Mathe Basics für's Studium

Transkript

1 Mthe Bsics für's Studiu Grudlge zur Mthetikvorlesug eies etrieswirtschftliche Studius vo Stef Schidt Versio: J.

2 Ihltsverzeichis Vorll... Ws ietet dieses Skript?... Für we ist dieses Skript?... TEIL Bsic Bsics.... Defiitio der Zhleege.... Recheopertioe werde i folgeder Reihefolge ufgelöst.... Allgeeie Recheregel für Multipliktio ud Divisio... Bruchrechug Recheregel für Brüche: Üuge zu Bruchrechug.... Lösuge zu Bruchrechug... Poteze... Recheregel für Poteze..... Bei gleicher Bsis..... Bei gleiche Epoete.... Sostige Regel..... Negtiver Epoet..... Brüche i Epoete ud Wurzel.... Üersicht ller Potezregel.... Üuge zu Poteze.... Lösuge zu Poteze... Rtiole Epoete ud Wurzel Soderfll egtive Zhl uter der Wurzel we gerde ist we ugerde ist... 9 Poloe.... Poloe -ter Ordug..... Additio/Sutrktio..... Multipliktio... Bioische Forel (Poloe. Grdes)... Bestiug vo Nullstelle (Poloe.. Grdes).... Poloe. Grdes.... Poloe. Grdes..... Soderfll :..... Soderfll :..... Norlfll..... Die qudrtische Ergäzug..... pq-forel..... Üuge zu pq-forel:..... Lösuge zu pq-forel:... 8 Geroche rtiole Ausdrücke Divisio Multipliktio Additio/Sutrktio Additio/Sutrktio it idetische Neer Additio/Sutrktio it verschiedee Neer... 9 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

3 9 Liere Ugleichuge Ugleichuge ohe Flluterscheidug Ugleichuge it Flluterscheidug Ugleichuge it Betrg Ugleichuge ohe Betrg... Polodivisio (Poloe. Grdes).... Divisio ohe Polo.... Wru Polodivisio?.... Poloe dividiere.... Zusefssug Poloe. Grdes.... Poloe. Grdes... Der solute Betrg... 8 TEIL Suezeiche.... Sue it dditive Kostte.... Sue it ultipliktive Kostte.... Suezerlegug... Logrithus.... Log, lg oder Logrithus zur Bsis.... Logrithus zu elieiger Bsis.... Der türliche Logrithus l ud die Zhl e... Folge ud Reihe.... Folge..... Die rithetische Folge..... Die geoetrische Folge.... Reihe Die rithetische Reihe Die geoetrische Reihe... 9 Zise.... Aufzisugsfktor, Azisugsfktor.... Die wichtigste Zisforel... Rete.... Nchschüssige Rete.... Vorschüssige Rete... Differetilrechug, Aleitug.... Berechug der Aleitug..... Multipliktio it Kostte..... Additio/Sutrktio..... Produktregel..... Quotieteregel..... Sostige Aleitugsregel Etrewerte Miiu, Miu..... Sttelpukt..... Wedepukt.... Verluf der Aleitugsgrphe... Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

4 Mthe Bsics für's Studiu Vorll Dieses Skript ist us de VWA Mthe Brückekurs ud der VWA Mthevorlesug herus etstde. Zuächst he ich ur eie hdschriftliche Krkeleie i für ich les- ud chvollziehre For rige wolle. Bis d dieses Dokuet drus gewchse ist! Wichtig wr ir dei, die i ülicher Litertur oft sehr thetische Erkläruge ud Defiitioe i eie - für ich ls Mthe- Lie - verstädliche ud chvollziehre For zu rige. Die ktuellste Versio dieses Dokuets fidet uter: Feedck oder Optiierugsvorschläge ehe ich gere etgege uter: [email protected] Ws ietet dieses Skript? Ds Skript esteht i Wesetliche us zwei Teile: I erste Teil wird der Ihlt des Mthetikuterrichts der gsile Oerstufe ufgereitet - dies etspricht i Groe de Verstltuge eies Mtheufukurses zw. Mtherückekurses. Dei wurde isesodere uf eie detillierte Erklärug des Stoffes wertgelegt, die i de gete Verstltuge uter de oftls vorherrschede Zeitdruck icht öglich ist. Dei k es Üerscheiduge it de Stoff der Vorlesug gee (d.h. che i erste Teil ehdelte Thee sid Bestdteil des Vorlesugsstoffes ud der Klusur!) Der zweite Teil ehdelt vorwieged klusurrelevte Stoff der Mthevorlesug I der VWA, der i Brückekurs icht gedeckt wird. Es wird kei Aspruch uf Vollstädigkeit erhoe. Jedoch k dvo usgehe, dss lle relevte Grudlge für die Mthetikvorlesuge eies etrieswirtschftliche Studius erücksichtigt wurde. Alle Erkläruge sid weitgehed "uthetisch", lso speziell für Nichtthetiker gehlte ud ddurch (hoffetlich) de Lie ud Studieeisteiger verstädlicher, ls die üliche Mthetiklitertur. Es wird uch kei Aspruch uf wisseschftliche Korrektheit erhoe, doch sid die Erkläruge i Pros oft greifrer ls irgedwelche koplee Herleituge eier Forel. Die Rechewege ud Ergeisse etspreche jedeflls de "Lehruch". Für we ist dieses Skript? Also, we ich dieses Skript zu Schulzeite geht hätte, wäre ei Mthelehrer verutlich icht ir verzweifelt ;-) Als Referez, Begleitug oder Nchereitug eies Brückekurses sollte es llel gut sei! Auch für ei "orles" BWL Studiu Ui oder FH sid die ethltee Thee ch eier Erfhrug ( Seester Ui BWL) ehr ls ruchr. Zude werde vor lle i. Teil fst lle Klusurthee eies BWL Studius gedeckt (Mthe I). Die Verwedug des Skripts eschräkt sich dech icht ur uf die Studiegäge der VWA, woei türlich esoders die für die VWA relevte Mthethee gedeckt werde.

5 TEIL Mthe Aufukurs (ethält uch klusurrelevte Stoff) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

6 Bsic Bsics. Defiitio der Zhleege Die Zhleege sid für ds Studiu icht weiter relevt. Jedoch sollte eie ugefähre Vorstellug he, ws die eizele Zhleege per Defiitio ilde. Mche Lösugsege oder Lösugsitervlle (Itervll Zhleereich, z.b. - is ) ediee sich der Akürzuge estiter Zhleege (eist Q oder R). N (türliche Zhle lle gze positive Zhle ohe Brüche) N (etspricht N iklusive der ) Z (gze Zhle türliche Zhle eischließlich ud egtive Zhle) Q (rtiole Zhle gze Zhle ud Brüche, lso edliche oder periodische Dezilzhle) R (reelle Zhle rtiole Zhle eischließlich irrtiole Zhle, lso der geste Zhlestrhl) (irrtiole Zhle: z.b. π, e Eulersche Zhl oder ) Eie tpische Lösugsege eier Fuktio wäre z.b. L Q / (ws edeutet, dß lle rtiole Zhle ußer der i die Fuktio eigesetzt werde köe). Recheopertioe werde i folgeder Reihefolge ufgelöst We Kler vorhde sid: ) Kler uflöse (vo ie ch uße) Ierhl vo Kler oder we keie Kler vorhde sid: ) Poteze usreche, Wurzel ziehe ) Multipliktio, Divisio ) Additio, Sutrktio Eselsrücke: Puktrechug (Multipliktio, Divisio) vor Strichrechug (Additio, Sutrktio)! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

7 . Allgeeie Recheregel für Multipliktio ud Divisio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * uzulässig d icht defiiert!** Ist ei Produkt gleich Null ( ) so ist idestes ei Fktor gleich Null! ( oder uß lso sei sost wäre ds Ergeis icht ) *Null durch eie Zhl drf teile: We ich "ichts" he, k ich "ichts" ehrere Leute verteile - sie he d lle "ichts" ekoe. **Durch Null drf icht teile: We ich eie Kuche he ud teile de durch "iede", üsste sich der Kuche i "ichts" uflöse. D.h. ich k zwr de Kuche viele oder weige Leute verteile, er ee icht "iede", de irgedwo uss der Kuche j leie (ufesse gilt icht! ;-). Beispiele für Vorzeicheregelug ei Additio ud Sutrktio: ( 8) 8 (( ) ( )) ( ) Beispiele für Vorzeicheregelug ei Multipliktio ud Divisio: ( 8) (8) ( 8) (8) 9 9 [( 9 ) ] [( ) ] ( ) ( ) 8 Bei der Multipliktio it Kler uss jeder Wert eizel usultipliziert werde! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

8 Bruchrechug Bei der Bruchrechug hdelt es sich u Divisio vo (zwei) Zhle. Dei ist ds Ergeis ier eie edliche Zhl (z.b.,8) oder eie Zhl it Periode,...). Die Zhl oerhl des Bruchstrichs wird Zähler, die Zhl uterhl des Bruchstrichs Neer get. Zähler Bedigug : Neer. Recheregel für Brüche: Erweiter: Oe ud ute (Zähler ud Neer) wird it der sele Zhl ultipliziert. Der eigetliche Wert des Bruchs ädert sich ddurch icht! Beispiel : e Bedigug :, e e 8 Kürze: Geeise Fktore i Zähler ud Neer fide ud durch diese teile. Der eigetliche Wert des Bruchs ädert sich ddurch icht! Beispiele : 8 / / oder 8 / / / / Multipliktio vo Brüche: Zähler wird it Zähler ud Neer it Neer ultipliziert. c d c d c c c (Aerkug : c k uch ls c geschriee werde) Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu

9 Divisio vo Brüche: Zwei Brüche werde dividiert ide it de Kehrwert ultipliziert. c d c d d c d c c c c c c (Aerkug : c k uch ls geschrieewerde) Additio/Sutrktio vo Brüche: ) Neer stie üerei: Neer leit estehe ud Zähler werde ddiert/sutrhiert Eselsrücke: ¼ Liter plus ¼ Liter git / Liter! Achtug! / / Niels us Sue ud Differeze kürze! ) Neer stie icht üerei: durch Erweiter oder Kürze wird ei gleicher Neer erzeugt I diese Beispiel ist es kei Zufll, dss it ud it ultipliziert wurde. We die Neer üer kreuz iteider ultipliziert, erhält älich ier eie gleiche (geeise) Neer. Noch ei Beispiel: Der erste Bruch wird it, der zweite it ud der dritte Bruch it erweitert! 9 9 Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu

10 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu. Üuge zu Bruchrechug Brüche kürze: ) ( ) ( 8 9 Brüche erweiter: 8 8 ) ( ) ( Brüche ddiere/sutrhiere: Doppelruch: ( )

11 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu. Lösuge zu Bruchrechug Brüche kürze: Multipliktio oder Divisio!) icht kürze!(ur ei ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / / / / / / / / / Brüche erweiter: ( ) ( ) : it Kehrwert ultipliziere) (Siehe Recheregel ) ( ) ( / / / /

12 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu Brüche ddiere/sutrhiere:?????????????????????????????????????????????????????? ) 8 (geeiser Neer / / / / / (hier he ich isher keie Bestätigug für ei korrektes Ergeis) Doppelruch: ( )?????????????????????????? 9 / /

13 Poteze Bei de Poteze hdelt es sich eigetlich u die Vereifchug eier Schreiweise. So wird { { { drgestellt ls, woei die Azhl der zu ultiplizierede Schritte eier Zhl i sog. Epoete drgestellt wird. Forle Schreiweise:... l Epoet Bsis Defiitioe: icht defiiert! Aerkug: hier i ich ir icht so gz sicher - eigetlich üsste doch defiiert sei? Flls jed etws weiß, itte ile! Recheregel für Poteze.. Bei gleicher Bsis Multipliktio/Divisio ( ) Beispiel: ( ) ( ) oder Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

14 Additio/Sutrktio Bei der Additio oder Sutrktio köe die Epoete uch ei gleicher Bsis icht ddiert werde! icht gleich! Auch gleicher Epoet lässt sich icht ddiere! icht gleich! I der Regel k d icht weiterreche. So leit z.b. eifch ls Edergeis stehe, d die icht weiter zuseziehe oder uflöse k... Bei gleiche Epoete Multipliktio/Divisio ( ) oder 8 Beispiel: ( ). Sostige Regel.. Negtiver Epoet Nit vo eier Zhl it eie Epoete de Kehrwert, so kehrt sich ds Vorzeiche des Epoete u: Beispiel: oder uch ugekehrt: Diese Recheregel k ei estite Aufge ützlich sei, we ur it positive oder eplizit egtive Epoete weiterreche öchte!.. Brüche i Epoete ud Wurzel Beispiel: oder: Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

15 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu. Üersicht ller Potezregel Zur essere Üersicht ud zu Nchschlge sid hier ochls lle Regel uf eier Seite ufgeführt. Epoet Bsis Multipliktio ud Divisio Gleiche Bsis: ( ) Gleicher Epoet: ( ) Additio ud Sutrktio Geht icht! icht gleich! Negtive Epoete ud Brüche Wurzel ud Brüche i Epoete Defiitioe: icht defiiert!

16 . Üuge zu Poteze ) ) ) ( ) ( ) ) ) ) 8 ) 8) 9) ) ( ) ) ) ) ( ) ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

17 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu. Lösuge zu Poteze ) ) ) ) ( ) ( ) 8 ) ) 8 8 ) 8) 9) ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) } { } { 8 8!! Kehrwert Kehrwert Kehrwert Kehrwert

18 Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu Rtiole Epoete ud Wurzel Regel: ( ) ( ) durch icht teile drf! d geht icht, Die wohl wichtigste Eigeschft vo Wurzel ist, dss die Wurzel uch ls Potez schreie k! Ddurch k für viele Rechuge die Rechewege vereifche ud die Potezgesetzte wede. Wie i de Regel eschriee it de Kehrwert vo ud schreit diese ls Potez: We üer der Wurzel ichts steht, ist ier die -te Wurzel geeit. Die -te Wurzel ist üriges ds Gleiche wie hoch ½,. Eifches Beispiel it Zhle: Sttt -te Wurzel k uch hoch de Kehrwert vo schreie. Beispiel: ( ) ( )

19 . Soderfll egtive Zhl uter der Wurzel.. we gerde ist z.b. -te Wurzel, -te, -te Wurzel, etc., k vo eier egtive Zhl keie Wurzel gezoge werde (Ergeis ergit zuidest keie reelle Zhl) ergit keie reelle Zhl! Erklärug: Bei Poteziere it gerde Epoete kot ier eie positive Zhl herus: ( ) ( ) ( ) D die Wurzelfuktio die Ukehrfuktio der Potez ist, k es ie eie egtive Zhl uter der Wurzel gee, de ius l ius git plus! (Wie sieht ist i eide Beispiele die positiv).. we ugerde ist z.b. -te Wurzel, -te, -te Wurzel, etc., k uch vo egtive Zhle die Wurzel gezoge werde, d ei der dritte Wurzel die Vorzeiche eiehlte werde. Erklärug: Bei Poteziere it ugerde Epoete kot ier ds gleiche Vorzeiche herus: 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 D die Wurzelfuktio die Ukehrfuktio der Potez ist, k es ei ugerde ur egtive Zhle ergee we der Wert uter der Wurzel uch egtiv ist, de ius l ius l ius ( l ius) git ius (gilt türlich uch für -te, -te, 9-te, Wurzel etc...). Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu

20 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu Poloe. Poloe -ter Ordug Ei Polo esteht us Vrile ud Koeffiziete. Die Vrile ethlte die Epoete (z.b. ) ud die Koeffiziete stelle die Multipliktiosfktore der Vrile dr (z.b. ). Die Vrile werde ur durch Additio/Sutrktio ud Multipliktio verküpft! Forle Schreiweise: { {... ist der höchste Epoet der i Polo uftritt Beispiele für Poloe -ter Ordug (-te Grdes): Polo -te Grdes Polo -te Grdes Die Vrile werde i.d.r. (zuidest ch Auflösug zw. Zusefssug) ch steigede Epoete sortiert (z.b. )!.. Additio/Sutrktio Die Glieder gleiche Grdes werde ddiert, zw. sutrhiert Beispiel: ( ) ( ).. Multipliktio Jedes Glied des eie Polos wird it jede Glied des dere Polos usultipliziert. Aschließed werde - wie ei der Additio/Sutrktio - Glieder gleiche Grdes zusegefsst. Beispiel: ( ) ( ) 8 Vrile Koeffiziet A dieser Stelle sei ochl esoders druf higewiese, dß Vrile it uterschiedliche Epoete (z.b. hoch, hoch, etc.) ei Verküpfug it Additio/Sutrktio icht zusezähle drf!

21 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu Bioische Forel (Poloe. Grdes) Die ioische Forel diee zur schelle Uforug vo Poloe. Grdes ud köe uch zur Bestiug vo Nullstelle ützlich sei. Auf die Herleitug soll dieser Stelle verzichtet werde, d sich ds sowieso keier ehlte k ud ds für sätliche Rechuge völlig urelevt ist. M uterscheidet geerell drei Tpe: ( ) ( ) ( ) ( ) Forel ioische. ioische Forel. ioische Forel. Beispiele: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Forel i.. Forel i.. Forel i.. u u u u u u u u

22 Bestiug vo Nullstelle (Poloe.. Grdes) Die Bestiug der Nullstelle diet dzu, de Pukt zu fide, de eie estite Fuktio durch de Nullpukt läuft. Dzu setzt geerell die gegeee Fuktio it Null gleich ud rechet die erhltee Gleichug us. Die Vorgehesweise ist dei hägig vo Grd des vorgegeee Polos. Nchfolgede Erklärug uss jetzt och icht vollstädig verstehe: Bei Poloe. Grdes (lso Fuktioe it ) ist die Nullstelle och sehr eifch durch Auflöse der Gleichug zu fide. Bei Poloe. Grdes (Fuktioe it ) ist die Bestiug it Hilfe der ioische Forel oder it der pq-forel öglich (dzu ehr i diese Kpitel). Bei Poloe. Grdes (lso Fuktioe it ) ediet sich i.d.r. eier Koitio us ioischer oder pq-forel ud Polodivisio (wird i druf folgede Kpitel ehdelt). Die Azhl der Nullstelle etspricht orlerweise der Zhl des Grdes des Polos. Fuktioe it he etspreched eie, Fuktioe it zwei ud Fuktioe it drei Nullstelle, usw.. Wie kot ds zustde? We dvo usgeht, dss z.b. uch ls schreie k, ergit sich us der Produktregel (siehe Kpitel.), dss für jedes eie eigee Nullstelle eistiert (thetisch ist ds so icht gz %ig korrekt, er es soll us ls Erklärug geüge). Beispiel: We ei Fktor der chfolgede Gleichug ist, wird ds geste Produkt. Ds edeutet, we ei eiziger Fktor ist, ist ds gleichzeitig eie Nullstelle für die geste Fuktio: Ds soll zuächst erst l zu groe Verstädis geüge. Bei der Polodivisio wird och usführlich druf eigegge.. Poloe. Grdes Bei diese wird die Nullstelle direkt durch Auflöse der Gleichug gefude: - - : - Beispiel it Zhle: : I Klrtetedeutet dies, dss i eie Koorditesste die Fuktio für ergit, we - ist. Y X Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

23 . Poloe. Grdes I der Regel werde die Nullstelle ei Poloe. Grdes it der pq-forel erittelt. Altertiv k uch die sog. qudrtische Ergäzug hergezoge werde, uf die hier jedoch ur kurz eigegge werde soll, d die pq-forel ier zu sele Ergeis führt. Zuächst solle och zwei Soderfälle etrchtet werde:.. Soderfll : Für c we c. { NS. NS D ch der Produktregel gilt, dss die geste Gleichug ergit, we gleich ist ud we ds, ws i der Kler steht (lso ) gleich ist, ergee sich zwei Nullstelle:.. Soderfll : Für c we / c c ± c c ; c Hier ergee sich die Nullstelle durch eifches Auflöse der Gleichug. Zu echte ist dei, dss die Wurzel eier gerde Potez ( ) ier ei positives ud ei egtives Ergeis eihltet, weshl sich zwei Nullstelle ergee. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

24 .. Norlfll I de eiste Fälle ht Poloe it lle Kopoete,, c vorliege. Für c k d die qudrtische Ergäzug oder - i der Regel - die pq-forel wede. Dzu uss jedoch zuächst so ufore, dss verschwidet ud ur och... dsteht... Die qudrtische Ergäzug Vorweg sei gesgt, dss die qudrtische Ergäzug i der Pris ku zu Eistz kot zw. vollstädig it der pq-forel gerechet werde k. Die qudrtische Ergäzug wr jedoch Gegestd des Brückekurses ud der Vorlesug. Hitergrud: I che Fälle ht so etws ähliches, wie eie ioische Forel zw. de "Afg" eier ioische Forel. I diese Fll erweitert die Gleichug so, dss eie ioische Forel erhält. I utere Beispiel psst die -9 icht gz zu Rest der Gleichug. Nch der. ioische Forel üsste sttt der -9 eie stehe: Vorgegeee Gleichug: 8 9 Die "Idelgleichug" zu Löse ch der. ioische Forel wäre jedoch 8 Deshl ergäzt die Gleichug u die Zhl die fehlt () ud zieht sie gleich wieder (-), dit sich die Gleichug wertäßig icht ädert: 8 9. i. Forel Re st Nu k de Teil löse, der die ioische Forel ethält. Der Rest wird eifch "itgeschleppt": ( ) { i. Forel ( ) Re st ( ) - ( ) 9 Oiges Beispiel hätte üriges geuso gut it der pq-forel uflöse köe, woei sich diese sogr für wesetlich ehr Fälle eisetze lässt. I der Pris cht die qudrtische Ergäzug dech weig Si, we die (uiversellere) pq-forel eherrscht. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

25 .. pq-forel Die pq-forel eiget sich für lle c sofer,, c. Dei soll hier uf die Herleitug verzichtet werde. U ds "Auswediglere" dieser Forel kot jedoch icht heru: p q / p ± p q Ziehe wir och l die Gleichug us de Kpitel der qudrtische Ergäzug her, 8 9 so ergit sich dech für p 8 ud für q -9. Eigesetzt i die pq-forel etspricht dies: / / / / 8 ± ± 8 ( ) ± ± 9 ( 9) I Gegestz zur qudrtische Ergäzug uss hier ichts weiter echtet werde, d keie ioische Forel vorliege uss. Es geügt p ud q zu erkee ud etspreched i die pq-forel eizusetze (Ferer uss türlich sichergestellt sei, dss vore lleie dsteht, lso ohe eie kostte Fktor. - Asoste uss durch diese dividiert werde, wie i folgede Beispiel ei 9... durch 9). 9 Weiteres Beispiel: p q - : 9 kürze! / / / ± ± ± 9 9 ± 9 ± Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

26 .. Üuge zu pq-forel: ) ( ) ) ( ) ( ) ) 8.. Lösuge zu pq-forel: ) p q ( ) Y X Grfik zur Lösug Es git geu eie Schittpukt! / ± ± ± (ur eie Lösug für!) ) ( ) ( ). i. Forel. i. Forel p. i. Forel q. i. Forel Y X Grfik zur Lösug Die Kurve scheidet die X-Achse Ml! / ± ± 9 ± Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

27 ) 8 8 Y X p q Grfik zur Lösug Die Kurve erührt die X-Achse ie! / ± ± 8 ± 8 8 ± ± 9 egtive Zhl uter der Wurzel ergit keie reelle Zhl! keie reelle Lösug! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

28 Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu 8 Geroche rtiole Ausdrücke Geroche rtiole Ausdrücke sid Brüche, die uch Vrile ethlte. Dei ist zu echte, dß der Neer icht Null werde drf, d die Divisio durch Null icht zulässig ist Neerpolo Zählerpolo 8. Divisio Bei der Divisio zweier geroche rtioler Ausdrücke ultipliziert eifch it de Kehrwert (siehe Kpitel, Bruchrechug). Beispiel: Zuächst uss usschließe, dss der Neer wird ud erechet die Zhl für, die de Neer jeweils werde lässt ud schließt diese us der zulässige Zhleege us: ; / sereich : Defiitio R drf lso jede Zhl ußer, ud -/ sei. Jetzt ultipliziert eifch it de Kehrwert: ( ) ( ) ( ) ( )

29 Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu 8. Multipliktio Bei der Multipliktio wird - geäß der Regel für Bruchrechug - Zähler it Zähler ud Neer it Neer usultipliziert. Beispiel: ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ; 8. Additio/Sutrktio Hier wird - geäß de Regel für Bruchrechug - Zähler it Zähler ud Neer it Neer ddiert. Ist der Neer idetisch uss ichts weiter echtet werde. Sid die Neer verschiede, so uss zuächst - geäß de Regel für Bruchrechug - erweitert werde. 8.. Additio/Sutrktio it idetische Neer Beispiel: 8.. Additio/Sutrktio it verschiedee Neer Beispiel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Erweiter it (), zw.

30 9 Liere Ugleichuge Ugleichuge werde grudsätzlich geuso gerechet wie Gleichuge es git jedoch ei pr weige, jedoch edeutede Besoderheite: Liere Ugleichuge ethlte keie eideutige Lösuge, wie "orle" Gleichuge. Sttt ergee sich hier Lösuge wie >. Allgeei lässt sich sge, dss die Lösuge lierer Ugleichug sog. Itervlle eschreit, lso Teile eies Zhlestrhls. Diese Itervlle köe uterschiedlich eschriee werde: [, ] geschlossees Itervll ( ud sid eigeschlosse) [, [ hloffees Itervll ( ist eigeschlosse, ist usgeschlosse ud gehört icht ehr dzu) ], [ offees Itervll ( ud sid usgeschlosse) Beispiel: ], ] lle Zhle größer ls Null is eischließlich der [, - [ lle Zhle der (eischließlich ) Eie weitere Besoderheit ist die Multipliktio oder Divisio it eier egtive Zhl. I diese Flle dreht sich ds Ugleichheitszeiche u: Beispiel: ( ) Bei Löse vo Ugleichuge gelte die gleiche Regel wie ei Löse vo Gleichuge, es gelte jedoch folgede Besoderheite: Ds Ugleichheitszeiche (<, >, >, <) wird ugedreht, we it eier egtive Zhl ultipliziert oder dividiert! Die Lösug eschreit i.d.r. Itervlle Gerde der Ustd it de Vorzeichewechsel sorgt für eiige Verwirrug. Nchfolged öchte ich lle Vritioe dieses Aufgetps vorstelle. 9. Ugleichuge ohe Flluterscheidug Beispiel ohe Vorzeichewechsel: > > > > - : Lösug : ], [ Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

31 Beispiel it Vorzeichewechsel: < < < > Lösug : ], [ - - : ( ) Ugleichheitszeiche wird ugedreht! Solge ur it kostte Zhle Dividiert oder Multipliziert, ist ds Gze och üerschur. Muss it Vrile ultipliziere oder dividiere, so stellt sich ds Prole, dss zu dieser Zeit icht weiß, o die Vrile positiv oder egtiv ist. Der eizige (ir ekte) Grud, wru eie Ugleichug it eier Vrile ultipliziert ist der Bruch ud zwr kokret it eier Vrile i Neer. U de Bruch ufzulöse ist gezwuge, die Ugleichug it der Vrile oder eie Ter, der die Vrile ethält zu ultipliziere. Wäre, d köte hier getrost it ultipliziere. Ist jedoch -, d uss ch der Regel ds Ugleichheitszeiche udrehe. U dieser Regel gerecht zu werde, cht eie Flluterscheidug: Fll : Multipliktor wäre positiv (i usere Beispiel > ) Fll : Multipliktor wäre egtiv (i usere Beispiel < ) Ugleichheitszeiche wird gedreht! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

32 9. Ugleichuge it Flluterscheidug Ausgehed dvo, dss für Ugleichugsufge us oe gete Grüde eist Brüche it Vrile vorkoe, öchte ich die zwei Grudfore der Ugleichuge it Flluterscheidug geuer vorstelle: 9.. Ugleichuge it Betrg Die Betrgsfuktio wird erst i eie spätere Kpitel ehdelt. We die Betrgsfuktio jetzt och ichts sgt, der k dieses Uterkpitel erst l üersprige ud ei 9.. weiter che. Später werde Ugleichuge i Zusehg it der Betrgsfuktio jedoch och wichtig ud d sollte die Uterschiede eider Tpe kee! Für die Ugleichug it eier Betrgsfuktio i Neer wird eie Flluterscheidug gecht: Ist der Neer positiv, wird orl weiter gerechet, ist er egtiv, wird der Ter i Betrg ei Multipliziere l (-) geoe. Ds Ugleichheitszeiche wird hier icht ugedreht, d die Negierug de Ter wieder positiv cht! Ds g zuächst ulogisch erscheie, die Betrgsfuktio sgt er us, dss lle Werte positiv sei üsse. U eie evetuell egtive Ter ierhl der Betrgszeiche positiv zu che, uss ih it (-) ultipliziere dit er de Betrgswert etspricht (siehe dzu i Kpitel Der solute Betrg ). Ei Betrgswert k lso Ede ier ur positiv sei, deshl wird ds Ugleichheitszeiche hier ie ugedreht! Beispiel it Betrg: Der Gestetrg i der eckige Kler ist jedoch positiv, deshl keie Ukehr des Ugleichheitszeiches!. Fll :( - ) ist positiv... ( ). Fll : ( - ) ist egtiv... [ ( ) ] 9.. Ugleichuge ohe Betrg Dies ist wohl die häufigste For der Ugleichugsufge. Deshl öchte ich de Recheweg gz usführlich eschreie. Auch hier wird eie Flluterscheidug für de Neer gecht. Ist der Neer positiv, leit ds Ugleichheitszeiche estehe, ist er egtiv, wird ds Ugleichheitszeiche ugedreht. Zuächst ei kurzes Beispiel:. Fll :( - ) ist positiv... ( ). Fll :( - ) ist egtiv... ( ) Ds Ugleichheitszeiche dreht sich u! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

33 Hier folgt u ei etws usführlicheres Beispiel: ( ). Fll für : - > > Der. Fll prüft hier für positive Werte vo (-), lso leit ds Vorzeiche > estehe!. Fll für : < ( ) ( ) < ( ) ( ) 8 8 Für lle kleier gilt die Lösugsege < /. D dies jedoch erst < geprüft wurde, ethält der Lösugsereich ur die Zhle kleier! Für lle größer gilt, dß die Lösugsege für größer oder gleich / sei uß. Die Lösugsege egit lso icht ei, soder ei /! Der. Fll prüft für egtive Werte vo (-), lso wird ds Vorzeiche ugedreht! Lösugsege / Bereich, der jeweils vo der Flluterscheidug geprüft wird Ergeisse der Flluterscheiduge Die Lösugsege ist die Schittege us de Bereiche, die geprüft werde ud de jeweilige Lösuge: ]-, [ ; [/, [ Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

34 Polodivisio (Poloe. Grdes) Die Polodivisio diet idirekt dzu, die. ud. Nullstelle eies Polos. Grdes zu erittel. Die. Nullstelle wird (i de klusurrelevte Aufge) durch Ausproiere (Eisetze vo ) erittelt. Dei setzt i.d.r. ur gze Zhle (z.b.,, oder -, -, -) ei. Ht so die erste Nullstelle gefude, k de Fktor dieser Nullstelle uskler. Die weitere zwei Nullstelle fidet i "Rest" des Polos, welches d ur och. Grdes ist. U geu diese "Rest" zu erittel uss ds ursprügliche Polo (. Grdes) durch de usgeklerte Fktor it der Polodivisio dividiere. Ds kligt zuächst lles sehr verwirred, wird er klrer we die eizele Vorgehesweise äher etrchtet.. Divisio ohe Polo Bevor wir us it Poloe ud Nullstelle "heruschlge" schue wir us erst eil, wie eie Divisio - gz ohe Tscherecher - erechet werde k. Diese siple Methode ist Grudleged für ds Verstädis der Polodivisio ud wird deshl uch sehr usführlich eschriee: 8 :? - ( Ml) 8 - ( Ml) - ( Ml) Lösugsweg: Zuächst etrchtet ur die erste eide Stelle der zu dividierede Zhl 8 (es köe uch ehr Stelle sei, er hier sid zwei Stelle üersichtlicher ud eifcher zu reche). M rechet lso zuächst ur it ud schut wie oft die i die "reipsst" (lso Ml) ud schreit de verleiede Rest ute druter ( - Rest ). Nu zieht die ächste Zhl (lso 8) vo oe heruter ud erhält soit 8. Die pßt eeflls Ml i die 8 ud ergit de Rest. Nu zieht die heruter ud erhält. Die psst u geu Ml i die ud ergit de Rest, woit die Divisio eedet ist. Die hier gru hiterlegte Zhle schreit ier rechts vo Gleichheitszeiche uf ud siehe d, ds ergit zuse - älich ds Ergeis vo 8: Noch ei Beispiel? - Bitteschö! Die folgede Aufge ist hier i "Pros" ufgedröselt. Es epfiehlt sich, die Rechug ch de Muster der erste Aufge uf eie gesoderte Bltt chzureche: 899:? 8 wie oft psst die i die 8? 8 ergit Rest u zieht die 9 heruter ud erhält 9 ergit Rest u zieht die 9 heruter ud erhält 9 9 ergit Rest u zieht die heruter ud erhält (icht!!!) 8 ergit Rest Divisio geschlosse! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

35 . Wru Polodivisio? Ws ht die vorgeggee Divisio u it der Polodivisio zu tu? Gz eifch - ds Prizip ist älich idetisch, ur dss ei Poloe it verkettete (Additio/Sutrktio) Vrile ud Zhle reitet - doch dzu später ehr. Nchde ds Prizip der Divisio u (hoffetlich) soweit klr ist, wide wir us u de Polo. Grdes ud estie zuächst die. Nullstelle: Beispiel: Die. Nullstelle wird ei de Klusurrelevte Aufge wohl ier,, oder -, -, - sei. Wir üsse lso lediglich die Gleichug it gleichsetze ud Zhle (- is ) für eisetze ud durch Ausproiere die Nullstelle herusfide. wir versuche es zuächst it ud liege gleich richtig: Die erste Nullstelle liegt lso ei! Nu wird es etws koplizierter: Für ei Polo. Grdes k direkt keie Nullstelle estie (ußer durch Ausproiere). Bei der Bestiug der. ud. Nullstelle cht sich zuutze, dss ds Ergeis eier Multipliktio gleich ist, sold ei Fktor ist (siehe Kästche). M fort deshl die Gleichug (ds Polo. Grdes) i die sog. Fktor-Schreiweise u ud erhält ei Polo. ud ei Polo. Grdes. Dzu klert zuächst de erste Fktor us, der ergäe. I usere Beispiel ist ds (-), d die erste Nullstelle j ei liegt ud (-) d ergit. Klert die (-) us, erhält folgede Gleichug: ( ) ( ) ( ) Ist ei Produkt gleich Null so ist idestes ei Fktor gleich Null! ( oder uß lso sei sost wäre ds Ergeis icht ) Null ist. Drus ergit sich ch der Fktorregel der Ukehrschluss, dss uch ds Produkt Null ergit, we ( ) Null ist. I diese Teil des Polos steckt lso die. ud. Nullstelle, die i.d.r. it de ioische Forel oder der pq-forel ufgelöst werde köe (siehe folgedes Kpitel). Huptprole leit u och, uf die ( ) zu koe de i der Pris he wir ur de rechte Teil der Gleichug ud üsse de Fktor erst l ereche. Dzu uss die Ursprügliche Gleichug ( ) durch ( ) teile ud dit kot u edlich die Polodivisio zu Eistz. Zugegeeerße kligt ds lles zuächst sehr verwirred. Wir werde jedoch i folgede Kpitel etws prgtischer vorgehe ud sehe, dss lles gr icht so kopliziert ist. Wie wir ereits festgestellt he, wird ds Produkt des Polos Null we ( ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

36 . Poloe dividiere Die eigetliche Schwierigkeit ei Erittel der. ud. Nullstelle eies Polos. Grdes esteht dri, uf de zweite Fktor zu koe us de die Nullstelle estie k. Wir dividiere dzu ds Polo. Grdes durch de erste Nullstelle-Fktor (Polo. Grdes) ud erhlte ei Polo. Grdes it de weiterreche k. ( ) ( )? Wir etrchte zuächst ur ds erste useres Ausdrucks: U uf zu koe, uss it ultipliziert werde, ws ereits Teil userer Lösug ist. Multipliziert u it de geste Divisor ( - ), so erhält -. Dies wird - wie ei der orle Divisio - vo oe (lso vo geste Ausdruck) gezoge ud erhält Rest : ( - - ) : ( - )... -( - ) - De Rest des oestehede Ausdrucks holt u heruter. D sucht de Multipliktor (für - ud, ws - ist). Wieder ultipliziert - it de Divisor ( - ), ws (- ) ergit: ( - - ) : ( - ) - -( - ) - -(- ) D der Rest ergit ist die Polodivisio u geschlosse. Ds Ergeis (der zweite Fktor userer Multipliktio) ist dech -. Die Uforug userer Gleichug i Fktorschreiweise lutet u: ( ) ( ) ( ) Die. ud. Nullstelle ergit sich durch Awedug der. ioische Forel für - : ( ) ( ) ( ) ( ) ist dech - ud ist (oder ugekehrt - je ch Schreiweise der i. Forel) Zu essere Verstädis och l die geste Gleichug i der Fktorschreiweise: ( ) ( ) ( ) ( ) Hier wird deutlich, wie sich die Nullstelle ergee: D ds Produkt der Fktore ergit sold eier der drei Fktore wird, lsse sich die Nullstelle hier direkt leite: ( ) { { { Lösug: - Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

37 . Zusefssug Poloe. Grdes Die Nullstelle für Poloe. Grdes werde folgederße estit:. Erste Nullstelle durch Ausproiere fide (,,, -, -, - für eisetze ud schue, ws ergit). Fktor erreche, der ergit (ergit sich us - der erste Nullstelle, ws ei egtiver Nullstelle... ergit). Geste Gleichug durch de erittelte Fktor ( -...) per Polodivisio teile (Ergeis ist ei Polo. Grdes). Ds Ergeis lässt sich d it ioischer- oder pq-forel ch Nullstelle uflöse ( / ergit dech die. ud. Nullstelle). Poloe. Grdes Grudsätzlich k die Polodivisio uch ei Poloe. Grdes gewdt werde, sofer eie Nullstelle errte werde k oder ereits ekt ist. Die durch Fktorschreiweise erhltee Fuktio. Grdes wird d eifch ochls per Polodivisio uf ei Polo. Grdes reduziert ( uss lso -l die Polodivisio durchführe!), u d per pq-forel, etc. die letzte eide Nullstelle zu erittel. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

38 Der solute Betrg Ds Grudprizip der Betrgsrechug ist eifch: Alles ws i Betrgszeiche steht (Betrgszeiche sid zwei vertikle Striche u eie thetische Ausdruck), gilt ls soluter, positiver Wert. Es wird lso ur der "Betrg" des Wertes erücksichtigt, icht ds Vorzeiche. Soweit ist lles och gz gut chvollziehr... Ds Betrgszeiche wird so ählich ehdelt wie eie Kler: zuerst de Wert ierhl des Betrges usreche ud d it de Zhle ußerhl des Betrges weiter reche. Bei verschchtelte Beträge wird - wie ei Kler - vo ie ch uße gerechet. Beispiele: 8 ( ) Will die Betrgsfuktio i herkölicher Schreiweise - lso ohe Betrgstriche - drstelle, setzt sttt der Betrgszeiche eifch eie Kler. We ds, ws ierhl der Kler steht ls Gestwert positiv ist, rucht ichts weiter zu echte - es kot d j geu ds gleiche herus wie ei der Schreiweise it Betrgszeiche. We ds, ws ierhl der Kler steht jedoch egtiv ist, uß die Kler och l - ehe, dit ds Gleiche heruskot wie ei der Betrgsfuktio. Beispiel: () ( ) ( ) Wozu dieser gze Aufwd it der Uterscheidug ch egtive oder positive Werte i Betrg, we die Fuktio doch sowieso ur positive Werte zurückgit? Der Wert i de Betrgszeiche ist ereits positiv, k sttt der Betrgszeiche eie Kler setze ud es kot ds gleiche Ergeis wie ei der Betrgsfuktio herus - älich! Der Wert zwische de Betrgszeiche ist egtiv. We ur eie Kler u die - setzt, kot uch - herus. Dit ds gleiche heruskot, wie ei der Betrgsfuktio, uß die Kler och l - geoe werde ud d kot - wie oe - eeflls herus! Der Grud ist gz eifch: ei kopleere Rechuge it Vrile ierhl der Betrgszeiche k icht vorhersge, welche Wert die Vrile he ud soit ist uch der Wert ierhl des Betrges icht vorhersehr. Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu

39 Beispiel: Gegee sei diese eifche Gleichug Ht de Wert kot uter Berücksichtigug der Betrgsfuktio herus - hätte lso sttt der Betrgszeiche uch eie Kler schreie köe ud es hätte ds gleiche Ergeis ergee Ht de Wert (-) so erhlte wir für de Betrg de Wert ud die geste Gleichug wird soit zu - Hätte hier eeflls eie Kler eigesetzt, wäre ei gz derer Wert herusgekoe, älich - Wie ds Beispiel zeigt, k it de Betrg icht direkt reche. So würde es keie Si che, die oige Gleichug i uzufore (owohl ergit). D für egtive ier heruskot, stit die Gleichug j icht ehr sold egtiv wird. Will it herköliche Rechewege die Vrile uflöse, k it der Betrgsfuktio lso icht viel fge. M uss eie Flluterscheidug che ud "siuliert" eie Betrgsfuktio it herköliche Kler (it de Kler k d orl weiterreche). Ist der Wert i der Kler positiv, rucht ichts weiter zu echte. Ist der Wert egtiv, uss die Kler l - ultipliziert werde. User oiges Beispiel würde dech korrekt lute: Für > gilt * ( ) () Für < gilt * ( ) ( ) (( ) ( ) ) setzt für wieder ei, ergit die Gleichug wird für u - eigesetz, ergit diese Gleichug, lso ds Gleiche wie i Beispiel it der Betrgsschreiweise. Hätte hier icht uterschiede ud l - weggelsse, so hätte diese Gleichug für de Wert - ergee ud würde icht it der Betrgsfuktio üereistie! * geu geoe uss uch och erücksichtigt werde. Norlerweise würde die i eie der eide Fälle eieziehe, er hier lsse wir die der Eifchheit hler weg. Merke: U die Betrgsfuktio it Vrile korrekt wiederzugee, uss ei der Klerschreiweise eie Flluterscheidug gecht werde. Wird der geste Wert ierhl der Kler positiv, so k die Kler stehe leie. Wird der geste Wert ierhl der Kler egtiv, so uss die Kler it (-) ultipliziert werde, dit ds Gleiche, wie ei der Betrgsfuktio heruskot! Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu

40 Die Flluterscheidug der Betrgsfuktio ist uch wichtig ei Ugleichuge, d die Recheregel esge, dss sich ds Ugleichheitszeiche udreht, we die Ugleichug it egtive Werte ultipliziert oder dividiert. Beispiel: ( ) Siehe dzu ds Kpitel Liere Ugleichuge. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

41 TEIL Stoff der Vorlesuge (Es werde icht lle Thee gedeckt) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

42 Suezeiche Ds Suezeiche erscheit zuächst sehr verwirred. Bei äherer Betrchtug wird jedoch deutlich, dß es sich dei lediglich u eie spezielle Schreiweise für sich wiederholede Recheschritte hdelt. Ds, ws rechts vo Suezeiche steht - "Sueglied" get - ist die Rechug die jeweils wiederholt wird (siehe i Beispiel ute: i ). Die für i eigesetzte Zhl wird it der Zhl uter de Suezeiche egoe (siehe i Beispiel ute: ) ud d i jede weitere Recheschritt u eis erhöht, is i schließlich de Wert üer de Suezeiche erreicht ht (siehe i Beispiel ute: ). Beispiel: i i oder i i } } } } } für i wird eigesetzt: is } } } } für i wird eigesetzt: is M fägt lso it der Zhl uter de Suezeiche (utere Sutiosgreze) ud hört uf, we die Zhl üer de Suezeiche (oere Sutiosgreze) erreicht ist - so eifch ist ds ;-) Die forle Schreiweise lutet: i k i i Sutioside oere Sutiosgreze i Sueglied (die Recheopertio, die wiederholt wird) k utere Sutiosgreze Ds Sueglied k gz uterschiedliche Recheopertioe ethlte: i i oder z.b. oder uch kopleer: 8 8 ( i ) ( ) ( ) i i Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

43 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu. Sue it dditive Kostte ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c c i i Vereifcht ergit sich drus folgede Forel, die für lle dditive Rechuge gilt: Z i c k c k i i k i i ) ( ) (. Sue it ultipliktive Kostte ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c c c i c i Vereifcht ergit sich drus folgede Forel, die für lle ultipliktive Rechuge gilt: Z i i c i c k i k i ) ( Die Forel zeigt, dß c vo eie Sueglied "uskler" k!. Suezerlegug } } } c i i i i i i Sue Sue Sue c I Sue wird vo is gezählt, i Sue c vo is. Ds etspricht lso i,,, wie i Sue.

44 Logrithus Prgtisch usgedrückt ist der Logrithus die Ukehrfuktio der Potez. Logrithiere cht lso Poteziere rückgägig ud ugekehrt. Meist eutzt de Logrithus u die Potez heruszufide. Oder ders gesgt: U heruszufide, wie oft die Bsis () it sich selst poteziert werde uss, u ds Ergeis (c) zu erhlte? Uthetisch usgedrückt: hoch welche Zhl () ergit c? c Drus folgt: c Beispiel: log c Merke: Logrithus us eier egtive Zhl ist icht defiiert!? 8 log 8 Wer ds jetzt i seie Tscherecher eigegee ht, wird verutlich ettäuscht sei, we ei völlig deres Ergeis erscheit (icht wuder - wir werde gleich sehe, wru :-). Etws Proletisch ist hierei die uterschiedliche Defiitio vo log. Meist ist dit der Logrithus zur Bsis geeit. Git z.b. i eie orle Tscherecher log 8 ei, so erhält icht ds Ergeis, soder de er Logrithus vo 8 ultipliziert it (lso,899 ). Ws ht es dit uf sich? Ws zuächst völlig verwirred kligt, ist eigetlich gr icht so kopliziert. Dzu uss er zuächst eil wisse, ws der er Logrithus ist.. Log, lg oder Logrithus zur Bsis Der Logrithus it der Bsis (uch log oder lg gekürzt) wird vorwieged zur Vereifchug großer Zhle eutzt. Ei prktisches Beispiel verdeutlicht ds schell: log Hier rucht i de Tscherecher ur log eizutippe, u uf ds Ergeis zu koe! Für die eiste Tscherecher ist die Tste log lso eigetlich die Fuktio log! Eie tpische Schreiweise für sehr große Zhle i diese Zusehg ist z.b.:, ,9 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

45 . Logrithus zu elieiger Bsis Nicht ier rigt us der er Logrithus weiter. I usere erste Beispiel wollte wir j eigetlich wisse, it welcher Zhl wir poteziere üsse (ud icht ), u 8 zu erhlte. Doch wie erechet u user Beispiel, we der Tscherecher ur die Bsis zulässt? - Dzu git es eie siple Trick. Es gilt: c Mit eier eifche Forel lässt sich u it de er Logrithus ereche: log c log Mit log ist i diese Flle der er Logrithus geeit, de wir u direkt Tscherecher wede köe. Die Aufge? 8 gee wir dech wie folgt i de Tscherecher ei: log 8 : log ud wir erhlte edlich die erwüschte! Hiweis: Ds fuktioiert üriges uch it de sog. türliche Logrithus, eist l get.. Der türliche Logrithus l ud die Zhl e Der Logrithus zur Bsis e (eulersche Zhl) wird türlicher Logrithus (l) get. Die Zhl e (ht eie ähliche Soderstellug wie π) etspricht de Wert: e,88889 Berechet wird e durch die Fuktio ( /), woei eie sehr hohe Zhl ist. Je höher, desto äher ist ds Ergeis e, woei ier ur eie Aäherug (Grezwert) erreicht werde k. Hier soll ur isofer druf eigegge werde, ls dss e sich esoders zur Bsis für Epoete eiget ud u.. i der Zisrechug eigesetzt wird. M spricht ei e uch vo der türliche Bsis. l e log e c e log c l c Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

46 Folge ud Reihe Folge ud Reihe spiele i der Fizthetik eie große Rolle. Sie werde u.a. für Zis- ud Reteerechuge eötigt. Ds Grudverstädis dieses Kpitels ist soit essetiell für die Lösug fizthetischer Aufge i der Klusur. Folge sid - gro gesgt - sich schrittweise äderde Zhlefolge, die eie estite Sche folge (z.b.,,, 8,,,, usw.). Reihe sid die Sue der eizele Glieder eier Folge (z.b. 8 i usere Beispiel). Zu uterscheide sid och rithetische ud geoetrische Reihe ud Folge, woei sich rithetische ei der Schrittweite stets uf eie kostte Fktor ( oder -) eziehe ud geoetrische ier uf eie Multipliktor. Mehr dzu i diese Kpitel.. Folge Eie Folge ist eie Fuktio, der für jede türliche Zhl eie reelle Zhl zugeordet ist. ist ds -te Glied eier Folge Beispiel: Die rithetische Folge Bei eier rithetische Folge ist die "Schrittweite" oder Differez d ier kostt. I oige Beispiel etspricht eier rithetische Folge: d d d d... D die Differez d kostt ist, läßt sie sich us der Sutrktio zweier ufeiderfolgeder Glieder estie: d Ei elieiges Glied läßt sich it folgeder Forel ereche: ( ) d We wir z.b. ds. Glied useres Beispiels ereche wollte würde wir eisetze: ( ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

47 Weitere Beispiele für rithetische Folge: d 8 d 8 d,,,,,8.. Die geoetrische Folge Bei der geoetrische Folge ist der Quotiet q ller ufeiderfolgede Glieder kostt. Es hdelt sich jedoch icht u eie dditive, soder u eie ultipliktive Kostte: q q q q... D der Quotiet q kostt ist, läßt er sich durch Divisio zweier ufeiderfolgeder Glieder estie: q Beispiel:, q 8... Ei elieiges Glied läßt sich it folgeder Forel ereche: q We wir z.b. ds. Glied useres Beispiels ereche wollte würde wir eisetze: Weitere Beispiele für geoetrische Folge: q 8 8 q q,,,,,, Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

48 . Reihe Eie Reihe ist die Sue us (der Azhl) Glieder eier Folge: S i i... Arithetische Reihe setze sich us rithetische Folge zuse, geoetrische Reihe us geoetrische Folge... Die rithetische Reihe Beispiel für eie rithetische Reihe: rith. Folge... rith. Reihe... Für ei elieiges Glied eier rithetische Reihe gilt: S ( ) We wir z.b. die Reihe für ds. Glied useres Beispiels ereche wollte würde wir eisetze: S ( ) Weiteres Beispiel für eie rithetische Reihe: rith. Folge 8 rith. Reihe 8 8 Auch hier k z.b. ds. Glied durch Eisetze i die Forel direkt erechet werde: S ( 8) Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu

49 .. Die geoetrische Reihe Beispiel für eie geoetrische Reihe: q, geoetr. Folge geoetr. Reihe Für ei elieiges Glied eier geoetrische Reihe gilt: S q q Diese Forel fidet esoders i der Fizthetik (Reteforel) Verwedug! Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu

50 Zise Zisforel werde für eilige Zhluge eutzt oder für Zhluge, die uregeläßig sid i Gegestz zu de Reteforel, die für regeläßige Zhluge hergezoge werde. Bei der tpische Zisrechug erfolgt eie Eizhlug (K ) zu Zeitpukt ud die Auszhlug (K E ) zu Zeitpukt est Zise (ud Ziseszise). Erfolge ehrere (uregeläßige) Eizhluge, so erechet jeweils de volle Zeitru jeder Eizelzhlug ud ddiert die Edergeisse zuse. Ei eifches Beispiel:.. ().. ( )..8 () Eizhlug,- Eizhlug,- Auszhlug? Der Zisstz i etrge % (,) Es gilt: (geuere Erklärug siehe folgede Seite) K K i E ( ) M erechet u die Zise für die,- is zu..8 ( 8 Jhre) K, 8, E ( ) D erechet die Zise für die,- eeflls is..8 ( Jhre), 8, K E ( ) 8 Schließlich uss die Werte ddiere ud erhält de Auszhlugsetrg zu..8:, 8,8,. Aufzisugsfktor, Azisugsfktor I usere vorherige Beispiel wird üriges ufgezist, d.h. Zis ud Ziseszis werde de Afgsetrg hizuddiert. Der Bezugszeitpukt ist i diese Flle der.., lso der Zeitpukt der Eizhlug. Tpischerweise eutzt die Forel des Aufzisugsfktors, we eie Eizhlug (Strtkpitl) vorgegee ht ud wisse öchte, ws Ede dei heruskot (Edkpitl). K K i Aufzise: ( ) E Bei Azise ist der Bezugspukt der Edzeitpukt (i usere Beispiel der..8) ud es wird rückwärts gerechet zu Strtzeitpukt. Tpischerweise eutzt die Forel des Azisugsfktors, we ei Edkpitl (z.b. Auszhlug) vorgegee ht ud wisse öchte, ws dzu ursprüglich eigesetzt wurde (Strtkpitl). Hiweis: Die Azisugsforel K E Azise: K wird eifch durch Uforug der i Aufzisugsforel hergeleitet. ( ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

51 . Die wichtigste Zisforel Der Zisgewi (ur Zise!) für ei Jhr Hiweis: hier k icht hoch reche! (Aufzisugsfktor) K i K Z Ds Edkpitl i Jhre (hier wird Ziseszis erücksichtigt) (Aufzisugsfktor) K K i E ( ) Durch Uforug fidet ds eigesetzte oder eizusetzede Strtkpitl (Azisugsfktor) K E K i ( ) Folgede Größe gelte: K Strtkpitl K Z Kpitlsteigerug (Zisgewi) K E Edkpitl i Zisstz % (i /, z.b. %,) Jhre t Tge Durch Uforug ergit sich der Zisstz % (i /, lso z.b. %,) K i K E Effektivzis pro Periode i eff ΣZise ΣGestschuld Diese Forel ist z.b. relevt für Zissätze, die uf de ursprügliche Kufetrg gezhlt werde, sttt uf die üliche Restschuld (Bei Zise uf Kufetrg ist die Ziszhlug ier gleich hoch). Hier werde die Ziszhluge jeder Periode ud die Restschuld jeder Periode ufsuiert. Zur Berechug der Gestschuld uss die Forel der rithetische Reihe herziehe, d die Restschuld sich pro Zhlugsperiode verrigert. Ergeis i eff ist d die effektive Verzisug pro Periode (i.d.r. Jhr, er ei otliche Zhluge pro Mot!). Zisgewi (ur Zise!) für eie estite Azhl Tge (t) < i K Z K t Edkpitl für eie estite Azhl Tge (t) < i K E K K t oder K E K t i Hiweis: Bei Klusurufge wird oftls der Mot it ud ds Jhr it Tge gerechet. Hier uss d durch teile! Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

52 Rete Reteforel eziehe sich uf regeläßige (sich wiederholede) Ei- oder Auszhluge. Dei uterscheidet die vorschüssige ud die chschüssige Rete. Bei der chschüssige Rete erfolgt die Zhlug Ede eier Periode, ei der vorschüssige gleich Afg. Tpisch für die chschüssige Rete sid regeläßige Kreditrückzhluge. Die vorschüssige Rete wird tpischerweise ei Sprfuktioe eutzt, d hier die Rte zu egi eier Periode eigezhlt wird.. Nchschüssige Rete Wie ereits erwäht, ist ds tpische Awedugsgeiet die Kreditrückzhlug, ei der die Auitäte (Rete) gleichäßig ( Ede eier Periode) zurückgezhlt werde. Die Forel leitet sich vo der geoetrische Reihe. Eiezoge wird och der Azisugsvektor: v i Geoetrische Reihe: q S q Folgede Größe gelte für die Forel: K Strtkpitl K E Edkpitl i Zisstz % (i /, z.b. %,) Auität (Rte) Jhre v Azisugsvektor Die Forel zur Berechug des Edkpitls für die chschüssige Rete lutet dech: (Tpische Schuldefuktio) K E v v v Durch Uforug ergit sich die Höhe der Auitätszhlug (Auitätefktor, Rte): (Tpische Schuldefuktio, u hd des ufgeoee Kpitls die Rte zu ereche) K K E E v v v v v ( v) ( v ) ( v ( v ) K E v ( v) ( v ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

53 Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu Durch Uforug ergit sich schließlich och die Azhl der Periode: (Tpische Schuldefuktio, u die Azhl der Rte zu ereche) ( ) ( ) ( ) ( ) v v K v v v v K v v v K v v v v K v v v v K E E E E E log. Vorschüssige Rete Die Forel der vorschüssige Rete werde tpischerweise eutzt für Sprerechuge, we z.b. jed regeläßig (vorschüssig, lso zu Begi eier Periode) eie gleich leiede Betrg eizhlt ud die Zise (ud ds Kpitl) sich verehre. Auch ei rteweiser Auszhluge eies ereits gesprte Kpitls oder de tpische Lottogewi uf Rte ist die vorschüssige Rete relevt (ds hiterlegte Kpitl rigt d weiterhi Zise). Eiezoge wird hier der Aufzisugsvektor: q i Tpische Sprfuktio, u ds Edkpitl zu ereche q q q K E Brwert der Eizhluge v v K Rteuszhlug eies Veröges (z.b. gesprtes Kpitl, Leesversicherug, Lottogewi). ( ) v v K v v v K E log log Folgede Größe gelte für die Forel: K Strtkpitl K E Edkpitl i Zisstz % (i /, z.b. %,) Auität (Rte) Jhre q Aufzisugsvektor v Azisugsvektor

54 Differetilrechug, Aleitug Uter Differeziere versteht Mthetiker öge ir verzeihe ds Bilde vo Aleituge ud dere Deutug. Die Aleitug eier Fuktio stellt die Steigug der Fuktio für jede Pukt dr. Gro gesgt ist die Aleitug für lle Steiguge positiv ud für lle Gefälle egtiv (Gefälle werde uch egtive Steigug get). Verläuft der Grph eie Pukt der Fuktio wgerecht (z.b. eie Miiu, Miu oder Sttelpukt), so ist die Steigug dieser Stelle ud die Aleitug diese Pukt etspreched eeflls. Die Nullstelle eier Aleitug stelle lso ier ögliche Mii, Mi oder Wedepukte der ursprügliche Fuktio dr. Ds g zuächst lles sehr verwirred klige, ist ei äherer Betrchtug er recht trivil. Ei Beispiel soll ds verdeutliche: B C D f () E f() ^/8^ A Grfik.. Die schwrze Kurve stellt usere Fuktio f() dr. Die rote Kurve etspricht der. Aleitug, f '. geschriee ( ) Erklärug der jeweilige Bereiche für f(): A: sehr strke Steigug: Aleitug ist i diese Bereich strk positiv B: Steigug icht ehr so steil: Aleitug ht ur och iedrige positive Werte C: Der Grph ist Wedepukt wgerecht ud ht keie Steigug ehr: Aleitug ist deshl D: Kurve steigt wieder leicht: Aleitug wird wieder positiv E: Steigug etre steil: Aleitug esitzt sehr hohe positive Werte Die Fuktio i Beispiel ethält der Eifchheit hler keie egtive Steiguge (Gefälle) die Aleitug würde er etspreched gelte ud für Gefälle i de egtive Bereich gehe. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

55 . Berechug der Aleitug Die Aleitug eier Fuktio wird durch eie Strich f '( ) drgestellt. Die zweite Aleitug wird durch zwei Striche f ''( ), die dritte durch drei Striche, usw. drgestellt. Es git verschiedee Regel, wie die Aleitug erechet. Auf die Herleitug sei hier ewusst verzichtet, de ds köe Mthetiker esser erkläre ;-) Die Grudregel der Aleitug esteht dri, de Epoete it der Bsis zu ultipliziere ud schließed de Epoete u zu verriger. Die ürige Regel sid die der Additio zw. Sutrktio ud der Multipliktio it Kostte. Etws ufwädiger, sid die Produkt- ud Quotieteregel. Zur Ketteregel, der Aleitug der iverse Fuktio ud spezieller Fuktioe sei uf die eischlägige Mthe-Weseite verwiese. Zur Berechug der Aleitug (ud icht ur d ;-) ist es vo Vorteil it der Potezrechug vertrut zu sei. Wer usicher ist, sollte och l i. Teil uter Poteze chlese. Zur Erierug: Epoet Bsis.. Multipliktio it Kostte Die Aleitug wird geildet, ide die Bsis der Poteze jeweils it de Epoete ultipliziert ud der Epoet schließed u verrigert wird (siehe dzu uch Beispiel ächste Seite). f ( ) f ' Die. Aleitug lutet : ( ) 8.. Additio/Sutrktio Besteht eie Fuktio us ehrere dditiv oder sustrktiv verküpfte Vrile oder Koeffiziete, so k für jede eizele Wert die Aleituge ilde ud die Verküpfugszeiche elsse (siehe dzu uch Beispiel ächste Seite). f ( ) f ' ( ) 8 Die. Aleitug lutet : Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

56 Beispiel: I der Pris esteht eie Fuktio fst ier us eier Koitio vo Multipliktio it Kostte ud Additio/Sustrktio: f ( ) dvo die. Aleitug : f ' f ' ( ) 8 ( ) etspricht lso : ( ) 8 Die wdert ch vore ud wird i Epoete u eis, lso uf verrigert. Gleiches pssiert it der ( l ergit 8 ud der Epoet verrigert sich uf ). Bei der ist der (usichtre) Epoet j eigetlich ud wird dech, ws lut Potezregel die zur werde lässt. Die k uch ls schreie, d eie Zhl hoch ier ergit ( l ). Wdert die ch vore, so ergit sich l l -, ws i jede Flle ergit. Zhle ohe Vrile flle i der Aleitug lso grudsätzlich weg!.. Produktregel Die Produktregel wird gewdt für Aleitug vo Fuktioe, dere Eleete icht it Kostte, soder it weitere Vrile ultipliziert werde. Beispiel: f ( ) ( ) ( ) Für ud he wir j scho eie Regel für die Multipliktio it Vrile jedoch och icht. Die Aleitug k durchus so geildet werde, dss zuächst die Fuktio usultipliziert ud dvo die Aleitug ildet: f f ( ) ( ) ( ) ( ) dvo die. Aleitug : f ' ( ) I der Pris ist ds Auflöse er icht ier so eifch öglich, deshl üsse wir eie etws dere Weg gehe. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

57 Hier ochls die ursprügliche Fuktio: f ( ) ( ) ( ) Nch der Produktregel wird zuächst der erste Teil der Fuktio ( ) Ageleitet (roter Pfeil) ud it de icht geleitete zweite Teil der Fuktio ( ) ultipliziert (grüer Pfeil): f ' ( ) ( ) ( )... Aschließed wird der zweite Teil der ursprügliche Fuktio ( ) geleitet (roter Pfeil) ud it de icht geleitete erste Teil der Fuktio ( ) ultipliziert (grüer Pfeil) ud ds Gze ddiert u zuse: ( ) ( ) ( ) ( ) f ' Ugefort sieht die Aleitug d geuso us, wie die Aleitug der usultipliziere Fuktio vo der vorgeggee Seite: f ' ( ).. Quotieteregel Die Quotieteregel wird für Brüche eigesetzt ud fuktioiert prizipiell ählich wie die Produktregel: f ( ) ( ) ( ) Auch hier wird jeweils der erste Teil (Zähler) geleitet (roter Pfeil) ud it de icht geleitete zweite Teil ultipliziert (grüer Pfeil): f ' ( ) ( ) ( )... Aschließed wird wie ei der Produktregel der zweite Teil (Neer) der ursprügliche Fuktio geleitet (roter Pfeil) ud it de icht geleitete erste Teil der Fuktio ultipliziert (grüer Pfeil). Dieser Aschitt wird jedoch sutrhiert!: ( ) ( ) ( ) ( ) f ' Zuletzt wird och der Neer üeroe ud qudriert: f ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

58 .. Sostige Aleitugsregel Logrithus: f l f ' ( ) ( ) Vrile i Epoete: f e f ( ) '( ) e Vrile i Epoete: f f k ( ) e k '( ) k e f f ( ) '( ) e e e Vrile i Epoete: f f ( ) '( ) l Stef Schidt -8- Mthe Bsics für's Studiu

59 . Etrewerte Als Etrewerte ezeichet Mii ud Mi. Ei Miiu ist der tiefste Pukt eier Kurve (Tl), ei Miu der höchste Pukt (Gipfel). Wie wir ereits zu egi des Kpitels gesehe he, ist diese Pukte die Steigug gleich ull. D die erste Aleitug die Steigug der eigetliche Fuktio zeigt, wird geu jee Pukte (Mii, Mi), die Aleitug die -Achse erühre, lso eie Nullstelle he. Betrchte wir die folgede Grfik: B C D F E f ( ) A Grfik.. Die schwrze Kurve stellt usere Fuktio f() dr, die rote Kurve die. Aleitug f '( ). Wie wir sehe, esteht eie hohe positive Steigug i Bereich (A), ws sich i sehr hohe positive Werte der Aleitug widerspiegelt. I Bereich (B) flcht die Kurve zuseheds, ht lso keie hohe Steigug ehr ud die Werte der Aleitug werde zuseheds kleier. I (C) ist schließlich die Steigug userer Fuktio uf geflle die Kurve geht weder ch oe, och ch ute. Ud geu dieser Stelle ist die Aleitug eeflls! Dch fällt die Kurve ier stärker, ws zu ier höhere egtive Werte i der Aleitug führt (egtive Steigug!), u d (D) wieder lgser zu flle (Wedepukt). Der Pukt (D) eschreit die stärkste (egtive) Steigug, ws sich i eie Milusschlg (i diese Flle ei Miiu) i der Aleitug widerspiegelt. I Pukt (E) ht usere Fuktio ei Miiu, dere Pukt die Steigug ist ud die Aleitug etspreched die -Achse scheidet (Nullstelle der Aleitug). Es ist üriges reier Zufll, dss die Fuktio eeflls die -Achse dieser Stelle scheidet! Schließlich steigt die Kurve i (F) wieder strk, ws sich eeflls i eier sehr hohe Steigug ud soit i hohe positive Werte der Aleitug eerkr cht. Wer ds zu erste Ml liest, wird sich jetzt verutlich erst l eie Tee che wolle, de ds uss sich erst l setze. ;-) Stef Schidt -9- Mthe Bsics für's Studiu

60 .. Miiu, Miu Zusefssed lässt sich sge, dss die Aleitug jedes Ml ergit, we die Fuktio ei Miu oder ei Miiu ht. Drus lässt sich schließe, dss lediglich die Nullstelle der Aleitug fide uss, u ei Miiu oder ei Miu für eie Fuktio zu fide. Ud ttsächlich werde wir ds gze jetzt recherisch chvollziehe: f ( ) f '( ) Bereche wir u die Nullstelle der Aleitug, ide wir die Aleitug it gleichsetze: pq - Forel! / / ± ± D diese Werte ier potetielle Kdidte für Mii ud Mi sid, et sie uch kritische Werte. Die Nullstelle etspreche lso ekt de Nullstelle i der Grfik ud uch de Pukte des Miius ud des Mius der ursprügliche Fuktio! Will u och geuer wisse, welche Nullstelle ei Miiu ud welche ei Miu ist, uss de Verluf der Aleitug etrchte. I userer Grfik sehe wir sehr deutlich, dss dort, wo user Fuktiosiu ist, die Steigug der Aleitug vo positiv ch egtiv verläuft (die Aleitugskurve verläuft vo oe ch ute). Die Steigug der Aleitug ist dieser Stelle lso egtiv, weil die ursprügliche Fuktio vo positiv steiged ch flled gewechselt ht (ws ur ei eie Miu der Fll sei k!). Dort, wo user Fuktiosiiu ist, kot die Aleitugskurve us de egtive Bereich i de positive Bereich, ist lso positiv steiged (die Aleitugskurve verläuft dort vo ute ch oe). Es lässt sich lso sge (dies ist kei Beweis, soll us dieser Stelle er geüge), dss ei Miu vorliegt, we die Steigug der Nullstelle der Aleitug egtiv ist ei Miiu vorliegt, we die Steigug der Nullstelle der Aleitug positiv ist Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

61 U die Steigug der Aleitug recherisch zu erittel uss ur die Aleitug der Aleitug (lso die. Aleitug) ilde ud die Steigug für die frgliche Pukte (die sog. kritische Werte - i usere Flle lso ud ) durch eisetze prüfe: f '( ) f ''( ) Setzt u für die kritische Werte ud i die. Aleitug ei, so ergit sich: f ''( ) f ''( ) ( ) () Steigug egtiv Miu Steigug positiv Miiu Regel für Miiu ud Miu: f '( ) f ''( ) Geuer : f ''( ) > Miiu f ''( ) < Miu f ''( ) Sttelpukt.. Sttelpukt Es git och de Soderfll, ei de heruskot, we eie kritische Wert i die. Aleitug (s.o.) eisetzt. Ds edeutet d, dss uch die Steigug der Aleitug ist, lso keie Steigug eistiert. We die Steigug der Fuktio ud die Steigug der. Aleitug ist, d hdelt es sich u eie Sttelpukt. Dies ist z.b. ei der Fuktio der Fll, die wir gz zu Begi des Kpitels gesehe he (siehe Grfik..). Dort ist für de Pukt sowohl die Steigug der Fuktio, ls uch die Steigug der Aleitug Null. Regel für Sttelpukt: f '( ) f ''( ) Grfik.. Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

62 .. Wedepukt Bei eie Wedepukt eistiert ier die höchst ögliche Steigug (oder wie hier: Gefälle). Deshl zeigt die Aleitug eier Fuktio ( rote Liie) dieser Stelle ier ei Miu oder (wie hier) Miiu. Will de Wedepukt eier Fuktio estie, uss lso ur ds Miu oder Miiu der etsprechede Aleitug estie! Wir üsse lso die Aleitug der Aleitug ilde (. Aleitug lue Liie) u die kritische Werte der Aleitug zu fide ud diese d i die. Aleitug eisetze. Vo Prizip her fuktioiert ds geu so, wie ei de Mii ud Mi der Fuktio, ur dss hier eie Aleitug tiefer schut. Grfik.. I usere Beispiel ist die. Aleitug eifch zu estie ud es git icht l Werte für eizusetze. Die Fuktio ist lso ier. Sie würde i userer Grfik irgedwo gz oe prllel zur -Achse verlufe ud hätte dech keie Steigug. Deoch ist ds Ergeis der Fuktio positiv, ws eie Miiu i der. Aleitug etspricht. Es estüde uch ei Wedepukt, we hier ei egtiver Wert heruskäe ds würde d eie Miu i der. Aleitug etspreche. D es für eie Wedepukt urelevt ist, o i der Aleitug ei Miiu oder Miu esteht, geügt es lso zu prüfe, o ei der. Aleitug ei positiver oder egtiver Wert heruskot. f ''( ) f '''( ) We hier heruskot (ud ds ist der Grud, wru wir die. Aleitug üerhupt usreche), würde es sich i der. Aleitug u eie Sttelpukt hdel, ws icht uf eie Wedepukt i der Ursprugsfuktio hiweist! Regel für Wedepukt: f f ''( '''( ) ) Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu

63 . Verluf der Aleitugsgrphe Hier öchte ich och l kurz die eizele Verläufe der Aleituge zusefsse. We verstde ht, wie die eizele Grphe voeider häge, k sich die etsprechede Rechewege älich ier sehr leicht selst kostruiere. Geäß de Regel zur Aleitug werde die Poloe ier weiter reduziert. Die etsprechede Steiguge werde ddurch uch ier sipler. Die eifchste Steigug esteht ei eie Polo. Grdes, lso ei eier eifche -Fuktio. Dch (lso ei der Aleitug eier solche eifche -Fuktio) git es ur och eie weitere Aleitug it eier flche Liie, die irgedwo prllel zur -Achse verläuft (weil die Steigug der -Fuktio j kostt, lso ist!). Hier ochls die Fuktio us usere vorherige Beispiel: f ( ) (schwrz) f '( ) (rot) f ''( ) (lu) f '''( ) (lil*) Grfik.. * die Fuktio zur. Aleitug (lil) ist us Grüde der Üersichtlichkeit weiter ute eigezeichet. Sie üsste türlich ei verlufe! Erklärug der Verläufe: Schwrz: Poloe. Grdes ( ) verlufe eist Welleförig, ählich eier Siuskurve Rot: Poloe. Grdes ( ) verlufe (gro gesgt) wie eie Prel Blu: Poloe. Grdes () he eie kostte Steigug ud sid eifche Liie Lil: Eie Fuktio it Kostte verläuft ier prllel zur -Achse, d keie Steigug esteht Stef Schidt -- Mthe Bsics für's Studiu