mathphys-online INTEGRALRECHNUNG

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1 mthphys-olie INTEGRALRECHNUNG

2 mthphys-olie Itegrlrechug Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Itegrtio gzrtioler Fuktioe. Die Flächemßzhlfuktio. Die Stmmfuktio Flächeerechuge 7. Fläche zwische Grph der Fuktio f ud 7. Fläche zwische de Grphe zweier Fuktioe 0 Stmmfuktioe gerochertioler Fuktioe Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug 8 Vertiefug des Itegrlegriffs. Potezsumme.. Die Summeformel vo Guß.. Weitere Potezsumme. Die Streifemethode.. Ds Riem-Itegrl.. Fläche uter eier Gerde.. Fläche uter eiem steigede Grphe 7.. Fläche uter eiem fllede Grphe 9 Mittelwertstz der Itegrlrechug 0 Grphike erstellt mit Mthcd Oktoer 0

3 mthphys-olie Itegrlrechug Itegrlrechug Itegrtio gzrtioler Fuktioe. Die Flächemßzhlfuktio Beispiele: Bestimmug vo elemetre Flächeihlte Rechtecksfläche 0 Dreiecksfläche 0 Trpezfläche 0 Fuktiosterm: f(x) ; Rechtecksfläche = LägeBreite Flächeerechug: A f() 0FE Flächemßzhl: 0 Oere Greze elieig: x Flächemßzhlfuktio: A(x) xf(x) x x; A '(x) f (x) Fuktiosterm: f(x) x; Dreiecksfläche = 0,GrudliieHöhe Flächeerechug: A 0,f() 0,,, FE Flächemßzhl:, Oere Greze elieig: x ; h f (x) x Flächemßzhlfuktio: A (x) x x x ; A '(x) x x ; Fuktiosterm: f(x) x Trpezfläche = Rechtecksfläche + Dreiecksfläche Flächeerechug: A A A, FE Flächemßzhl:, FE Flächemßzhlfuktio: A (x) x x A '(x) x f (x); ;

4 mthphys-olie Itegrlrechug Ergeis Alle Flächemßzhle der Fläche uterhl der Grphe im Itervll 0; x häge eideutig vo der oere Itervllgreze : Flächemßzhlfuktio A(x). i Mithilfe der Flächemßzhlfuktio köe u uch Fläche im Itervll x ute ; x erechet werde. oe Beispiele: Verschieug der utere Greze Utere Fläche x ute Oere Fläche x oe Fläche x ute x oe 0 A(x ) A() ute 0 0 A(x ) A() oe A (x) A (x ) A (x ) R oe ute Schreiweise: oe A (x) A (x ) A (x ) x R oe ute xute x Utere Fläche x ute Oere Fläche x oe Fläche x ute x oe 0 A(x ) A() ute 0 0 A(x ) A() oe, 0 A (x) A (x ) A (x ) T oe ute,, Schreiweise: xoe A T(x) A (x oe ) A (x ute ) x, xute

5 mthphys-olie Itegrlrechug Utere Fläche x ute Oere Fläche x oe Fläche x ute x oe 0 A(x ) A() ute 0 0 A(x ) A() oe, 0 A (x) A (x ) A (x ) T oe ute,, Schreiweise: A T(x) A (x oe ) A (x ute ) x x,, M sgt: Flächeihlt des Flächestücks uterhl des Grphe G f im Itervll ;. Es gilt: Gegee sei eie uf ; defiierte stetige Fuktio f mit f(x) 0. D existiert eie uf ; differezierre Flächemßzhlefuktio A(x) mit der Eigeschft A'(x) f(x) i i

6 mthphys-olie Itegrlrechug. Die Stmmfuktio Defiitio Jede im Itervll ; differezierre Fuktio F mit der Eigeschft F'(x) f(x) heißt Stmmfuktio der Fuktio f i ;. Stz () Ist F Stmmfuktio vo f uf [ ; ], so heißt f itegrierr i diesem Itervll. () Ist die Fuktio F(x) Stmmfuktio vo f uf [;], so ist uch die Fuktio G(x) F(x) k k IR eie Stmmfuktio, de G'(x) F'(x) f(x). Bezeichuge Die Mege ller Stmmfuktioe eier Fuktio f wird mit f(x)dx ezeichet. M et f(x)dx ds uestimmte Itegrl vo f. Itegrlzeiche, geleitet vo f(x): Itegrdefuktio x: Itegrtiosvrile Stz Potezfuktioe vom Typ fuktioe. f(x) x sowie gzrtiole Fuktioe esitze Stmm- f(x) x F(x) x (vgl. Merkhilfe Seite 7) Itegrtiosregel für uestimmte Itegrle () Ei kostter Fktor k vor ds Itegrl gezoge werde c f(x)dx c f(x)dx für lle c IR () Ds uestimmte Itegrl eier Summe vo Fuktioe ist gleich der Summe der uestimmte Itegrle der Fuktioe. f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx () Alle Stmmfuktioe eier Fuktio f uterscheide sich ur durch eie dditive Kostte. f(x)dx F(x) k k IR

7 mthphys-olie Itegrlrechug Beispiele Bilde Sie jeweils die Mege der Stmmfuktioe ud zeiche Sie eiige Grphe. ) ) f(x) x x f(x) x x ; Lösug vo ) ; F(x) x x dx x dx x dx dx Lösug vo ) F(x) x xdx x x xk x x k k x k x x x k Grphe vo F Grphe vo F k = k = k = 0 k = - k = - k = - k = k = k = 0 k = - k = - k = - Aufge Welche Stmmfuktio F i der Fuktio f i ht die gegeee Eigeschft? ) f(x) x x ; G F läuft durch de Pukt A(/). [k ] ) f (x) 8x x x; G F ht im Tiefpukt die wgrechte Tgete y. [k ] c) f (x) x x 8; G F ht im Hochpukt die wgrechte Tgete y. [k ] d) ; G F ht die Wedetgete t W (x) 9x. [k ] f(x) x x

8 mthphys-olie Itegrlrechug Lösug zu ) Stmmfuktio: Bedigug eisetze: F(x) x x dx x x xk AGF F() k k Lösug zu ) Stmmfuktio: F (x) 8x x x dxx x xk Extremstelle: F'(x) 0 f(x) 0 8x x x0 x x x 0 Nullstelleedigug: x 0 x x0 x / ( ) Tiefpukt 0/ eisetze: F(0) k keie weitere Lösug Lösug zu c) Stmmfuktio: F (x) x x8 dx x x 8xk Extremstelle: F'(x) 0 f(x) 0 Nullstelleedigug: x x80 x x 0 x x 0 x ; x Art der Extremlstelle: F'(x) f'(x) x ; F '( ) 0 Tiefpukt F '() 0 Hochpukt Hochpukt / eisetze: F () 8 k k Lösug zu d) Stmmfuktio: F (x) x x dx x x x k Wedestelle: F ''(x) 0 f '(x) 0 x 0 xw d Nullstelle mit VZW. Wedepukt liegt uf der Wedetgete: Wedepukt / eisetze: y t ( ) 9 ; F( ) ( ) k k W W

9 mthphys-olie Itegrlrechug Flächeerechuge. Fläche zwische Grph der Fuktio f ud der Stz Ist F Stmmfuktio vo f mit f(x) 0 uf [; ], so lässt sich die Flächemßzhl A der Fläche zwische der ud dem Grphe vo f im Itervll [ ; ] durch A F() F() estimme. Es wird eie estimmte Itegrtio durchgeführt. Schreiweise: vgl. Merkhilfe A f(x) dx [F(x)] F() F() Sprechweise Fläche mit dem Flächeihlt A uter dem Grphe vo f = Itegrl der Fuktio f zwische de Greze ud = oere Greze mius utere Greze Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x, x 0;. 0 Der Grph vo f, die ud die Gerde x ud x schließe ei Flächestück ei. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche A. Fläche: xoe A f(x) dx x dx 0 xute Bestimmug der Stmmfuktio ud Eisetze der Greze: x 8 9 A x Der Flächeihlt wird i Flächeeiheite (FE) gegee. 7

10 mthphys-olie Itegrlrechug Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x x x (x ) (x ), x IR. Der Grph vo f ud die schließe ei Flächestück ei. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche A. Stmmfuktio: ; F(x) x x k Teilfläche im Itervll f(x) 0 : 0; ud A x x dx F() F(0) 0 F 8 E Teilfläche im Itervll ; 0 ud f(x) 0 : 0 A * x x dx F(0) F( ) 0 8 Wege der Puksymmetrie vo G f müsse die Flächemßzhle der eide Teilfläche gleich sei: A A A A FE Ergeis Bei Fläche, die uterhl der liege, ist der Wert der Itegrtio egtiv. Deshl wird der Betrg des Itegrls verwedet. 8

11 mthphys-olie Itegrlrechug Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x 7x x x x, x IR. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche, de der Grph vo f mit der eischließt. Der Grph vo f ud die schließe mehrere Flächestücke ei, die oerhl ud uterhl der liege. Der Flächeihlt der Gesmtfläche wird ls Summe der Flächeihlte der Teilfläche erechet. Ages A A ges A f(x) dx f(x) dx Stmmfuktio: x 7x F(x) x k Flächeihlt. Teilfläche: A F() F( ) Flächeihlt. Teilfläche: A F() F() Flächeihlt Gesmtfläche: Ages A A 7 8 Merke Der Flächeihlt der Gesmtfläche zwische dem Grph vo f ud der ist die Summe der Flächeihlte der Eizelfläche, die sich jeweils zwische zwei echrte Nullstelle x, x,. mit Vorzeichewechsel ilde lsse. x x x x xi Ages f(x)dx f(x)dx f(x)dx... f(x)dx f(x)dx x x x i x xi 9

12 mthphys-olie Itegrlrechug Itegrtiosregel für estimmte Itegrle () Fktorregel: () Summeregel: () Itervlldditivität: () Vertuschug der Itegrtiosgreze: cf(x) dx c f(x) dx (f(x) g(x)) dx f(x) dx g(x) dx c c f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx. Fläche zwische de Grphe zweier Fuktioe Beispiel Gegee sid die Fuktioe f ud g mit f(x) x x ud Die Grphe vo f ud g schließe ei Flächestück ei. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche A. Bestimmug der Schittstelle: f g f(x) g(x) x x x x g(x) x x, x IR. I die Nullform rige: f(x) g(x) 0 x 0x8 0 Lösuge estimme: x / x 0 x ; ; Im Folgede werde die eizele Fläche uter de Grphe vo f ud vo g üer dem Itervll ; durch Itegrtio estimmt. Die utere Greze ist die Schittstelle x, die oere Greze die Schittstelle x mit x x 0

13 mthphys-olie Itegrlrechug g A f(x) dx x x dx f x x x A g(x) dx x x dx x x x Differez us de Flächeihlte der Teilfläche: A Af Ag 9 Differezfuktio: k(x) f(x) g(x) x x x x x 0x 8 Flächeihlt uter dem Grphe vo D: A f(x) g(x) dx x 0 x 8 dx x x 8x FE

14 mthphys-olie Itegrlrechug Ergeis Flächeerechug: x x x A f(x)dx g(x)dx (f(x) g(x))dx x x x Merke Die Fläche zwische de Grphe zweier stetiger Fuktioe f ud g mit gleicher Defiitiosmege etspricht der Differez der Fläche zwische dem jeweilige Grphe ud der. Die x-werte der Schittpukte sid dei die Itegrtiosgreze. Um uhägig vo der Reihefolge der Differezildug zu werde, wird zur Berechug der Flächeihlte der Betrg verwedet: x x A f(x) g(x) dx g(x) f(x) dx x x Beispiel Gegee sid die Fuktioe f ud g mit f(x) x x ud Die Grphe vo f ud g schließe ei Flächestück ei. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche A. g(x) x x, x IR. Die Fläche zwische de Grphe f ud g leit gleich, we m eide Grphe z. B. um LE ch oe verschiet. Die Differezfuktio ist i eide Fälle idetisch. Ds heißt: Die Flächeihlte der Fläche A ud A stimme üerei. A A Differezfuktio: k(x) f(x) g(x) x x x x x 0x 8 Die Differezfuktio stimmt mit der Differezfuktio us Beispiel üerei. Flächeihlt: A A 9

15 mthphys-olie Itegrlrechug Beispiel Gegee sid die Fuktioe f ud g mit f(x) x x ud 9 x IR. Die Grphe vo f ud g schließe ei Flächestück ei. Gesucht ist der Flächeihlt der Fläche A ges = A +A., 9 g(x) x x x He die eide Grphe vo f ud g mehr ls zwei Schittpukte, so ht die Differezfuktio k(x) f(x) g(x) mehr ls zwei Nullstelle. Ds edeutet: Ds Vorzeiche der Differezfuktio wechselt städig, d eiml der Grph vo f üer dem Grph vo g liegt ud im ächste Itervll liegt umgekehrt der Grph vo g üer dem Grph vo f. Bestimmug der Schittstelle: f gf(x) g(x) x x x x x 9 9 I die Nullform rige: 0 f(x) g(x) 0 x x x 0 Lösuge der Gleichug. Grdes estimme: Durch Rte: x ; Polyomdivisio ohe Rest liefert: p(x) x x Lösuge vo p(x) 0 : x ; x Bestimmug der Flächemßzhle: ges A A A f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx Differezfuktio: k(x) f(x) g(x) 0 k(x) x x x

16 mthphys-olie Itegrlrechug Stmmfuktio: 0 x x x 0 K(x) k(x) dx x x x dx x c Flächeihlt. Teilfläche: A x x x 0x 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 7 7 Flächeihlt. Teilfläche: A x x x 0x Flächeihlt der gesmte Fläche: Ages A A Merke Der Flächeihlt der Gesmtfläche zwische dem Grph vo f ud dem Grph vo g ist die Summe der Flächeihlte der Eizelfläche, die sich jeweils zwische zwei echrte Schittstelle x, x,. ilde lsse. ges x x x A f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx... f(x) g(x) dx x x x x i i xi f(x) g(x) dx

17 mthphys-olie Itegrlrechug Stmmfuktioe gerochertioler Fuktioe Fuktiostyp Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x, woei 0, IR \ {0}.. F(x) x k D gilt für die Stmmfuktio: Beispiel F(x) x k x k ) f(x) x, ), f(x) x F(x) x k x k Fuktiostyp Gegee ist die Fuktio f mit woei xir \ {0}, IN\ {}, IR \ {0}. D gilt für die Stmmfuktio: f(x) x x () F(x) x k x k k x Beispiel ) f(x) x x, F(x) x k x k k 8 x, ) f(x) x x, F(x) x k x k k x

18 mthphys-olie Itegrlrechug Fuktiostyp Gegee ist die Fuktio f mit f(x), woei x IR\ {0}. x D gilt für die Stmmfuktio: F(x) l x k Gegee ist die Fuktio f mit f(x) x, woei x IR\{0}, IR\{0}. F(x) l x k D gilt für die Stmmfuktio: Beispiel ) f(x) x F(x) dx l x k, x ) f(x), x F(x) dx l x k x Fuktiostyp x x c Gegee ist die Fuktio f mit f(x), woei x IR\ {0}. x D gilt für die Stmmfuktio: x xc c x F(x) dx x dx x c l x k x x Beispiel ) ) f(x) f(x) x x x x x F(x) dx x dx x x l x k x x, x x, x x x F(x) dx dx x l x k x x x x

19 mthphys-olie Itegrlrechug Fuktiostyp Gegee ist die Fuktio f mit D gilt für die Stmmfuktio: f(x) x x c x x x c c F(x) dx x dx x x x ()x (c) l xk, woei xir\{},ir\{0};,c IR. Beispiel ) f(x) x x x, x x x x 9 F(x) dx x dx x x 9l x k Fuktiostyp Gegee ist die Fuktio f mit v'(x) f(x), woei v(x) 0. v(x) v'(x) F(x) dx l v(x) k v(x) D gilt für die Stmmfuktio: Beispiel x ) f(x) x x x ) f(x) x x, x x x F(x) dx l x x k, x x F(x) dx dx l x x k x x x x 7

20 mthphys-olie Itegrlrechug Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug Defiitio Gegee ist eie uf dem Itervll [ ; ] stetige Fuktio f. D heißt x J(x) = ò f(t) dt Itegrlfuktio vo f mit der feste utere Greze ud der vrile oere Greze x. Diese Fuktio ordet jedem x de Wert des estimmte Itegrls vo f mit der feste utere Greze ud der vrile oere Greze x zu. 7 x 0 7 x 0 h Fläche F(x) Grph vo f Fläche F(x+h) Grph vo f Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug f sei eie uf dem Itervll [ ; ] stetige Fuktio. D ist jede Itegrlfuktio D gilt: () J' (x) f(x) mit eier uf dem Itervll [; ] stetige Fuktio f. () J (x) F(x) F() Ds edeutet: Die Aleitug der Itegrlfuktio eier stetige Itegrdefuktio ist die Itegrdefuktio selst. Ds edeutet, dss Differetitio ud Itegrtio umgekehrte Recheopertioe sid oder dss sich Differetitio ud Itegrtio ufhee. 8

21 mthphys-olie Itegrlrechug Beweis Differezfläche mit eieschrieeem Rechteck Differezfläche mit eieschrieeem Rechteck 7 x 0 x 0 h 7 x 0 x 0 h f x 0 h fx Fläche F(x+h) - F(x) Grph vo f kleies Rechteck Fläche F(x+h) - F(x) Grph vo f großes Rechteck Es gilt: Für sehr kleie h-werte ist der Flächeihlt des kleie Rechtecks kleier oder gleich dem ttsächliche Flächeihlt uter dem Grphe vo f, dieser ist kleier oder gleich dem Flächeihlt des große Rechtecks. Aschätzug: f(x 0) hj (x0 h) J (x 0) f(x0 h) h Geteilt durch h 0 : J(x 0 h) J(x) 0 f(x 0) f(x0 h) h J(x h) J(x) h 0 0 Limesetrchtug: lim f(x ) lim lim f(x h) 0 0 h0 h0 h0 f(x 0) J' (x 0) f(x 0) Aus der Gleichheit vo liker ud rechter Seite folgt: J' (x 0) f(x 0) Für elieiges xî [ ; ] gilt: J' (x) f(x) 9

22 mthphys-olie Itegrlrechug Aufge: Gegee sid die Fuktioe f(x) x x ud x J(x) f(t) dt. ) Bereche Sie die Nullstelle ud de Extrempukt vo f. ) Bestimme Sie vo F ohe Itegrtio mit Hilfe der Aufge ) die Aszissewerte der Extrempukte ud des Wedepuktes. c) Bereche Sie u F durch Ausführe der Itegrtio. d) Bereche Sie die Schittpukte der Grphe vo f ud J. e) Zeiche Sie eide Grphe i ei krtesisches Koorditesystem für x. f) Bereche Sie ds kleiere vo eide Grphe eigeschlossee Flächestück. Lösug vo ) f(x) 0 x x 0 x x 0 x 0; x ; f'(x) x; f '(x) 0 x 0 xs ; ys f(x S) Hochpukt HP /, d der Grph vo f eie ch ute geöffete Prel ist. 0 Lösug vo ) Tiefpukt vo J: x 0; Hochpukt vo J: x ; Wedepukt vo F: x Teilufge c) x J(x) t t dt x x 8 0 J(0) 0 ; Tiefpukt TP(0 / 0) J() ; Hochpukt HP( / ) J() ; Wedepukt WP( / ) Teilufge d) f(x) J(x) x x x x x x x 0 x x x 0 Lösuge: x 0; x ; x ; 0

23 mthphys-olie Itegrlrechug Teilufge e) Teilufge f) A x x x dx x x x 0,

24 mthphys-olie Itegrlrechug Vertiefug des Itegrlegriffs Die Itegrlrechug ht ds Ziel, de Flächeihlt krummliig egrezter Flächestücke zu ereche. Bei der äherugsweise Berechug der Fläche uter Polyomfuktioe durch Oer- ud Utersumme trete Summe vo Poteze ufeiderfolgeder türlicher Zhle uf.. Potezsumme.. Die Summeformel vo Guß Crl Friedrich Guß (Deutscher Mthemtiker, 777 is 8) formulierte die folgede Formel für eie Potezsumme: k... k ( ) Der Üerlieferug ch soll Guß die Aufge, die erste 00 Zhle zu ddiere, ereits i der Grudschule gelöst he. Guß üerlegte sich folgedes: 00 k k Guß schrie die Summe uf ud druter ochmls i umgekehrter Reihefolge: Addiert m jeweils eie Splte, so ergit sich immer die Summe 0, isgesmt sid es 00 Splte k 00 0 k 00 k k Verllgemeierug: 00 k 00 k k... () () () k ( ) ( ) ( )... Ohe Verküpfugszeiche:... Addiert m jeweils eie Splte, so ergit sich immer die Summe, isgesmt sid es Splte. () k () k get der kleie Guß k k

25 mthphys-olie Itegrlrechug Beweis durch Iduktio Vors.: Sei : D ist ( ) k richtig. k Iduktioshme: Sei : Schluss vo uf Mit der Iduktioshme gilt: ( ) k ist richtig für ei fest gewähltes. k : k... () () k k k k k Schlussfolgerug: We die Formel für ei estimmtes IN gilt, d gilt sie uch für ds ächste, lso für, usw., für ds üerächste, lso.. Weitere Potezsumme Die Summeformel folgeder Potezsumme köe icht so eifch wie eim kleie Guß gefude werde. k () () k... () k () k... () k 0 k... () 0 Der Beweis erfolgt jeweils durch vollstädige Iduktio.

26 mthphys-olie Itegrlrechug. Die Streifemethode.. Ds Riem-Itegrl Gegee ist eie Fuktio f mit dem Fuktiosterm f(x), woei x ;. Die gesuchte Fläche uter dem Grphe vo f wird mithilfe vo elemetr zu erechede Flächeihlte vo Rechtecke geähert: Streifemethode Hierfür wählt m eieschrieee Rechtecke (Utersumme) ud umeschrieee Rechtecke (Oersumme) so, dss der Grph der Fuktio f zwische ihe liegt. Dzu wird ds Itervll ; i gleich große Teilitervlle zerlegt mit der Breite Δ x. Teilpukte der Zerlegug: x i Δ xi i; x i Δ x (i) (i) ; Bei eier im Itervll ; streg mooto steigede Fuktio f liegt der kleiste Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m like Rd ud der größte Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m rechte Rd. Grph vo f mit eieschrieee Rechtecke: Grph vo f mit umeschrieee Rechtecke: Utersumme: U xf(x ) i i Oersumme: O xf(x ) i i f i i f (i ) i

27 mthphys-olie Itegrlrechug Bei eier im Itervll ; streg mooto fllede Fuktio f liegt der kleiste Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m rechte Rd ud der größte Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m like Rd. Grph vo f mit eieschrieee Rechtecke: Grph vo f mit umeschrieee Rechtecke: Utersumme: U xf(x ) i i Oersumme: O xf(x ) i i f (i ) i f i i Durch schrittweises Erhöhe der Azhl der Rechtecke erhält m eie immer geuere Aäherug der Fläche uter dem Grphe. Die Berechug der Grezwerte vo Oersumme zw. Utersumme liefert eie gemeisme Grezwert, der Riem-Itegrl get wird. lim U f(x)dx lim O

28 mthphys-olie Itegrlrechug.. Fläche uter eier Gerde Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit dem Fuktiosterm f(x) x im Itervll x ;. Gesucht ist ei llgemeier Term für die Utersumme ud für die Oersumme. 7 eieschrieee Rechtecke 7 umeschrieee Rechtecke 0 0 Jedes Teilitervll ht die Läge - Δx = - - Die Teilpukte der Zerlegug lute: xi -= + (i- ) ; xi = + i; D f im Itervll [ 0 ; ] streg mooto steigt, liegt der kleiste Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m like Rd, der größte m rechte Rd. Utersumme für die Rechtecke: U i i i Oersumme für die Rechtecke: Für = 0 gilt: i S x f x f (i ) SO x f x f i i i i SU f (i ) 0... ( ) ( )... ( ) ( ) i i Wert der Potezsumme: i () i Eisetze: ( ) SU

29 mthphys-olie Itegrlrechug Für eie sehr feie Uterteilug: lim SU lim SO f i... ( ) i... ( ) i i Wert der Potezsumme: i () i Eisetze: ( ) SO Für eie sehr feie Uterteilug: lim SO lim Speziell für = : S U ; S O ; Zum Vergleich Berechug der Dreiecksfläche direkt: A f().. Fläche uter eiem steigede Grphe Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit dem Fuktiosterm f(x) x im Itervll x ;. Gesucht ist ei llgemeier Term für die Utersumme ud für die Oersumme. eieschrieee Rechtecke umeschrieee Rechtecke 0 0 7

30 mthphys-olie Itegrlrechug Jedes Teilitervll ht die Läge - Δx = - - Die Teilpukte der Zerlegug lute: xi -= + (i- ) ; xi = + i; D f im Itervll [ 0 ; ] streg mooto steigt, liegt der kleiste Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m like Rd, der größte m rechte Rd. Utersumme für die Rechtecke: U i i i Oersumme für die Rechtecke: S x f x f (i ) SO x f x f i i i i Für = 0 gilt: SU f (i ) 0... ( ) ( ) i... ( ) ( ) (i) i Wert der Potezsumme: i (i) () () ( ) ( ) Eisetze: SU 8 8 Für eie sehr feie Uterteilug: lim SU lim 8 9 SO f i... ( ) i... ( ) (i) i Wert der Potezsumme: i (i) () () Eisetze: ( ) ( ) SO 8 8 Für eie sehr feie Uterteilug: lim SO lim 8 9 Speziell für = : S U ; S O ;

31 mthphys-olie Itegrlrechug.. Fläche uter eiem fllede Grphe Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit dem Fuktiosterm f(x) x im Itervll x ;. Gesucht ist ei Term für die Utersumme ud für die Oersumme ei eier Uterteilug vo =. eieschrieee Rechtecke umeschrieee Rechtecke 0 0 Jedes Teilitervll ht die Läge - Δx = - - Die Teilpukte der Zerlegug lute: xi -= + (i- ) ; xi = + i; D f im Itervll [ 0 ; ] streg mooto fällt, liegt der kleiste Fuktioswert eies Teilitervlls jeweils m rechte Rd, der größte m like Rd. Utersumme für die Rechtecke: 9 SU x f x f i i i i Oersumme für die Rechtecke: Kokrete Werte: SU f() f() f() f() O i i i S x f x f (i ) 9,0 SO f() f() f() f()

32 mthphys-olie Itegrlrechug Mittelwertstz der Itegrlrechug Stz Gegee ist eie stetige Fuktio f mit xî [ ; ]. Die Fuktio sei itegrierr ud es gelte etweder f(x) ³ 0 oder f(x) 0. Üer die Berechug der Fläche A zwische dem Grphe vo f ud der lässt sich der Mittelwert der Fuktioswerte y m der Fuktio f im Itervll xî [ ; ] ereche. Es gilt: y m = - ò f(x) dx Beispiel Gegee ist die Fuktio f mit f(x) = + x x ³ 0. Für die Fläche uter dem Grphe vo f gilt: A = ò f(x) dx Auf dem Itervll [ ; ] lässt sich ei Rechteck mit gleichem Flächeihlt errichte. Die Höhe h etspricht dei dem Mittelwert y m der Fuktioswerte: A = (-) h = (-) y m y m 0 Gleichsetze ud uflöse: ( - ) y = ò f(x) dx m y m = f(x) dx - ò. Beispiel Ei Wechselstrom ht d die effektive Stromstärke I eff, we er i eiem Stromkreis die gleiche Wärmeleistug erzeugt wie ei Gleichstrom der Stärke I = I eff. Ei stromdurchflosseer ohmscher Widerstd R = 00Ω git die mittlere Wärmeleistug P. Gegee ist die Wechselspug U(t) U0 si( t) mit U0 = 00 V ; f = 0Hz. Also gilt: U(t) 00 V si(00 Hz t) Stromstärke I ud Spug U he die gleiche Phselge, ds heißt für die Stromstärke I(t) I0 si( t). Amplitude erechet üer ds ohmsche Gesetz: U U 00 V R I 0,00 A 00mA I R ; I(t) 00mA si(00 Hz t)

33 mthphys-olie Itegrlrechug Leistug: P(t) U(t) I(t) U si( t) I si( t) P si( t) P_ i W t-p-digrmm I i ma Umgesetzte Wärme Leistug P(t) i W Stromstärke I(t) i ma. Achse für I(t) t i ms Periodeduer: T 0,00s 0ms f 0Hz Mittlere Leistug: T T T T P0 P P(t) dt P si( t) dt P si( t) dt cos( t) dt T T T T T P P P t si( t) T si( T) si(0) T T P0 U0 I0 00 V 0,00 A Kokret: P 0W. Ds etspricht dem Mittelwert der Leistugsmplitude. 0 P 0 W 0 V A P RIeff Ieff ma R 00 V 00 A P 0 V A P Ueff Ieff Ueff V I 0,A eff