Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11

Transkript

1 Mrek Kubic, Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig gebliebee Kote i de Prüfer-Code eifügt ud d so lge wiederholt, bis ur och zwei Kote übrig sid. (b) Um de Prüfer-Code,,,, i eie Grphe zurückzuführe k m de Algorithmus us Steger, Diskrete Strukture, Bd, Kpitel. verwede. Dzu mcht m sich bewusst, dss die Kotemege die Kote,,,,,, 7 ethält (Läge des Prüfer-Codes + ). Nu führt m die Schleifeschritte durch: ) i = : t = s = S = {} {, } b) i = : t = s = S = {, } {, } c) i = : t = s = S = {,, } {, } d) i = : t = s = S = {,,, } {, } e) i = : t = s = S = {,,,, } {, } f) Rest: {, 7} Somit wäre ds die Kte des Grphe. Dieser Grph k u kostruiert werde:

2 Mrek Kubic, Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe 7 (c) M erket dss der Prüfer-Code eie Pfd beschreibt dr, dss jeder Kote ur ei ml im Code vorkommt. Ds liegt dr, dss ei Pfd ur Kote vom Grd (Edpukte, zwei Stück) oder Kote vom Grd ethält (Mittelstücke, Läge des Pfdes - Stück). Die Kote vom Grd werde im Prüfer-Code gr icht ufgeomme, d bei der Kostruktio des Prüfer-Codes prizipiell ur die Kote ufgeomme werde, dee och weitere Kote häge. Die Kote vom Grd komme ur ei ml vor, de chdem eier der ihe hägede Kote etfert wurde ud sie im Prüfer-Code ufgezeichet wurde, sie ur och vom Grd sid ud somit icht och eiml i de Code ufgeomme werde. Aufgbe () () Fst--regulär, ds bedeutet, dss Kote de Grd hbe, der Rest de Grd ht. I eiem Grphe G mit Kote bedeutet ds, dss es Kote vom Grd gibt ud Kote vom Grd vier. Es gibt für diese Grphe ttsächlich ur eie Möglichkeit: Die erste, obere Prtitio besteht us vier Kote vom Grd, die logischerweise mit Kote us der utere Prtitio verbude sei müsse, somit ist jeder Kote der obere Prtitio mit de Kote us der utere Prtitio verbude. Gleichzeitig muss es zwei Kote vom Grd vier gebe. I diesem Grphe sid

3 Mrek Kubic, Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe ds die Kote ud, die, d sie beide Grd hbe müsse, somit zwgsweise mit jedem Kote us der obere Mege verbude sid. Es gibt keie dere Möglichkeite die Biprtitio zulege, d die Kote vom Grd lleie i eier Prtitio sei müsse, dmit sie vier Kote zum verbide i der dere Prtitio hbe. Dieser Grph ist plr (leider icht i der Drstellug vo dot, d muss m sich die Kte die ie verlufe ußerum vorstelle, ws uf jede Fll möglich ist) d ch dem Stz vo Kurtowski der vorliegede K, weder eie Uterteilug des K, ls Teilgrphe ethält (d eie Prtitio ur Kote ethält ud somit so ei Teilgrph icht möglich ist) och eie Uterteilug des K ethält (d der Grph biprtit ist ud somit keie vollstädige Grphe K ethlte k). (b) Iduktiosbsis ist 0 =, d bewiese werde muss, dss die Aussge für lle Grphe mit gilt. D 0 = ist die Mächtigkeit der Mege A A = 0 = = B, somit ethlte A ud B jeweils zwei Kote. Der Grph ht lso Kote, dvo vom Grd zwei ud 0 vom Grd. Solch ei Grph ist trivil herzustelle, siehe Abbildug i Aufgbe.. Ntürlich k m solch eie Grphe uch plr drstelle. Bei dem Iduktiosschritt + ist A = (+) = B. Vergliche zum Fll vo komme u uf jeder Seite zwei weitere Kote hizu, isgesmt. Diese vier eue Kote werde so verbude, dss sie de Grd bekomme ud die vorherige Kote vom Grd werde zu Kote vo Grd. Die Zeichug demostriert ds für de Grphe G + wobei die lte Kote mit bezeichet sid ud die eu hizugefügte mit. Aufgbe () () Ei Grph mit = Kote, ( ) = -regulär:

4 Mrek Kubic, Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe (b) Die chromtische Zhl χ = bedeutet, dss mximl Frbe ötig sid, um eie Grphe mit Kote zu färbe. Gleichzeitig bedeutet es ber uch, dss die Kote des Grphe i Prtititioe eigeteilt werde köe. Um zu zeige, dss diese Bedigug für lle gerde N zutrifft, wird im folgede gezeigt, wie solch ei Grph kostruiert werde k. Der Bsisfll ist der Grph =, der i = Prtitioe geteilt wird: M sieht, dss dieser Grph biprtit ist ud lle Kote de Grd ( ) = hbe. Nu wird der Schritt vo zu + gemcht (d gerde sei soll, müsse immer zwei eue Kote hizugefügt werde). Dzu wird der Grph für um die zwei eu hizukommede Kote erweitert, die i eie eigee Prtitio geteilt werde. Diese hbe erstml de Grd ull, müsse lso och mit de lle Kote des lte Grphe verbude werde, ddurch hbe sie Grd (ws der Vorrussetzug etspricht, de (( + ) ) =. Durch die eue Kte pro Kote des lte Grphe steigt uch dere Ktezhl uf, somit hbe lle + Kote des eue, erweiterte Grphe Grd ud erfülle die Bedigug dss der Grph regulär ist ud der Grd der Kte gleich der Azhl der Kote mius Azhl der Kote ist. Zusätzlich ist uch die Azhl der Prtitioe immer gleich d für jede Schritt, der zwei Kote dem Grphe hizufügt, eie eue Prtitio etsteht. Dies bedeutet uch, dss uch llgemei χ = gilt, d dieser eue Grph uch wieder um zwei weitere Kote erweitert werde k uter Beibehltug der geforderte Eigeschfte.

5 Mrek Kubic, Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Aufgbe () Die Grdfolge des resultierede Stmmbumes ist, ( ),. Ds erklärt sich dri, wie die Tiefesuche fuktioiert: m geht vo eiem Strtpukt us ud geht vo dort zu dem Kote mit der kleiste Zhl. Somit ist der Grd des Strtpuktes. Nu läuft der Algorithmus vo Kote zu dem jeweils kleiste ächste mögliche Kote, wobei der Grd jedes Kote uf diesem Weg beträgt, d der Kote eiml betrete ud eiml verlsse wird. Auf diese Weise k m im biprtite Grphe jede Kote der Reihe ch betrete idem m vo eier zur dere Prtitio läuft ohe ds Vorgehe jemls zu äder (ds Verhlte wird ur bei Sckgsse geädert ud bei dem Verfhre gibt es ur m Ede, beim letzte Kote eie Sckgsse). Ddurch wird jeder Kote geu eiml besucht ud m kommt schließlich zu eiem Kote (der i der jeweils dere Prtitio liegt zu der vo der m gestrtet ist). D m diese Kote ur betritt, ber icht verlässt, ht er Grd. Weitere Uterscheiduge sid icht mehr ötig, d diesem Pukt lle Kote besucht worde sid ud der Spbum erstellt werde kote. Somit ist die Läge des Spbumes des Grphe K, =, vo dee lle Kote de Grd hbe, bis uf de erste ud letzte.