SS 2017 Torsten Schreiber

Transkript

1 SS 07 Torste Schreier

2 e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste Schritt durch Umformuge so viele ls möglich i eie Zeile oder Splte der Mtri erzeuge. Aschließed ewege Sie sich i dieser Zeile oder Splte vo ud ereche jeweils ds Produkt us der Kompoete wo Sie gerde stehe ud der zugehörige. Eie Adjukteist ichts deres ls eie hd der ewertete, d.h. Sie zu der Stelle, wo Sie gerde stehe, die Zeile ud die Splte. ddiere Sie die Koordite der Positio. Ist ds Ergeis eie gerde Zhl, so ist die Bewertug ud im Flle eier ugerde Zhl ist sie. Jetzt köe Sie de Wert der durch die Streichug der Zeile/ Splte etstdee estimme ud erhlte durch Multipliktio der Bewertug ud der etermite de Wert der. Nchdem wir schließed jede etstde Adjukte mit dem dzugehörede der Mtri multipliziert he ud d lle diese Zhle etsteht utomtisch der Wert der etermite. Für Mtrize mit eiem Formt vo größer ls ist dies Verfhre sehr recheitesiv, so dss wir de Wert der etermite uch ddurch erhlte, i dem Sie durch Umformuge die estimme. ie etermite ergit sich d durch ds Produkt der. Zur Lösug eier Mtrizegleichug müsse wir die sogete Mtri ereche. Bei der schließede Multipliktio müsse Sie druf chte vo welcher Seite Sie die störede Mtri eseitige wolle, d diese Art der Multipliktio ist. ie iverse Mtri k ur geildet werde, we sie ist, lso eie etermitewert ht, der ugleich Null ist. ie Berechug erfolgt eeflls üer die. SS 07 Torste Schreier 0

3 Theme, die Sie ch dieser Verstltug kee sollte: Wie ist ei Gleichugssystem ufgeut? Wie k m die Lösugsmege grphisch iterpretiere? Ws ist ds Additios-/ Eisetzugs-/ Gleichsetzugsverfhre? Wie löst m ei Gleichugssystem mit dem Guß-Verfhre? Ws edeutet die Lösugsmigfltigkeit eies Gleichugssystems? Ws ist der Rg eies LGS? Ws ist ds Rgkriterium vo Foeius? Aufge ud Üuge zu de ete Theme. SS 07 Torste Schreier

4 ) Gegee ist die folgede Mtri: Für welche Zhle eistiert die iverse Mtri zu A (Begrüdug) Bestimme Sie für ud de Vektor ;; die Lösug der Gleichug mit eier Methode Ihrer Whl ) Bestimme Sie die iverse Mtri A 0 ) Bestimme Sie die Eigewerte ud uch ie Eigevektore der Mtri. A SS 07 Torste Schreier

5 Bei eiem LGS(Lieres Gleichugssytem) müsse stets lle m Gleichuge mit ihre Uekte gleichzeitig erfüllt sei. ie llgemeie Form lutet: m m m m m-gleichuge -Uekte Eie LGS esteht somit us folgede Kompoete: Koeffizietemtri Lösugsvektor ( ) R A m, ij T m m, (,..., m ) R L r r r { R A } Suchvektor T ( ) R,...,, SS 07 Torste Schreier

6 Allgemeie Eigeschfte eies LGS: Zwei Gleichugssysteme sid äquivlet, we ihre Lösugsmege idetisch sid. Ist der Vektor 0, d ist ds Gleichugssystem ihomoge, dereflls r 0 homoge. Grphische Iterprettio: I diesem Fll wird der Schittpukt zweier Gerde estimmt ud i der Form ; gegee. Als Verfhre iete sich die folgede : Eisetzugsverfhre Gleichsetzugsverfhre Additiosverfhre r ( ) Hdelt es sich um Gleichuge mit Uekte, so wird der Schittpukt dreier Eee gesucht. Sid es Gleichuge mit Uekte, so hdelt es sich um die Schittgerde zweier Eee. ( ) T SS 07 Torste Schreier

7 Eistiert ei eideutiglösreslgs estehed us Gleichuge mit Uekte, so k der Lösugsvektor mittels Crmer-Verfhre erechet werde. ie Lösugsmege eschreit ufgrud der Eideutigkeit stets eie Schittpukt. r r r Es gilt: T A ( dj( A) ) ;det A 0 det A Methodik: ik k ; k ;;...; Bestimmug der etermite der Koeffizietemtri. Ersetzug der k-te Splte durch de Lösugsvektor. Berechug der etermite der eu etstdee Mtri. urch Quotiete-Bildug erhält m die etsprechede Koordite des Lösugsvektors. Für > (mid. Gleichuge) ist der Recheufwd ufgrud der etermiteerechug zu groß um die Crmersche Regel zuwede. SS 07 Torste Schreier

8 WS 0/ Torste Schreier Beispiel: 0 0 ) ( 0 7 0) ( ) 0 ( det regulär A 7 0 det A 7 0 det A 8 0 det A r

9 ) Löse Sie ds folgede Gleichugssystem, i dem Sie isgesmt lle Verfhre wede. ) y 8 y ) y 0, 0, 0, y c) y y ) Bestimme Sie die Lösug des folgede LGS mittels der Crmersche Regel. y z y z y z WS 0/ Torste Schreier 7