gilt i der folgede Form: ft g t dt = [ft gt] t=b t= wobei [ft gt] t=b t= ls Abkürzug für f t dt + c [ft gt] t=b t= = fb gb f g diet. Substitutio gilt i der folgede Form: fgt g t dt = gb g fy dy. f t gt dt, f t dt. Beispiel 4.38: Prtielle Itegrtio: t ft cost g t dt = [ t ft sit gt ] t= t= f t sit dt gt = [t sit] t= t= [ cost] t= t= = si si + cos cos = si + cos.

7 4.3. DER HAUPTSATZ 69 Beispiel 4.39: Substitutio y = t, dy = t dt: π t cost dt = π cost }{{ t dt } = dy π = [siy]y=π y= = siπ si =. cosy dy M bechte hierbei, wie sich im Substitutiosschritt die Greze äder: Für t = folgt y = t =, für t = π folgt y = t = π. Beispiel 4.4: Sei px eie NchfrgePreis-Abstz-Fuktio eier Wre, x = die chgefrgte Mege, p = der Preis. Die Erlösfuktio ist Ex = px x. Sei p = px der ktuelle Preis, für de die Wre gebote wird, x der ktuelle Abstz Gleichgewicht. Wie groß wäre der fiktive Gesmterlös E, we m erreiche köte, dß jeder Kosumet de für ih gerde och kzeptble Preis zhlt? Hierbei werde ur die Kosumete betrchtet, die midestes p zu zhle bereit sid. Wir setze px ls mooto flled vorus, dmit etspreche Preise p p eiem Abstz x x. Der Bereich [, x ] wird i gleiche Teile ufgeteilt. Es würde jeweils x Kosumete de Preis p i x zhle. Isgesmt würde dies zum Gesmterlös E x i p x i= führe. Dies ist eie Riem Summe im Sie vo Defiitio 4.6. Im Grezwert liefert dies ls Formel für de fiktive Erlös E = px dx. Der ttsächliche Erlös ist E = x p. M defiiert K R x = E E = px dx x p = px p dx ls die Kosumeterete mit der folgede Iterprettio: Sie ist der Gesmterspris ller Kosumete, die bereit gewese wäre, mehr ls p = px für die Wre uszugebe, ber ufgrud des ktuelle Mrktpreises p billiger die Wre komme. Für mooto flledes px gilt px px für x x, dmit ist diese Rete Zum Beispiel k m beim Eiführe eies eue Produktes de Mrkt vo obe bschöpfe ds sehe wir momet bei eue PC-Geertioe: Zuächst wird ds eue Modell zu eiem hohe Preis gebote, bis diejeige Käufer, die hohe Preise zu zhle bereit sid, gesättigt sid. Dch fällt der Preis ei weig, bis sich die ächste Käuferschicht eigedeckt ht. Usw.

8 7 positiv. Beispiel: die Nchfrge sei durch die Modellfuktio px = e x gegebe, der ktuelle Abstz sei x =. Die Kosumeterete ist K R = e x dx e = [ e x ] x= x= e = e + e e = e Ueigetliche Itegrle Bestimmte Itegrle ft dt sid zuächst ur für edliche Itervlle [, b] defiiert. Wir erweiter die Defiitio: Defiitio 4.4: Ueigetliche Itegrle ft dt = b ft dt = ft dt = flls die Grezwerte existiere. b ft dt, ft dt, ft dt Beispiel 4.4: e t dt = b e t dt = b [ e t ] t=b t= = b e b + = b e b =. Beispiel 4.43: Substitutio y = t, dy dt = t = y, dt = y dy: e t dt = e y y dy 4.9 = e y y dy. M chte hierbei uf die Trsformtio der Greze: t = etspricht y = t =, t = etspricht y = t =. Ds verbleibede Itegrl wr bereits i Beispiel 4. gelöst worde: e y y dy = [y ey ] y= y=

9 4.4. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 7 = Der verbleibede Grezwert ist : e = e b= = b e. + b e b b + = b e b. D mit e b = + b + b + die Expoetilfuktio für b stärker steigt ls jedes Polyom, ist der Grezwert. Edergebis: e t dt =. M geht ählich vor, we der Itegrd eie Sigulrität ht: Defiitio 4.44: Ueigetliche Itegrle bei siguläre Itegrde Ht der Itegrd ft der Stelle oder b eie Sigulrität, so defiiert m bzw. ft dt = ft dt = flls die Grezwerte existiere. ɛ + ɛ ft dt, ft dt ɛ + +ɛ Beispiel 4.45: Im folgede Fll existiert ds ueigetliche Itegrl: t dt = ɛ + t] t= = [ t=ɛ = ɛ + ɛ t dt = ɛ + ɛ + [t ɛ ] t= t=ɛ =. Beispiel 4.46: Im folgede Fll existiert ds ueigetliche Itegrl icht bzw. ist : t dt = ɛ + ɛ t dt = ɛ + [lt]t= t=ɛ = lɛ =. ɛ +